تدرب وحل المسائل

برهان: اكتب برهاناً من النوع المذكور في كلّ من السؤالين الآتيين:

5) برهان حر.

المعطيات:

المطلوب:

البرهان:

نعلم أن وبحسب خاصية الانعكاس وبما أن ، فإن بحسب SSS.

6) برهان ذو عمودين.

المعطيات:

• تنصف

المطلوب:

البرهان:

7) جسور: جسر الرياض المعلق طوله 763 m، وهو مثبت بحبال معدنية معلقة بدعامتين خرسانيتين، كما هو مبين بالشكل، بحيث يلتقي الحبلان المعدنيان العلويان في النقطة C عند منتصف المسافة بين الدعامتين، إذا كانت AB=ED فأثبت أن المثلثين المبينين في الشكل المجاور متطابقان.

المعطيات:

• C نقطة منتصف

المطلوب:

البرهان:

حدد ما إذا كان في كلّ من السؤالين الآتيين، ووضح إجابتك:

8) M(2, 5), N(5, 2), O(1, 1), Q(-4, 4), R(-7, 1), S(-3, 0)

بما أن كل ضلعين من الأضلاع المتناظرة متساويان في الطول فإنهما متطابقان، إذن بحسب SSS.

9) M(0, -1), N(-1, -4), O(-4, -3), Q(3, -3), R(4, -4), S(3, 3)

, ، بما أن في المثلث الأول لا يطابق أي ضلع في المثلث الثاني، إذن يوجد ضلعان متناظران غير متطابقين، فالمثلثين غير متطابقين، وبذلك يمكن أن نكتفي بحساب طولي ضلعين متناظرين غير متطابقين.

برهان: اكتب برهاناً من النوع المحدد في كلّ من السؤالين الآتيين:

10) برهان ذو عمودين.

المعطيات:

• تنصف

المطلوب:

البرهان:

11) برهان حر.

المعطيات: R نقطة المنتصف لكل من

المطلوب:

البرهان:

بما أن R نقطة منتصف لكل من ، إذن و من نظرية نقطة المنتصف، وكذلك بحسب نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس؛ إذن بحسب SAS.

12) برهان: اكتب برهاناً تسلسلياً.

• المعطيات: نقطة منتصف لكل من .
• المطلوب:

البرهان:

حدد ما إذا كان المثلثان في كلّ من الأسئلة الآتية متطابقين أم لا، وضح إجابتك.

13)

SSS

14)

غير ممكن.

15)

SAS

16) إشارة تحذيرية: استعمل الشكل المجاور.

a) ما اسم المجسم الذي تمثله إشارة التحذير.

هرم.

b) إذا كان ، فأثبت أن .

• المعطيات:
• المطلوب:

البرهان:

c) لماذا يبدو المثلثان غير متطابقين في الشكل؟

إجابة ممكنة: المجسم ثلاثي الأبعاد، ولذا عندما يتم رسمه في المستوى الثنائي الأبعاد يظهر وكأن المثلثين مختلفان.

17) برهان: اكتب برهاناً تسلسلياً.

• المعطيات:
• المطلوب:

البرهان:

18) في الشكل المجاور ABCD مزرعة مربعة الشكل، ويريد أخوان فصلها باستعمال سياج على أحد القطرين.

a) اكتب برهاناً ذا عمودين لإثبات أن BD=AC.

• المعطيات: ABCD مربع
• المطلوب: BD=AC

البرهان:

b) اكتب برهاناً ذا عمودين لإثبات أن .

المعطيات:

• قوائم.

المطلوب:

البرهان:

19) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين.

• المعطيات: .
• المطلوب:

البرهان:

20) برهان: اكتب برهاناً حراً.

• المعطيات:
• المطلوب:

البرهان:

بما أن , فإنه وبحسب تعريف التطابق، GH=JH, HL=HM. وبحسب مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة يكون GL=GH+HL، JM=JH+HM. بالتعويض: GL=JH+HM وهذا يعني ان GL=JM، وبحسب تعريف التطابق تكون وبما أن ، فإنه وبحسب تعريف التطابق يكون PM = KL. باستعمال خاصية الجمع للمساواة PM+ML=KL+LM وهذا يعني أن PL = KM.

وبحسب تعريف التطابق يكون، . وبما أن فإنه بحسب SSS يكون .

ولأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة فإن

جبر: أوجد قيمة المتغير التي تجعل المثلثين متطابقين في كلّ من السؤالين الآتيين، وفسّر إجابتك:

21)

y=4، لأن:

22)

x=3،لأن: