اختبار الفصل الثاني

إذا كانت $\underset{\_}{A}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{lll}2& 2& 7\\ 9& 1& 1\\ 8& 0& 8\end{array}& \end{array}\right]$ فحدد قيمة كل عنصر مما يأتي:

1)

$a_{22}=1$

2)

$a_{31}=8$

أوجد الناتج في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكناً:

3)

$-3\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}4a\\ 0\\ -3\end{array}& \end{array}\right]+4\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}& \end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-12a\\ 0\\ 9\end{array}& \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -4\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-12-8\\ 12\\ 5\end{array}& \end{array}\right]$

4)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-3& 0\\ 1& 5\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}2& 4\\ -6& 0\end{array}& \end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-3& 0\\ 1& 5\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}2& 4\\ -6& 0\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-6& -12\\ -28& 4\end{array}& \end{array}\right]$

5)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}2& 0\\ -3& 5\\ 1& 4\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}& \end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}2& 0\\ -3& 5\\ 1& 4\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}2\cdot 3+0\cdot -2\\ -3\cdot 3+5\cdot -2\\ 1\cdot 3+4\cdot -2\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}6\\ -19\\ -5\end{array}& \end{array}\right]$

6)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-5& 7\\ 6& 8\end{array}& \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}4& 0& -2\\ 9& 0& 1\end{array}& \end{array}\right]$

غير ممكن.

7) مبيعات: تبيع مكتبة 3 مجموعات من كتب الأطفال ويبين الجدول الآتي تكلفة كل مجموعة وسعر بيعها فإذا باعت المكتبة 20 مجموعة من الكتب التربوية و32 مجموعة من الكتب العلمية و14 مجموعة من القصص.

a) نظم البيانات في مصفوفات ثم استعمل ضرب المصفوفات لإيجاد تكلفة الكتب الكلية.

$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{lll}20& 32& 14\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}100\\ 90\\ 130\end{array}& \end{array}\right]& =[2000+2880+1820]\\ & =\left[6700\right]\\ & =6700\end{array}$

b) استعمل ضرب المصفوفات لإيجاد المبلغ الكلي الذي تحصلت عليه المكتبة من بيع ذلك العدد من مجموعات الكتب.

$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{lll}20& 32& 14\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{l}120\\ 110\\ 150\end{array}& \end{array}\right]& =\left[\right(20\cdot 120)+(32\cdot 110)+(14\cdot 150\left)\right]\\ & =[2400+3520+2100]=\left[8020\right]\\ & =8020\end{array}$

c) استعمل العمليات على المصفوفات لمعرفة ربح المكتبة.

ريالاً $8020-6700=1320$

8) إذا كان $\cdot \underset{\_}{A}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}3& 8\\ -3& -4\end{array}& \end{array}\right],\underset{\_}{B}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-7& 5\\ 5& -4\end{array}& \end{array}\right],\underset{\_}{C}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-4& 7\\ 2& 0\end{array}& \end{array}\right]$ فأوجد ناتج $\underset{\_}{A}\underset{\_}{B}-\underset{\_}{A}\underset{\_}{C}$.

$\begin{array}{rl}\underset{\_}{A}\underset{\_}{B}& =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}3& 8\\ -3& -4\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-7& 5\\ 5& -4\end{array}& \end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-21+40& 15+(-32)\\ 21+(-20)& -15+16\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}19& -17\\ 1& 1\end{array}& \end{array}\right]\\ \underset{\_}{A}\underset{\_}{C}& =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}3& 8\\ -3& -4\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-4& 7\\ 2& 0\end{array}& \end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-12+16& 21+0\\ 12+(-8)& -21+0\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}4& 21\\ 4& -21\end{array}& \end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{rl}\underset{\_}{A}\underset{\_}{B}-\underset{\_}{A}\underset{\_}{C}& =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}19& -17\\ 1& 1\end{array}& \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}4& 21\\ 4& -21\end{array}& \end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}15& -38\\ -3& 22\end{array}& \end{array}\right]\end{array}$

9) استعمل المحددات لإيجاد مساحة xyz △الذي رؤوسه $x(1,2),y(3,6),z(-1,4)$.

$\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 6\\ -1& 4\end{array}$$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 6& 1\\ -1& 4& 1\end{array}\end{array}\right|$$A=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 6& 1\\ -1& 4& 1\end{array}\end{array}\right|$

$=\frac{1}{2}\left\{\right(6+(-2)+\left(12\right))-(-6+4+6=4\left)\right\}$

$A=\frac{1}{2}\cdot 12=6$

المساحة = 6 وحدات مربعة.

