حل أسئلة تدرب وحل المسائل

عد إلى $\odot R$ في الشكل المجاور؛ للإجابة عن الأسئلة الآتية.

10) ما مركز الدائرة؟

R

11) عين وتراً يكون قطراً.

SU

12) هل $\overline{VU}$ نصف قطر؟ برِّر إجابتك.

لا، لأن $\overline{VU}$ وتراً يقع طرفاه على محيط الدائرة، بينما نصف القطر أحد طرفيه يقع على مركز الدائرة.

13) إذا كان SU=16.2cm، فأوجد RT.

2r=d

16.2=2r

r=8.1cm

إذا كان نصف قطر $\odot J$ يساوي 10 وحدات، ونصف قطر $\odot K$يساوي 8 وحدا وBC يساوي 5.4 وحدات، فأوجد كل قياس مما يأتي:

14) CK

KB=CK+CB

8=CK+5.4

CK=2.6

15) AB

AC=AB+BC

20=AB+5.4

AB=14.6

16) JK

JK=JC+CK

JK=10+2.3

JK=12.6

17) AD

AD=AB+BD

AD=14.6+16

AD=30.6

18) بيتزا: أوجد نصف قطر قرص البيتزا ومحيطها في الشكل المجاور، مقرباً الإجابة إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم ذلك.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{r}=\frac{1}{2}\mathrm{d}\\ & \mathrm{r}=\frac{14}{2}\\ & \mathrm{r}=7\mathrm{in}\\ & \mathrm{C}=\pi \mathrm{d}\\ & \mathrm{C}=\pi \left(14\right)\\ & \mathrm{C}=43.96\mathrm{in}\end{array}$

19) دراجات: قطر إطار دراجة يساوي 26in، أوجد نصف قطر الإطار ومحيطه، مقرباً إجابتك إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم ذلك.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{r}=\frac{1}{2}\mathrm{d}\\ & \mathrm{r}=13\mathrm{in}\\ & \mathrm{C}=\pi \mathrm{d}\\ & \mathrm{C}=\pi \left(26\right)\\ & \mathrm{C}=81.68\mathrm{in}\end{array}$

أوجد قطر الدائرة ونصف قطرها إذا علم محيطها في كلٍّ مما يأتي، مقرباً إجابتك إلى أقرب جزء من مئة.

20) C=18in

$\begin{array}{rl}C& =\pi d\\ d& =\frac{18}{3.14}=5.73\mathrm{in}\\ r& =\frac{1}{2}d\\ r& =2.86in\end{array}$

21) C=124ft

$\begin{array}{rl}& C=2\pi r\\ & 124=2\pi r\\ & r=\frac{124}{2\pi }=19.74ft\\ & d=2r\\ & d=39.49ft\end{array}$

22) C=375.3cm

$\begin{array}{rl}& \mathrm{C}=2\pi \mathrm{r}\\ & 375.3=2\pi \mathrm{r}\\ & \mathrm{r}=\frac{124}{2\pi }=59.76\mathrm{cm}\\ & \mathrm{d}=2\mathrm{r}\\ & \mathrm{d}=119.52\mathrm{cm}\end{array}$

23) C=2608.25m

$\begin{array}{rl}& C=2\pi r\\ & 2608.25=2\pi r\\ & r=\frac{2608.25}{2\pi }=415.3\mathrm{m}\\ & d=2\mathrm{r}\\ & \mathrm{d}=830.65\mathrm{m}\end{array}$

أوجد القيمة الدقيقة لمحيط كلّ من الدوائر الآتية باستعمال المضلع الذي تحيط به أو الذي يحيط بها.

24)

لإيجاد طول القطر من فيثاغورث:

a²+b²+d²

5²+9²+d²

d=1.0.29in

لإيجاد المحيط:

$\begin{array}{rl}& \mathit{C}\mathit{=}\mathit{\pi }\mathit{d}\\ & \mathit{C}\mathit{=}\mathit{10}\mathit{.3}\mathit{\pi }\mathit{i}\mathit{n}\end{array}$

25)

طول القطر = طول ضلع الضلع المربع المحيط بالدائرة= 14yd

$\begin{array}{rl}& \mathrm{C}=\pi d\\ & \mathrm{C}=14\pi \mathrm{yd}\end{array}$

26)

$\begin{array}{rl}& C=2r\pi \\ & C=2\times 8\pi \\ & C=16\pi \end{array}$

27) فناء: أراد مصطفى أن يرصف فناء، دائري الشكل، كما في الشكل المجاور.

a) ما المحيط التقريبي لهذا الفناء؟

$\begin{array}{rl}& \mathrm{C}=2\pi \mathrm{r}\\ & \mathrm{C}=2\pi \left(5\right)\\ & \mathrm{C}=31.4\mathrm{ft}\end{array}$

b) إذا غيَّر مصطفى خطة إنشاء هذا الفناء، بحيث يصبح محيط الدائرة الداخلية 25 ft تقريباً، فكم يكون نصف قطر الدائرة مقرباً إلى أقرب قد؟

$\begin{array}{rl}& \mathrm{C}=2\pi \mathrm{r}\\ & 25=2\pi \mathrm{r}\\ & \mathrm{r}=3.98\mathrm{ft}\end{array}$

في كلّ من الأسئلة 31-28 علم نصف قطر أو قطر أو محيط دائرة، أوجد القياسين المجهولين مقرباً إجابتك إلى أقرب جزء من مئة.

