تدرب وحل المسائل

في $△SZU$، إذا كان ZT=18، فأوجد كل مما يأتي:

5) YJ

4.5

6) SJ

6

7) YU

13.5

8) SV

9

9) JT

6

10) ZJ

12

11) تصميم داخلي: صنعت كوثر لوحة مثلثة الشكل كما في الشكل أدناه لتضع عليها صور معالم مشهورة، وأرادت أن تعلقها في سقف حجرتها على أن تكون موازية له، فعند أي نقطة يجب أن تثبت الخيط؟

(3,4)

12) هندسة إحداثية: أوجد إحداثيات ملتقى الارتفاعات للمثلث الذي رؤوسه: J(3, -2), K(5, 6), L(9, -2)

(-5,1)

صنف $\overline{BD}$ في كلّ من الأسئلة الآتية إلى ارتفاع، أو قطعة متوسطة، أو عمود منصف:

13)

ارتفاع.

14)

قطعة متوسطة.

15)

عمود منصف.

16) جبر: في الشكل المجاور، إذا كانت J,P,L نقاط منتصفات $\overline{KH},\overline{HM},\overline{MK}$ على الترتيب، فأوجد قيمة كلّ من x,y,z.

x=4.75, y=6, z=1

17) جبر: في الشكل المجاور، إذا كانت $\overline{EC}$ ارتفاعاً ل $△AED$، $m\mathrm{\angle }1=(2x+7{)}^{\circ },m\mathrm{\angle }2=(3x+13{)}^{\circ }$ فأوجد كلاً من $m\mathrm{\angle }1,m\mathrm{\angle }2$.

$m\mathrm{\angle }1={35}^{\circ },m\mathrm{\angle }2={55}^{\circ }$

في الشكل المجاور، حدد ما إذا كانت $\overline{LM}$ عموداً منصفاً، أو قطعة متوسطة، أو ارتفاعاً ل$△JKL$ في كل حالة مما يأتي:

18) $\overline{LM}\perp \overline{JK}$

ارتفاع.

19) $\mathrm{△}JLM\cong \mathrm{△}KLM$

عمود منصف وقطعة متوسطة وارتفاع.

20) $\overline{JM}\cong \overline{KM}$

قطعة متوسطة.

21) $\overline{LM}\perp \overline{JK},\overline{JL}\cong \overline{KL}$

عمود منصف وقطعة متوسطة وارتفاع.

22) برهان: اكتب برهاناً حراً.

• المعطيات: $△XYZ$ متطابق الضلعين فيه $\overline{WY}$ تنصف $\overline{XY}\cong \overline{ZY},\mathrm{\angle }Y$..
• المطلوب: $\overline{WY}$ قطعة متوسطة.

البرهان: من تعريف منصف الزاوية، تعلم أن $\mathrm{\angle }XYW\cong \mathrm{\angle }ZYW$، كما أن $\overline{YW}\cong \overline{YW}$ بحسب خاصية الانعكاس.

لذلك وبحسب SAS يكون $\mathrm{△}XYW\cong \mathrm{△}ZYW$.

إذن $\overline{XW}\cong \overline{ZW}$; لأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة، وبحسب نظرية نقطة المنتصف تكون W نقطة منتصف $\overline{XZ}$، ومن تعريف القطعة المتوسطة تكون $\overline{WY}$ قطعة متوسطة.

23) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين.

• المعطيات: $\overline{XR},\overline{YS},\overline{ZQ}$ قطع متوسطة ل $△XYZ$.
• المطلوب: $\frac{XP}{PR}=2$

البرهان:

24) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، ستكتشف مواقع نقاط التلاقي لأي مثلث متطابق الأضلاع.

a) عملياً: أنشئ ثلاث مثلثات متطابقة الأضلاع ومختلفة بعضها عن بعض على ورق سهل الطي، ثم قصها، واطوي كل مثلث لتحدد موقع مركز الدائرة الخارجية للمثلث، ومركز الدائرة الداخلية للمثلث، ومركز المثلث، وملتقى الارتفاعات.

b) لفظياً: خمن العلاقات بين نقاط التلاقي الأربع لأي مثلث متطابق الأضلاع.

إجابة ممكنة: نقاط التلاقي الأربع للمثلث المتطابق الأضلاع هي النقطة نفسها.

c) بيانياً: ارسم مثلثاً متطابق الأضلاع في مستوى إحداثي، وعين مركز الدائرة الخارجية للمثلث، ومركز الدائرة الداخلية، ومركز المثلث، وملتقى الارتفاعات، وحدّد إحداثيات كل نقطة منها.

جبر: في $m\mathrm{\angle }JMP=(3x-6{)}^{\circ },JK=3y-2,LK=5y-8،\mathrm{△}JLP$.

25) إذا كانت $\overline{JM}$ ارتفاعاً ل $△JLP$، فأوجد x.

32

26) إذا كانت $\overline{PK}$ قطعة متوسطة، فأوجد LK.

7