مثل كل نظام فيما يأتي بيانياً، وأوجد عدد حلوله، وإن كان واحداً فاكتبه:

٤س - ٦ص = ١٢

-٢س + ٣ص = -٦

٤س - ٦ص = ١٢

عند س = ٠، ص = -٢

إذن النقطة (٠، -٢)

عند ص = ٠، س = ٣

إذن النقطة (٣، ٠)

-٢س + ٣ص = -٦

عند س = ٠، ص = -٢

إذن النقطة (٠، -٢)

عند ص = ٠، س = ٣

إذن النقطة (٣، ٠)

بما أن المستقيمين الممثلان للنظام منطبقين إذاً النظام متسق وغير مستقل إذاً لها عدد لا نهائي من الحلول.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل التمثيل البياني المجاور لتحدد ما إذا كان كل نظام فيما يأتي متسقاً أم غير متسق، ومستقلاً أم غير مستقل:

٨) ص = -٣س + ٤

ص = -٣س - ٤

بما أن المستقيمين اللذان يمثلان المعادلتين متوازيان فلا يوجد حل للنظام ويكون النظام غير متسق.

٩) ص = -٣س - ٤

ص = ٣س - ٤

بما أن المستقيمين اللذين يمثلان المعادلتين يتقاطعان في نقطة واحدة فهناك حل واحد للنظام ويكون النظام متسقاً ومستقلاً.

١٠) ٣س - ص = - ٤

ص = -٣س + ٤

بما أن المستقيمين اللذين يمثلان المعادلتين يتقاطعان في نقطة واحدة فهناك حل واحد للنظام ويكون النظام متسقاً ومستقلاً.

١١) ٣س - ص = ٤

٣س + ص = ٤

بما أن المستقيمين اللذين يمثلان المعادلتين يتقاطعان في نقطة واحدة فهناك حل واحد للنظام ويكون النظام متسقاً ومستقلاً.

مثل كل نظام فيما يأتي بيانياً وأوجد عدد حلوله، وإن كان واحداً فاكتبه:

١٢) ص = ٤س + ٢

ص = -٢س - ٣

ص = ٤س + ٢

عند س = ٠، ص = ٢

إذن النقطة (٠، ٢)

عند ص = ٠، س = -٠,٥

إذن النقطة (٠,٥، ٠)

ص = -٢س - ٣

عند س = ٠، ص = -٣

إذن النقطة (٠، -٣)

١٣) ص = س - ٦

ص = س + ٢

ص = س - ٦

عند س = ٠، ص = -٦

إذن النقطة (٠، -٦)

عند ص = ٠، س = ٦

إذن النقطة (٦، ٠)

ص = س + ٢

عند س = ٠، ص = ٢

إذن النقطة (٠، ٢)

عند ص = ٠، س = -٢

إذن النقطة (-٢، ٠)

بما أن ميل كلا المستقيمين متساوي ومقاطعهما الصادي مختلفين إذن المستقيمان متوازيان، إذن لا يوجد حل للنظام ويكون النظام غير متسق.

١٤) س + ص = ٤

٣س + ٣ص = ١٢

س + ص = ٤

عند س = ٠، ص = ٤

إذن النقطة (٠، ٤)

عند ص = ٠، س = ٤

إذن النقطة (٤، ٠)

٣س + ٣ص = ١٢ بالقسمة على ٣

س + ص = ٤

عند س = ٠، ص = ٤

إذن النقطة (٠، ٤)

عند ص = ٠، س = ٤

إذن النقطة (٤، ٠)

بما أن المستقيمين الممثلان للنظام منطبقين إذا النظام متسق وغير مستقل إذاً لها عدد لا نهائي من الحلول.

١٥) س - ص = -٢

- س + ص = ٢

س - ص = -٢

عند س = ٠، ص = ٢

إذن النقطة (٠، ٢)

عند ص = ٠، س = -٢

إذن النقطة (-٢، ٠)

- س + ص = ٢

عند س = ٠، ص = ٢

إذن النقطة (٠، ٢)

عند ص = ٠، س = -٢

إذن النقطة (-٢، ٠)

بما أن المستقيمين الممثلان للنظام منطبقين إذا النظام متسق وغير مستقل إذا لها عدد لا نهائي من الحلول.