28) $d=8\frac{1}{2}\text{in},r=\underset{\_}{?},C=\underset{\_}{?}$

$\begin{array}{rl}& C=\pi d\\ & C=8\frac{1}{2}\pi \\ & C=26.69in\\ & r=\frac{1}{2}d\\ & r=\frac{8.5}{2}\\ & \mathbf{r}=4.25\end{array}$

29) $r=11\frac{2}{5}\mathrm{ft},d=\underline{?},C=\underset{\_}{?}$

$\begin{array}{rl}& C=2\pi r\\ & C=2\pi \times 11\frac{2}{5}\\ & C=71.6in\\ & d=2r\\ & d=2\times 11\frac{2}{5}\\ & d=22.8\end{array}$

30) $C=35x\mathrm{cm},d=\underset{\_}{?},r=\underset{\_}{?}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{C}=2\pi \mathrm{r}\\ & 35\mathrm{x}=2\pi \times \mathrm{r}\\ & \mathrm{r}=5.57\mathrm{x}\\ & \mathrm{d}=2\mathrm{r}\\ & \mathrm{d}=11.14\end{array}$

31) $r=\frac{x}{8},d=\underset{\_}{?},C=\underset{\_}{?}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{C}=2\pi \mathrm{r}\\ & \mathrm{C}=2\pi \times \frac{\mathrm{x}}{8}\\ & \mathrm{r}=\frac{1}{4}\pi \mathrm{x}\\ & \mathrm{d}=2\mathrm{r}\\ & \mathrm{d}=2\times \frac{1}{4}\pi \mathrm{x}\\ & \mathrm{d}=\frac{1}{2}\pi \mathrm{x}\end{array}$

32) حدائق: يراد إنشاء رصيف عرضه 4 m حول بركة دائرية الشكل محيطها 68 m، فما محيط الرصيف؟ قرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة.

$\begin{array}{r}C=2\pi r\\ C=93.13\mathrm{ft}\end{array}$

33) تمثيلات متعددة: في هذا السؤال ستستكشف أثر تغيير الأبعاد في الدائرة.

a) هندسياً: مستعملاً الفرجار ارسم ثلاث دوائر متحدة المركز، بحيث تكون نسبة طول نصف قطر كل دائرة إلى طول نصف قطر الدائرة الأكبر منها تساوي $\frac{1}{2}$.

b) جدولياً: احسب محيط كلّ من الدوائر السابقة مقرباً إلى أقرب جزء من مئة، وسجل في جدول نصف القطر والمحيط لكلّ منها.

c) لفظياً: فسر لماذا تكون الدوائر الثلاث متشابهة هندسياً.

إجابة ممكنة: لأن لها الشكل الدائري نفسه، إلَّا أنها تختلف في القياس.

d) لفظياً: ضع تخميناً حول النسبة بين محيطي الدائرتين، عندما تكون النسبة بين نصفي قطريهما تساوي 2.

النسبة بين محيطيهما تساوي 2.

e) تحليلياً: معامل التشابه من $\odot A$ إلى $\odot B$ يساوي $\frac{b}{a}$. اكتب معادلة تربط محيط $\left(C_A\right)\odot A$ بمحيط $\left(C_B\right)\odot B$.

$\left(C_B\right)=\frac{b}{a}\left(C_A\right)$

f) عددياً: إذا كان معامل التشابه من $\odot A$ إلى $\odot B$ يساوي $\frac{1}{3}$، ومحيط $\odot A$ يساوي 12in، فما محيط $\odot B$؟

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{3}=\frac{12}{\mathrm{B}}\\ & B=\frac{12\times 3}{1}=36in\end{array}$

34) رياضة: يظهر في الصورة أدناه مضمار جري.

a) كم تزيد المسافة التي يقطعها شخص يركض دورة واحدة على المسار الخارجي للمضمار، عن المسافة التي يقطعها شخص يركض دورة واحدة على المسار الداخلي؟

50.27 ft.

b) كم دورة تقريباً يجب أن يركض شخص على المسار الخارجي للمضمار؛ ليقطع ميلاً واحداً؟

15 دورة تقريباً.