تدرب وحل المسائل

في كلّ ممَّا يأتي، حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه، وإلا فحدد المعلومات الإضافية الكافية لإثبات أنهما متشابهان؟ ووضح إجابتك.

9)

نعم، $\mathrm{△}XUZ~\mathrm{△}WUY$

وفق نظرية التشابه SSS حيث أن:

$\frac{XU}{WU}=\frac{UZ}{UY}=\frac{XZ}{WY}$

10)

لا، يجب أن يكون $\overline{BC},\overline{DF}$ متوازيتان حتى يكون $\mathrm{△}DAF~\mathrm{△}BAC$

وفق مسلمة التشابه AA حيث أن $\frac{CB}{DB}=\frac{BA}{BF},CBA\cong DBF$.

11)

نعم، $\mathrm{△}CBA~\mathrm{△}DBF$

وفق نظرية التشابه SAS حيث أن:

$\frac{CB}{DB}=\frac{BA}{BF},\mathrm{\angle }CBA\cong \mathrm{\angle }DBF$

جبر: أوجد الطول المطلوب في كلّ مما يأتي:

12) JK

$$\begin{gathered} \mathrm{\angle }\mathrm{PLM}\cong \mathrm{\angle }\mathrm{JLK},\mathrm{\angle }\mathrm{J}\cong \mathrm{\angle }\mathrm{P} \\ \mathrm{△}\mathrm{JJLK}\mathrm{◻}\mathrm{\Delta PLM} \\ \begin{array}{r}\frac{\mathrm{JK}}{\mathrm{PM}}=\frac{\mathrm{JL}}{\mathrm{PL}}\\ \frac{\mathrm{JK}}{12}=\frac{4}{6}\\ \mathrm{JK}=\frac{4\times 12}{6}=8\end{array} \end{gathered}$$

13) WZ,UZ

$$\begin{gathered} \mathrm{\angle }\mathrm{WUZ}\cong \mathrm{\angle }\mathrm{YUW} \\ \mathrm{\angle }\mathrm{ZWU}\cong \mathrm{\angle }\mathrm{WYU} \\ \begin{array}{c}\mathrm{WU}=\sqrt{(\mathrm{WY}{)}^2-(\mathrm{YU}{)}^2}\\ \mathrm{WU}=\sqrt{(40{)}^2-(32{)}^2}\\ \mathrm{WU}=24\\ \frac{\mathrm{WZ}}{\mathrm{YW}}=\frac{\mathrm{WU}}{\mathrm{YU}}\\ \begin{array}{rl}\frac{3x-6}{40}& =\frac{24}{32}\\ 96\times -192& =960\\ 96\times & =1152\\ x& =12\\ WZ=3\times 12& -6=30\\ UZ=12+6& =18\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

14) DB,CB

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \mathrm{\angle }\mathrm{DFB}\cong \mathrm{\angle }\mathrm{AFC}\\ & \mathrm{\angle }\mathrm{DBF}\cong \mathrm{\angle }\mathrm{ACF}\end{array} \\ \mathrm{△}\mathrm{AFC}◻\mathrm{\Delta DFB} \\ \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{FB}}{\mathrm{FC}} \\ \begin{array}{r}\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{FB}}{\mathrm{FC}}\\ \frac{2\mathrm{x}+1}{20}=\frac{2\mathrm{x}-1}{12}\end{array} \\ \begin{array}{r}40\mathrm{x}-20=24\mathrm{x}+12\\ 16\mathrm{x}=32\\ \mathrm{x}=2\\ \mathrm{DB}=2\times 2+1=5\\ \mathrm{CB}=12+2\times 2-1=15\end{array} \end{gathered}$$

15) رياضة: قف أيمن بجوار مرمى كرة السلة، إذا كان طول أيمن 5ft و11in، وطول ظله 2ft، وكان طول ظل مرمى كرة السلة في اللحظة ذاتها 4ft و4in، فما ارتفاع المرمى تقريباً.

12.8FT تقريباً.

16) رياضة: رمى عبد الله الكرة لترتد نحو أحمد، فارتطمت بسطح الأرض على بعد $\frac{2}{3}$ المسافة بينهما، وكانت الزاويتان الناتجتان عن مسار الكرة وسطح الأرض متطابقتين، إذا رمى عبد الله الكرة من ارتفاع 40in عن سطح الأرض، فعلى أي ارتفاع سيلتقطها أحمد؟

افترض أن أحمد سيلتقط الكرة على ارتفاع h وأن المسافة بين عبد الله وأحمد تساوي x، فتكون الكرة قد ارتطمت على بعد $\frac{2}{3}x$، أي يكون بعدها الأفقي عن عبد الله $\frac{2}{3}x$ وعن أحمد $\frac{1}{3}x$ وبما أن المثلثين القائمين الناتجين مشابهان، وفق مسلمة التشابه AA إذاً يكون:

$\begin{array}{r}\frac{40}{\frac{2}{3}x}=\frac{h}{\frac{1}{3}x}\\ h=\frac{40\left(\frac{1}{3}x\right)}{\frac{2}{3}x}=20\end{array}$

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين في كلّ ممَّا يأتي:

17) النظرية 6.3.

المعطيات:

$\mathrm{\angle }B\cong \mathrm{\angle }{E}_6\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EH}$

المطلوب:

$\mathrm{△}ABC~\mathrm{△}DEF$

البرهان:

ارسم: $\overline{QP}\parallel \overline{BC},\overline{QP}\cong \overline{EF}$

البرهان:

18) النظرية 6.4.

خاصية الانعكاس للتشابه.

المعطيات:

$\mathrm{△}ABC$

المطلوب:

$\mathrm{△}ABC~\mathrm{△}ABC$

البرهان:

خاصية التماثل للتشابه.