10) اختيار من متعدد: أوجد قيمة محددة المصفوفة:

• 44-
• 44
• $\frac{1}{44}$
• $\frac{1}{44}$-

$\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 2\\ -2& 5\end{array}$ $\left[\begin{array}{rrr}2& 3& -1\\ 0& 2& 4\\ -2& 5& 6\end{array}\right]$

$\begin{array}{rl}& 24+(-24)+0=0\\ & 4+40+0=44\\ & 0-44=-44\end{array}$

أوجد النظير الضربي لكل مصفوفة فيما يأتي إن وجد:

11)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}5& 0\\ 0& 1\end{array}& \end{array}\right]$

${\underset{\_}{A}}^{-1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 5\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}\frac{1}{5}& 0\\ 0& 1\end{array}& \end{array}\right]$

12)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}1& 2\\ 2& 1\end{array}& \end{array}\right]$

${\underset{\_}{A}}^{-1}=\frac{1}{-3}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 1\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-\frac{1}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\end{array}& \end{array}\right]$

13)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}6& 3\\ 8& 4\end{array}& \end{array}\right]$

${\underset{\_}{A}}^{-1}=\frac{1}{0}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}4& -3\\ -8& 6\end{array}& \end{array}\right]$

لا يوجد.

14)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-3& -2\\ 6& 4\end{array}& \end{array}\right]$

${\underset{\_}{A}}^{-1}=\frac{1}{0}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}4& 2\\ -6& -3\end{array}& \end{array}\right]$

لا يوجد.

استعمل معادلة مصفوفيه لحل نظام المعادلتين الآتي:

15)

$\begin{array}{c}\begin{array}{r}2x-y=9\\ x+2y=8\end{array}\\ \left|\underset{\_}{C}\right|=\left|\begin{array}{c}\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\end{array}\right|=4+1=5\\ x=\frac{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{cc}-9& -1\\ 8& 2\end{array}\end{array}\right|}{5}=\frac{10}{5}=2\\ y=\frac{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{cc}2& -9\\ 1& 8\end{array}\end{array}\right|}{5}=\frac{25}{5}=5\\ x=2\\ y=5\end{array}$

استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات فيما يأتي:

16)

$\begin{array}{rl}& x-y+2z=0\\ & 3x+z=11\\ & -x+2y=0\end{array}$

$\begin{array}{c}\left|\underset{\_}{C}\right|=\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 3& 0& 1|\\ -1& 2& 0\end{array}\end{array}\right|\begin{array}{ccc}1& -1& \\ 3& 0& \\ -1& 2& \end{array}\\ \begin{array}{l}0+1+12=13\\ 0+2+0=2\end{array}\\ 13-2=11\end{array}$

$x=\frac{\mid \underline{\begin{array}{ccccc}0& -1& 2& 0& -1\\ 11& 0& 1& 11& 0\\ 0& 2& 0& 0& 2\end{array}}}{11}=\frac{\left\{\right(0+0+44)-(0+0+0\left)\right\}}{11}$

$x=\frac{44}{11}=4$

$y={\frac{\mid \underline{\begin{array}{ccccc}1& 0& 2& 1& 0\\ 3& 11& 1& 3& 11\\ -1& 0& 0& -1& 0\end{array}}}{11}}_{}=\frac{-22}{11}=-2$

$\frac{11-22}{11}=\frac{-11}{11}=-1$ $z={\frac{\mid \underline{\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& 1& -1\\ 3& 0& 11& 3& 0\\ -1& 2& 0& -1& 2\end{array}}}{11}}_{}=$

$\begin{array}{rl}& x=4\\ & y=2\\ & z=-1\end{array}$

17)

$\begin{array}{rl}& 2x+2y+4z=2\\ & 3x+4y-8z=-3\\ & -3x-6y+12z=5\end{array}$

$\begin{array}{cc}6& 2\\ 3& 4\\ -3& -6\end{array}$ $\left|\underset{\_}{C}\right|=\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}6& 2& 4\\ 3& 4& -8\\ -3& -6& 12\end{array}\end{array}\right|$

$=\left\{\right(288+48+(-72))-(-48+288+72\left)\right\}=264-312=-48$

$\begin{array}{cc}2& 2\\ -3& 4\\ 5& -6\end{array}$ $x=\frac{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}2& 2& 4\\ -3& 4& -8\\ 5& -6& 12\end{array}\end{array}\right|}{-48}$

$=\frac{(96+(-80)+72)-(80+96+(-72\left)\right)}{-48}$

$x=\frac{88-104}{-48}=\frac{-16}{-48}=\frac{1}{3}$

$y=\frac{\mid \underline{\begin{array}{ccccc}6& 2& 4& 6& 2\\ 3& -3& -8& 3& -3\\ -3& 5& 12& -3& 5\end{array}}}{-48}$

$=\frac{(-216+48+60)-(36+(-240)+72)}{-48}$

$y=\frac{-108-(-132)}{-48}=\frac{24}{-48}=-\frac{1}{2}$

$z=\frac{\mid \underline{\begin{array}{ccccc}6& 2& 2& 6& 2\\ 3& 4& -3& 3& 4\\ -3& -6& 5& -3& -6\end{array}}}{-48}=$

$z=\frac{102-114}{-48}=\frac{-12}{-48}=\frac{1}{4}$

$x=\frac{1}{3},y=-\frac{1}{2},z=\frac{1}{4}$