تدرب وحل المسائل

استعمل نظرية متباينة الزاوية الخارجية؛ لكتابة جميع الزوايا المرقمة التي تحقق الشرط المعطى في كلّ مما يأتي:

8) قياساتها أكبر من $m\mathrm{\angle }2$.

$\angle 4$

9) قياساتها أقل من $m\mathrm{\angle }4$.

$\mathrm{\angle }1,\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }6,\mathrm{\angle }8$

10) قياساتها أقل من $m\mathrm{\angle }9$.

$\mathrm{\angle }1,\mathrm{\angle }3,\mathrm{\angle }6,\mathrm{\angle }7$

11) قياساتها أكبر من $m\mathrm{\angle }8$.

$\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }4,\mathrm{\angle }5$

اكتب زوايا كل مثلث مرتبة من الأصغر إلى الأكبر في كلّ مما يأتي:

12)

$\mathrm{\angle }W,\mathrm{\angle }Y,\mathrm{\angle }Z$

13)

$\mathrm{\angle }H,\mathrm{\angle }J,\mathrm{\angle }K$

14)

$\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }C$

15) كرة قدم: يقف أحمد وخالد وماهر في ملعب كرة قدم كما في الشكل أدناه، ويريد ماهر أن يمرّر الكرة إلى أحد زميليه، على أن تكون مسافة التمرير أقصر، أيهما يختار: خالد أم أحمد؟ برر إجابتك.

إجابة ممكنة: باستعمال نظرية مجموع قياسات زوايا المثلث، فإن قياس الزاوية المقابلة للقطعة المستقيمة الواصلة بين ماهر وخالد °70.

وبما أن $48<70$ إذاً المسافة من ماهر إلى أحمد ستكون هي الأقصر، وهذا يعني أن ماهر سيختار أحمد ليمرر له الكرة.

16) منحدرات: يمثل المنحدر طريقاً للدراجات الهوائية، فأيهما أطول؛ طول المنحدر $\overline{XZ}$ أم طول السطح العلوي للمنحدر $\overline{YZ}$؟ وضع إجابتك باستعمال النظرية 4.9.

بما أن $m\mathrm{\angle }X={90}^{\circ }$، فإن $m\mathrm{\angle }Y+m\mathrm{\angle }Z={90}^{\circ }$ إذن $m\mathrm{\angle }Y<{90}^{\circ }$ حسب تعريف المتباينة لذا فإن $m\mathrm{\angle }X>m\mathrm{\angle }Y$ أي أن الضلع الذي يقابل $\angle X$ أطول من الضلع الذي يقابل $\angle Y$ ولما أن $\overline{YZ}$ يقابل $\angle X$ و $\overline{XZ}$ يقابل $\angle Y$$YZ>XZ$ فإن، وهذا يعني أن السطح العلوي للمنحدر أطول من طول المنحدر.

17) اكتب زوايا المثلث المجاور مرتبة من الأصغر إلى الأكبر:

$\mathrm{\angle }Y,\mathrm{\angle }X,\mathrm{\angle }Z$

استعمل الشكل المجاور؛ لتحدد الزاوية ذات القياس الأكبر في كل مجموعة مما يأتي:

18) $\mathrm{\angle }1,\mathrm{\angle }5,\mathrm{\angle }6$

$\mathrm{\angle }1$

19) $\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }4,\mathrm{\angle }6$

$\mathrm{\angle }2$

20) $\mathrm{\angle }7,\mathrm{\angle }4,\mathrm{\angle }5$

$\mathrm{\angle }7$

21) $\mathrm{\angle }3,\mathrm{\angle }11,\mathrm{\angle }12$

$\mathrm{\angle }3$

22) $\mathrm{\angle }3,\mathrm{\angle }9,\mathrm{\angle }14$

$\mathrm{\angle }3$

23) $\mathrm{\angle }8,\mathrm{\angle }10,\mathrm{\angle }11$

$\mathrm{\angle }8$

استعمل الشكل المجاور؛ لتحدد العلاقة بين قياسات الزوايا المعطاة في كلّ من الأسئلة الآتية:

24) $\mathrm{\angle }ABD,\mathrm{\angle }BDA$

$m\mathrm{\angle }ABD>m\mathrm{\angle }BDA$

25) $\mathrm{\angle }BCF,\mathrm{\angle }CFB$

$m\mathrm{\angle }BCF>m\mathrm{\angle }CFB$

26) $\mathrm{\angle }BFD,\mathrm{\angle }BDF$

$m\mathrm{\angle }BFD<m\mathrm{\angle }BDF$

27) $\mathrm{\angle }DBF,\mathrm{\angle }BFD$

$m\mathrm{\angle }DBF<m\mathrm{\angle }BFD$

استعمل الشكل المجاور؛ لتحدد العلاقة بين أطوال الأضلاع المعطاة في كلّ من الأسئلة الآتية:

28) $\overline{SM},\overline{MR}$

$MR>SM$

29) $\overline{RP},\overline{MP}$

$RP>MP$

30) $\overline{RQ},\overline{PQ}$

$RQ<PQ$

31) اكتب أضلاع كل مثلث في الشكل المجاور مرتبة من الأقصر إلى الأطول، ووضح إجابتك.

في $△ABC$ يكون $AB<BC<AC$، وفي $△BCD$ يكون $BC<CD<BD$

32) تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذه المسألة العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث.

a) هندسياً: ارسم ثلاث مثلثات: الأول حاد الزوايا، والثاني منفرج الزاوية، والثالث قائم الزاوية، وسم رؤوس كل مثلث A,B,C.

b) جدولياً: استعمل المسطرة لقياس أطوال أضلاع كل مثلث، ثم انسخ الجدول في دفترك وأكمله.

c) جدولياً: نظّم جدولين آخرين كالجدول أعلاه، وأوجد مجموع BC,CA في أحدهما، ومجموع AB,CA في الجدول الآخر.

d) جبرياً: اكتب متباينة لكل جدول كونته تربط بين مجموع طولي الضلعين في مثلث وطول الضلع الثالث.

$AB+BC>CA,BC+CA>AB,AB+CA>BC$

e) لفظياً: خمن العلاقة بين مجموع طولي ضلعين في المثلث وطول الضلع الثالث.

إجابة ممكنة: مجموع طولي أيّ ضلعين في أي مثلث يكون أكبر من طول الضلع الثالث.