المعطيات:

$\mathrm{△}ABC~\mathrm{△}DEF$

المطلوب:

$\mathrm{△}DEF~\mathrm{△}ABC$

البرهان:

خاصية التعدي للتشابه.

المعطيات:

$\mathrm{△}ABC~\mathrm{△}DEF,\mathrm{△}DEF~\mathrm{△}GHI$

المطلوب:

$\mathrm{△}ABC~\mathrm{△}GHI$

البرهان:

19) المعطيات: $\mathrm{△}ABC,\mathrm{△}XYZ$ قائماً الزاوية.

$\frac{XY}{AB}=\frac{YZ}{BC}$

المطلوب: إثبات أن: $\mathrm{△}YXZ~\mathrm{△}BAC$.

البرهان:

20) المعطيات: ABCD شبه منحرف.

المطلوب: إثبات أن: $\frac{DP}{PB}=\frac{CP}{PA}$

البرهان:

21) رؤية: عندما ننظر إلى جسم، فإن صورته تسقط على الشبكية عبر البؤبؤ، وتكون المسافتان من البؤبؤ إلى أعلى الجسم وأسفله متساويتين، والمسافتان من البؤبؤ إلى أعلى الصورة وأسفلها على الشبكية متساويتين أيضاً، هل المثلثان المتكونان بين الجسم والبؤبؤ وبين البؤبؤ والصورة متشابهان؟ وضح إجابتك.

نعم، إجابة ممكنة:

$\overline{AB}\cong \overline{EB},\overline{CB}\cong \overline{DB}$

إذاً $\mathrm{\angle }ABE\cong \mathrm{\angle }CBD,\frac{AB}{CB}=\frac{EB}{DB}$

لأن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متطابقتان، لذلك $\mathrm{△}ABE~\mathrm{△}CBD$ بحسب نظرية التشابه SSS.

هندسة إحداثية: إحداثيات رؤوس المثلثين $\mathrm{△}XYZ,\mathrm{△}WYV$ هي:

X(-1,-9), Y(5,3), Z(-1,6), W(1, -5), V(1,5).

22) مثل المثلثين بيانياً، وأثبت أن: $\mathrm{△}XYZ~\mathrm{△}WYV$.

$\begin{array}{rl}& XY=\sqrt{{12}^2+6^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\\ & YZ=\sqrt{3^2+(-6{)}^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\\ & ZX=6-(-9)=15\\ & VW=5-(-5)=10\\ & WY=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\\ & YV=\sqrt{2^2+(-4{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\ & \frac{XY}{WY}=\frac{6\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{3}{2},\frac{YZ}{YV}=\frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{3}{2},\frac{ZX}{VW}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}\end{array}$

وبما أن: $\frac{XY}{WY}=\frac{YZ}{YV}=\frac{ZX}{VW}=\frac{3}{2}$، إذاً $\mathrm{△}XYZ~\mathrm{△}WYV$ بحسب نظرية التشابه SSS

23) أوجد النسبة بين محيطي المثلثين.

$\frac{3}{2}$

24) قياس: إذا كان: $\mathrm{△}ABC~\mathrm{△}JKL$، وطول كل ضلع $\mathrm{△}JKL$ يساوي نصف طول الضلع المناظر له في $\mathrm{△}ABC$ ومساحة $\mathrm{△}ABC$ تساوي 40in²، فما مساحة $\mathrm{△}JKL$؟ ما العلاقة بين مساحتي $\mathrm{△}ABC$, $\mathrm{△}JKL$، ومعامل التشابه بينهما؟

$\frac{\mathrm{JK}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{KL}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{JL}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2}$

مساحة $40\mathrm{in}=\mathrm{\Delta ABC}$

$\begin{array}{r}\frac{x}{40}=\frac{1}{2}\\ x=\frac{40}{2}=20\end{array}$

مساحة $20{\mathrm{in}}^2=\mathrm{\Delta JKL}$

النسبة بين المساحتين تساوي مربع التشابه. ومعامل التشابه يساوي $\frac{1}{2}$

25) علاج: استعمل معلومات الربط بالحياة والشكل المجاور لإيجاد المسافة التي يجب أن تفصل بين مصدري أشعة الليزر حتى
تكون المنطقتان المعالجتان المتطابقتان بكل من المصدرين غير متداخلتين.

31.5cm

26) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستستقصي الأجزاء المتناسبة في مثلث.

a) هندسياً: ارسم $\mathrm{△}ABC$ وارسم $\overline{DE}$، بحيث تكون موازية ل $\overline{AC}$ كما في الشكل المجاور.

b) جدولياً: قس الأطوال EB, CE, DB, AD وسجلها في جدول، وأوجد النسبتين $\frac{AD}{DB},\frac{CE}{EB}$ وسجلهما في الجدول نفسه.

c) لفظياً: اكتب تخميناً حول القطع المستقيمة الناتجة عن مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين.

إجابة ممكنة: مسلمة التشابه AA ونظرية التشابه SS ونظرية التشابه SAS، كلها اختبارات يمكن استعمالها لتحديد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا، وتستعمل مسلمة التشابه AA، عندما يكون معلوماً أن زوجين من زوايا المثلثين متطابقان، وتستعمل نظرية التشابه SSS عندما تكون أطوال الأضلاع المتناظرة لمثلثين متناسبة. وتستعمل نظرية التشابه SAS عندما يكون معلوماً أن طولي ضلعين في أحد المثلثين متناسبان مع طولي الضلعين المناظرين لهما في المثلث الآخر، والزاوية المحصورة بينهما في كلا المثلثين متطابقة.