١٦) س + ٢ص = ٣

س = ٥

س = ٥

س + ٢ص = ٣

عند س = ٠، ص = ١,٥

إذن النقطة (٠، ١,٥)

عند ص = ٠، س = ٣

إذن النقطة (٣، ٠)

وبما أن س = ٥ ارسم مستقيم يوازي محور ص

بما أن المستقيمين اللذين يمثلان المعادلتين يتقاطعان في نقطة واحدة هي (٥، -١) فهناك حل واحد للنظام ويكون النظام متسقاً ومستقلاً.

١٧) ٢س + ص = - ٤

ص + ٢س = ٣

٢س + ص = - ٤

عند س = ٠، ص = -٤

إذن النقطة (٠، -٤)

عند ص = ٠، س = -٢

إذن النقطة (-٢، ٠)

ص + ٢س = ٣

عند س = ٠، ص = ٣

إذن النقطة (٠، ٣)

عند ص = ٠، س = ١,٥

إذن النقطة (١,٥، ٠)

بما أن ميل كلا المستقيمين متساوي ومقاطعهما الصادي مختلفين إذاً المستقيمان متوازيان.

إذاً لا يوجد حل للنظام ويكون النظام غير متسق.

١٨) هوايات: يتنافس خالد وسعود في جمع الطوابع التذكارية، فإذا كان لدى خالد ٣٠ طابعاً، ويضيف إليها أسبوعياً ٤٠ طابعاً، ولدى سعود ٥٠ طابعاً، ويضيف إليها ٣٠ طابعاً كل أسبوع.

أ) فاكتب معادلة تعبر عن الطوابع التي جمعها كل منهما.

• عدد طوابع خالد ص = ٤٠س + ٣٠
• عدد طوابع سعود ص = ٣٠س + ٥٠

ب) مثل كل معادلة بيانياً.

ص = ٤٠س + ٣٠

عند س = ٠، ص = ٣٠

إذن النقطة (٠، ٣٠)

عند ص = ٠، س = -٠,٧٥

إذن النقطة (-٠,٧٥، ٠)

ص = ٣٠س + ٥٠

عند س = ٠، ص = ٥٠

إذن النقطة (٠، ٥٠)

عند ص = ٠، س = -١,٧

إذن النقطة (-١,٧، ٠)

جـ) بعد كم أسبوع يصبح لدى كل منهما العدد نفسه من الطوابع؟

ص = ٤٠س + ٣٠

ص = ٣٠س + ٥٠

٠ = ١٠س - ٢٠

١٠س = ٢٠

س = ٢

إذاً بعد أسبوعين يكون لهما نفس عدد الطوابع.

مثل كل نظام فيما يأتي بيانياً، وأوجد عدد حلوله، وإن كان واحداً فاكتبه:

١٩) ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س

ص = س + ٢

ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س

عند س = ٠، ص = ٠

إذن النقطة (٠، ٠)

عند ص = ٠، س = ٠

إذن النقطة (٠، ٠)

ص = س + ٢

عند س = ٠، ص = ٢

إذن النقطة (٠، ٢)

عند ص = ٠، س = -٢

إذن النقطة (-٢، ٠)

بما أن المستقيمين الممثلين للنظامين متقاطعين في النقطة (١، ٣) فهي الحل للمعادلتين.

٢٠) ص = ٢س - ١٧

ص = س - ١٠

ص = ٢س - ١٧

عند س = ٠، ص = -١٧

إذن النقطة (٠، -١٧)

عند ص = ٠، س = ٨,٥

إذن النقطة (٨,٥، ٠)

ص = س - ١٠

عند س = ٠، ص = -١٠

إذن النقطة (٠، -١٠)

عند ص = ٠، س = ١٠

إذن النقطة (١٠، ٠)

بما أن المستقيمين الممثلين للنظامين متقاطعين في النقطة (٧، -٣) فهي الحل للمعادلتين.

