حل أسئلة تدرب وحل المسائل

بسّط كل عبارة جذرية فيما يأتي:

16)

$6a^4{b}^2\sqrt{2b}=\sqrt{72a^8{b}^5}$

17)

$3a^{7}b\sqrt{ab}=\sqrt{9a^{15}{b}^3}$

18)

$3\left|a^3\right|b{c}^2\sqrt{2bc}=\sqrt{18a^6{b}^3{c}^5}$

19)

$\frac{\sqrt{70xy}}{10y^2}=\sqrt{\frac{7x}{10y^3}}$

20)

$\frac{\sqrt[3]{150x^2{y}^2}}{5y}=\frac{\sqrt[3]{6x^2}}{\sqrt[3]{5y}}$

21)

$\frac{\sqrt[4]{28b^2{x}^3}}{2\left|b\right|}=\sqrt[4]{\frac{7x^3}{4b^2}}$

22)

$120y\sqrt{2z}=3\sqrt{5y}\cdot 8\sqrt{10yz}$

23)

$120y\sqrt{2z}=2\sqrt{32a^3{b}^5}\cdot \sqrt{8a^7{b}^2}$

24)

$9\sqrt{10}+8\sqrt{5}+9\sqrt{2}=3\sqrt{90}+4\sqrt{20}+\sqrt{162}$

25)

$8\sqrt{7}-72\sqrt{10}+2\sqrt{11}=4\sqrt{28}-8\sqrt{810}+\sqrt{44}$

26) هندسة: أوجد محيط المستطيل في الشكل المجاور واكتبه في أبسط صورة ثم أوجد مساحته واكتبها في أبسط صورة.

محيط المستطيل = $16+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}\mathrm{ft}$

مساحة المستطيل = $8\sqrt{6}+3\sqrt{2}{\mathrm{ft}}^2$

بسّط كل من العبارات الجذرية الآتية:

27)

$56\sqrt{3}+42\sqrt{6}-36\sqrt{2}-54=(7\sqrt{2}-3\sqrt{3})(4\sqrt{6}+3\sqrt{12})$

28)

$36\sqrt{2}+36\sqrt{6}+20\sqrt{3}+60=(6\sqrt{3}+5\sqrt{2})(2\sqrt{6}+3\sqrt{8})$

29)

$6\sqrt{3}+6\sqrt{2}=\frac{6}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

30)

$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

31)

$\frac{20-7\sqrt{3}}{11}=\frac{9-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+6}$

32)

$2=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$

بسّط كل من العبارات الجذرية الآتية:

33)

$-3x^2{y}^3\sqrt[3]{2y^2}=\sqrt[3]{-54x^6{y}^{11}}$

34)

$\frac{\sqrt[4]{1500a^2{b}^3{x}^3{y}^2}}{5\left|a\right|b}=\sqrt[4]{\frac{12x^3{y}^2}{5a^{2}b}}$

35)

$\frac{\sqrt[3]{450y^2{z}^2}}{5z}=\frac{\sqrt[3]{36x{y}^2}}{\sqrt[3]{10xz}}$

36)

$\frac{(x+1)(\sqrt{x}+1)}{x-1}=\frac{x+1}{\sqrt{x}-1}$

37)

$\frac{\sqrt{x^2-4}}{x+2}=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4}}$

38)

$\frac{\sqrt{x^3-x}}{x^2-1}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2-1}}$

39) تفاح: يرتبط قطر التفاحة مع كتلتها بالدالة $d=\sqrt[3]{3w}$ حيث d تمثل القطر بالبوصة w الكتلة بالأونصات أوجد قطر تفاحة كتلتها 47.6 أونصات.

قطر التفاحة = $\text{2.69}$ بوصة تقريباً.

بسّط كل عبارة زوجية فيما يأتي حيث b عدد زوجي:

40)

$\left|a\right|=\sqrt[b]{a^b}$

41)

$a^4=\sqrt[b]{a^{4b}}$

42)

$a^2=\sqrt[b]{a^{2b}}$

43)

$\left|a^3\right|=\sqrt[b]{a^{3b}}$

44) تمثيلات متعددة: ستستكشف في هذا السؤال العمليات على الجذور المتشابهة.

a) عددياً: انقل الشكل المجاور على ورقة نقطية واستعمل نظرية فيثاغورس لإثبات أن طول القطعة المستقيمة الحمراء يساوي $\sqrt{2}$ وحدة.

$\begin{array}{r}{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2={\mathrm{c}}^2\\ 1^2+1^2={\mathrm{c}}^2\\ 2={\mathrm{c}}^2\\ \sqrt{2}=\mathrm{c}\end{array}$

b) بيانياً: زد طول القطعة المستقيمة الحمراء ليصبح $\sqrt{2}$ + $\sqrt{2}$.

c) تحليلياً: استعمل الشكل الذي رسمته لتبين أن: $\sqrt{2}+\sqrt{2}\ne \sqrt{2}+2=2$.

طول وتر المثلث القائم الزاوية متطابق الضلعين والذي طول كل منهما وحدتان يساوي $\sqrt{2}$ + $\sqrt{2}$ وحدة لذا فإن $\sqrt{2}+\sqrt{2}>2$

d) بيانياً: استعمل الورقة النقطية لرسم مربع طول ضلعه $\sqrt{2}$ وحدة.

e) عددياً: برهن على أن مساحة المربع تساوي $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$ وحدة مربعة.

بما أن المربع ينتج أربع مثلثات طول قاعدة كل منها وحدة واحدة وارتفاعه وحدة واحدة لذا فمساحة كل منها هي $\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}$

$\begin{array}{rl}& \text{إذن}\left(1\right).\left(1\right)=\frac{1}{2}\cdot 4\left(\frac{1}{2}\right)=2\\ & \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2,4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)=2\end{array}$