٢١) -٣س + ٤ص = ٢٤

٤س - ص = ٧

-٣س + ٤ص = ٢٤

عند س = ٠، ص = ٦

إذن النقطة (٠، ٦)

عند ص = ٠، س = -٨

إذن النقطة (-٨، ٠)

٤س - ص = ٧

عند س = ٠، ص = -٧

إذن النقطة (٠، -٧)

عند ص = ٠، س = ١,٧٥

إذن النقطة (١,٧٥، ٠)

بما أن المستقيمين الممثلين للنظامين متقاطعين في النقطة (٤، ٩) فهي الحل للمعادلتين.

٢٢) ٢س - ٨ص = ٦

س -٤ص = ٣

٢س - ٨ص = ٦

عند س = ٠، ص = - ٠,٧٥

إذن النقطة (٠، -٠,٧٥)

عند ص = ٠، س = ٣

إذن النقطة (٣، ٠)

س -٤ص = ٣

عند س = ٠، ص = - ٠,٧٥

إذن النقطة (٠، -٠,٧٥)

عند ص = ٠، س = ٣

إذن النقطة (٣، ٠)

بما أن المستقيمين الممثلان للنظام منطبقين إذاً النظام متسق وغير مستقل إذاً لها عدد لا نهائي من الحلول.

٢٣) ٤س - ٦ص = ١٢

-٢س + ٣ص = -٦

٤س - ٦ص = ١٢

عند س = ٠، ص = -٢

إذن النقطة (٠، -٢)

عند ص = ٠، س = ٣

إذن النقطة (٣، ٠)

-٢س + ٣ص = -٦

عند س = ٠، ص = -٢

إذن النقطة (٠، -٢)

عند ص = ٠، س = ٣

إذن النقطة (٣، ٠)

بما أن المستقيمين الممثلان للنظام منطبقين إذاً النظام متسق وغير مستقل إذاً لها عدد لا نهائي من الحلول.

٢٤) ٢س + ٣ص = ١٠

٤س + ٦ص = ١٢

٢س + ٣ص = ١٠

عند س = ٠، ص = ٣,٣٣

إذن النقطة (٠، ٣,٣٣)

عند ص = ٠، س = ٥

إذن النقطة (٥، ٠)

٤س + ٦ص = ١٢

عند س = ٠، ص = ٢

إذن النقطة (٠، ٢)

عند ص = ٠، س = ٣

إذن النقطة (٣، ٠)

بما أن ميل كلا المستقيمين متساوي ومقاطعهما الصادي مختلفين إذاً المستقيمان متوازيان، إذاً لا يوجد حل للنظام ويكون النظام غير متسق.

٢٥) ٣س + ٢ص = ١٠

٢س + ٣ص = ١٠

٣س + ٢ص = ١٠

عند س = ٠، ص = ٥

إذن النقطة (٠، ٥)

عند ص = ٠، س = ٣,٣٣

إذن النقطة (٣,٣٣، ٠)

٢س + ٣ص = ١٠

عند س = ٠، ص = ٣,٣٣

إذن النقطة (٠، ٣,٣٣)

عند ص = ٠، س = ٥

إذن النقطة (٥، ٠)

بما أن المستقيمين الممثلين للنظامين متقاطعين في النقطة (٢، ٢) فهي الحل للمعادلتين.

٢٦) $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$س + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$س + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$س + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

عند س = ٠، ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

إذن النقطة (٠، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)

عند ص = ٠، س = ٠,٣٣

إذن النقطة (٠,٣٣، ٠)

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$س + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

عند س = ٠، ص = ٣

إذن النقطة (٠، ٣)

عند ص = ٠، س = ٠,٧٥

إذن النقطة (٠,٧٥، ٠)

بما أن المستقيمين الممثلين للنظامين متقاطعين في النقطة (١، -١) فهي الحل للمعادلتين.

٢٧) تصوير: افترض أن ص تمثل عدد آلات التصوير التي باعها متجر (بالمئات)، س تمثل عدد السنوات المبيعة في كل عام منذ عام ١٤٢٠هـ، والمعادلة ص = -٩,١س + ٧٨,٨ تعبر عن عدد آلات التصوير العادية المبيعة،

أ) فمثل كل معادلة بيانياً.

ص = ١٢,٥س + ١٠,٩

عند س = ٠، ص = ١٠,٩

إذن النقطة (٠، ١٠,٩)

عند ص = ٠، س = -٠,٨٧٢

إذن النقطة (-٠,٨٧٢، ٠)

ص = -٩,١س + ٧٨,٨

عند س = ٠، ص = ٧٨,٨

إذن النقطة (٠، ٧٨,٨)

عند ص = ٠، س = ٨,٧

إذن النقطة (٨,٧، ٠)

ب) ما العام الذي تتجاوز فيه مبيعات آلات التصوير الرقمية مبيعات آلات التصوير العادية؟

عند س = ٤

ص = ١٢,٥ × ٤ + ١٠,٩

ص = ٦٠,٩

ص = -٩,١ × ٤ + ٧٨,٨

ص = -٣٦,٤ + ٧٨,٨

ص = ٤٢,٤

إذاً بعد ٤ سنوات تتجاوز مبيعات آلات التصوير الرقمية مبيعات آلات التصوير العادية أي في عام ١٤٢٤,

جـ) في أي عام ستتوقف مبيعات آلات التصوير العادية؟

في عام ١٤٢هـ تتوقف مبيعات آلات التصوير العادية.

مثل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية بيانياً، وأوجد عدد حلوله، وإذا كان وحداً فاكتبه:

٢٨) ٢ص = ١,٢س - ١٠

٤ص = ٢,٤س

٢ص = ١,٢س - ١٠

عند س = ٠، ص = -٥

إذن النقطة (٠، -٥)

عند ص = ٠، س = ٨,٣

إذن النقطة (٨,٣، ٠)

٤ص = ٢,٤س

عند س = ٠، ص = ٠

إذن النقطة (٠، ٠)

عند ص = ٠، س = ٠

إذن النقطة (٠، ٠)

بما أن ميل كل من المعادلتين ١ و٢ متساويان وتقاطعهما الصادي مختلف إذاً المعادلتين متوازيان ولا يوجد حل للنظام ويكون النظام غير متسق.

٢٩) س = ٦ - $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}$ص

٤ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$س + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ص

س = ٦ - $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}$ص

عند س = ٠، ص = ١٦

إذن النقطة (٠، ١٦)

عند ص = ٠، س = ٦

إذن النقطة (٦، ٠)

٤ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$س + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ص

عند س = ٠، ص = ١٦

إذن النقطة (٠، ١٦)

عند ص = ٠، س = ٦

إذن النقطة (٦، ٠)

بما أن المستقيمين الممثلان للنظام منطبقين إذاً النظام متسق وغير مستقل إذاً لها عدد لا نهائي من الحلول.

٣٠) تمثيلات متعددة: سوف تكتشف في هذه المسألة طرائق متنوعة لإيجاد نقطة تقاطع تمثيلي معادلتين خطيتين.

أ) جبرياً حل المعادلة $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س + ٣ = - س + ١٢ جبرياً.

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س + ٣ = - س + ١٢ (بالضرب بـ ٢)

س + ٦ = -٢س + ٢٤

س + ٢س + ٦ = -٢س + ٢س + ٢٤

٣س + ٦ = ٢٤

٣س = ١٨

س = ٦

ب) بيانياً: حل نظام المعادلتين ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س + ٣، ص = - س + ١٢ بيانياً.

ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س + ٣

عند س = ٠، ص = ٣

إذن النقطة (٠، ٣)

عند ص = ٠، س = -٦

إذن النقطة (-٦، ٠)

ص = - س + ١٢

عند س = ٠، ص = ١٢

إذن النقطة (٠، ١٢)

عند ص = ٠، س = ١٢

إذن النقطة (١٢، ٠)

الحل الوحيد هو (٦، ٦)

جـ) تحليلياً: ما علاقة المعادلة في الفرع (أ) والنظام في الفرع (ب)؟

كل طرف في المعادلة في الفرع (أ) يساوي أحد قيم ص في النظام في (ب).

د) لفظياً: وضح كيف تستعمل التمثيل البياني في الفرع (ب) لحل المعادلة في الفرع (أ).

يمكن إيجاد الحل بمعرفة الإحداثي السيني لنقطة تقاطع المستقيمين في النظام.

٣١) تحد: استعمل التمثيل البياني لحل النظام ٢س + ٣ص = ٥

٣س + ٤ص = ٦

٤س +٥ص = ٧

٢س + ٣ص = ٥

عند س = ٠، ص = ١,٧

إذن النقطة (٠، ١,٧)

عند ص = ٠، س = ٢,٥

إذن النقطة (٢,٥، ٠)

٣س + ٤ص = ٦

عند س = ٠، ص = ١,٥

إذن النقطة (٠، ١,٥)

عند ص = ٠، س = ٢

إذن النقطة (٢، ٠)

٤س + ٥ص = ٧

عند س = ٠، ص = ١,٤

إذن النقطة (٠، ١,٤)

عند ص = ٠، س = ١,٧٥

إذن النقطة (١,٧٥، ٠)

بما أن جميع المستقيمات تتقاطع عند النقطة (-٢، ٣) إذاً هي الحل المشترك للنظام.

٣٢) تبرير: بين هل النظام الذي يتكون من معادلتين وتشكل كل من النقطتين (٠، ٠)، (٢، ٢) حلاً له، تكون له حلول أخرى أحياناً أم دائماً أم ليس له أي حلول أخرى.

دائماً، إذا كانت المعادلات خطية وللنظام أكثر من حل واحد فإنه يكون متسقاً وغير مستقل، وهذا يعني أن له عدد نهائياً من الحلول.

٣٣) أي من أنظمة الآتية يختلف عن الأنظمة الثلاثة الأخرى؟ وفسر إجابتك:

النظام الثاني هو المختلف عن باقي الأنظمة الثلاثة الأخرى لأن هذا النظام غير متسق، أما باقي الأنظمة الأخرى فهي متسقة.

٣٤) مسألة مفتوحة: اكتب ثلاث معادلات تشكل مع المعادلة ص = ٥س - ٣ أحد أنظمة المعادلات الآتية غير متسق، متسق ومستقل، متسق وغير مستقل على الترتيب.

• نظام غير متسق: ص = ٥س + ٣، ص = ٥س - ٣
• نظام متسق وغير مستقل: ص = -٥س - ٣، ص = ٥س - ٣
• نظام متسق ومستقل: ٢ص = ١٠س - ٦، ص = ٥س - ٣

٣٥) اكتب: صف مزايا ومساوئ استعمال التمثيل البياني لحل أنظمة المعادلات الخطية.

مزايا الحل بالتمثيل البياني أنها توضح جميع بيانات النظام وعيوبه أنه يصعب إيجاد القيم الدقيقة لكل من س، ص من التمثيل البياني.

٣٦) إجابة قصيرة: يمكن لأحد أنواع البكتيريا مضاعفة عدده كل ٢٠ دقيقة، فإذا كان عدد البكتيريا في الساعة ٩:٠٠ صباحاً ٤٥٠٠، فكم يصبح عند الساعة ١٢:٠٠ ظهراً؟

عدد خلايا البكتيريا الساعة ١٢:٠٠ = ٢٣٠٤٠٠٠ خلية.

٣٧) هندسة: قصت قطعة من السلك طولها ٨٤ سنتمتراً إلى قطع متساوية، ثم ألصقت من نهاياتها لتشكل أحرف مكعب، فما حجم هذا المكعب؟

أ) ٢٩٤ سم^٣

ب) ٣٤٣ سم^٣

جـ) ١١٥٨ سم^٣

د) ٢٧٤٤ سم^٣