حل كلاً من الأنظمة الآتية مستعملاً التعويض:

-٥س + ٤ص = ٢٠

١٠س - ٨ص = -٤٠

حل المعادلة الثانية بالنسبة لـ ص

٨ص = ١٠س + ٤٠

ص = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$ س + ٥

عوض عن ص في المعادلة الثانية.

١٠س - ٨($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$ س + ٥) = - ٤٠

١٠س - ١٠س - ٤٠ = -٤٠

-٤٠ = -٤٠

طرفي المعادلة يمثلان متطابقة إذاً النظام له عدد لا نهائي من الحلول.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كلاً من الأنظمة الآتية مستعملاً التعويض:

٥) ص = ٤س + ٥

٢س + ص = ١٧

المعادلة الأولى محلولة بالنسبة لـ ص.

عوض في المعادلة الثانية عن ص = ٤س + ٥

٢س + ٤س + ٥ = ١٧

٦س + ٥ = ١٧

٦س = ١٢

س = ٢

عوض في المعادلة الثانية س = ٢

ص = ٤(٢) + ٥ = ١٣

إذاً الحل هو: (٢، ١٣)

٦) ص = ٣س - ٣٤

ص = ٢س - ٥

عوض عن ص في إحدى المعادلتين.

٣س - ٣٤ = ٢س - ٥

٣س - ٢س = ٣٤ - ٥

س = ٢٩

عوض عن س في إحدى المعادلتين.

ص = ٣(٢٩) - ٣٤

ص = ٥٣

إذاً الحل هو: (٢٩، ٥٣)

٧) ص = ٣س - ٢

ص = ٢س - ٥

عوض عن ص في إحدى المعادلتين.

٣س - ٢ = ٢س - ٥

٣س - ٢س ٢ - ٥

س = -٣

عوض عن س في إحدى المعادلتين.

ص = ٣(-٣) - ٢

ص = -١١

إذاً الحل هو: (-٣، -١١)

٨) ٢س + ص = ٣

٤س + ٤ص = ٨

حل المعادلة الأولى بالنسبة لـ ص

ص = -٢س + ٣

عوض في المعادلة الثانية عن ص = -٢س + ٣

٤س + ٤(-٢س + ٣) = ٨

٤س - ٨س + ١٢ = ٨

-٤س + ١٢ = ٨

س = ١

عوض عن س = ١ في المعادلة الثانية.

٤(١) + ٤ص = ٨

٤ + ٤ص = ٨

٤ص = ٤

ص = ١

إذاً الحل هو: (١، ١)

٩) ٣س + ٤ص = -٣

س + ٢ص = -١

حل المعادلة الثانية بالنسبة لـ س

س = -٢ص - ١

عوض عن س = -٢ص - ١ في المعادلة الأولى

٣(-٢ص - ١) + ٤ص = -٣

-٦ص - ٣ + ٤ص = -٣

-٦ص - ٣ + ٤ص = -٣

-٢ص = ٠

ص = ٠

عوص عن ص = ٠ في المعادلة الثانية

س = -١

إذاً الحل هو: (-١، ٠)

١٠) -١ = ٢س - ص

٨س - ٤ص = -٤

حل المعادلة الأولى بالنسبة لـ ص

ص = ٢س + ١

عوض عن ص في المعادلة الثانية.

٨س - ٤(٢س + ١) = -٤

٨س - ٨س - ٤ = -٤

-٤ = -٤

بما أن طرفي المعادلة تمثل متطابقة إذاً لها عدد لا نهائي من الحلول.

١١) س = ص - ١

- س + ص = -١

عوض عن س في المعادلة الثانية

-(ص - ١) + ص = -١

- ص + ١ + ص = -١

+ ١ = -١ إذاً لا يوجد حل للنظام.

١٢) ص = -٤س + ١١

٣س + ص = ٩

حل المعادلة الثانية بالنسبة لـ ص

ص = -٣س + ٩

عوض عن ص في المعادلة الأولى

-٣س + ٩ = -٤س + ١١

٤س - ٣س = ١١ - ٩

س = ٢

عوض عن س = ٢ في المعادلة الثانية.

٣(٢) + ص = ٩

٦ + ص = ٩

ص = ٣

إذاً الحل هو: (٢، ٣)

١٣) ص = -٣س + ١

٢س + ص = ١

حل المعادلة الثانية بالنسبة لـ ص

ص = -٢س + ١

عوض عن ص في المعادلة الأولى

-٢س + ١ = -٣س + ١

٤س -٢س = ١-١

س = ٠

عوض عن س في المعادلة الثانية

٢(٠) + ص = ١

ص = ١

إذاً الحل هو: (٠، ١)

١٤) ٣س + ص = -٥

٦س + ٢ص = ١٠

حل المعادلة الأولى بالنسبة لـ ص

ص = -٣س - ٥

عوض عن ص في المعادلة الثانية

٦س + ٢(-٣س - ٥) = ١٠

٦س -٦س - ١٠ = ١٠

-١٠ = ١٠

إذاً لا يوجد حل للنظام.

١٥) ٥س - ص = ٥

- س + ٣ص = ١٣

حل المعادلة الأولى بالنسبة لـ ص

ص = ٥س - ٥

عوض عن ص في المعادلة الثانية

- س + ٣(٥س - ٥) = ١٣

- س + ١٥س - ١٥ = ١٣

١٤س = ٢٨

س = ٢

عوض عن س في المعادلة الأولى

٥(٢) - ص = ٥

١٠ - ص = ٥

ص = ٥

إذاً الحل هو: (٢، ٥)

١٦) -٥س + ٤ص = ٢٠

١٠س - ٨ص = -٤٠

حل المعادلة الثانية بالنسبة لـ ص

٨ص = ١٠س + ٤٠

ص = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$س + ٥

عوض عن ص في المعادلة الثانية.

١٠س - ٨($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$س + ٥) = - ٤٠

١٠س - ١٠س - ٤٠ = -٤٠

-٤٠ = -٤٠

طرفي المعادلة يمثلان متطابقة إذاً النظام له عدد لا نهائي من الحلول.

١٧) سياحة: يبين الجدول أدناه العدد التقريبي لزوار منطقتين سياحيتين في المملكة خلال عام ١٤٣٥هـ، ومعدل التغير بالآلاف خلال السنة الواحدة:

أ) عرف المتغيرات، واكتب معادلة تمثل عدد زوار كل منطقة.

س هي عدد زوار المنطقة، ص هي عدد السنوات

س = ٤٠,٣ + ٠,٨ص

س = ١٧ + ١,٨ص

ب) إذا استمرت الزيادة بالمعدل نفسه، فبعد كم سنة تتوقع أن يصبح عدد الزوار متساوياً في المنطقتين؟

٤٠,٣ + ٠,٨ص = ١٧ + ١,٨ص

١,٨ص - ٠,٨ص = ٤٠,٣ - ١٧

ص = ٢٣,٣ أي بعد ٢٣ سنة و٣ أشهر تقريباً.

١٨) رياضة: يبين الجدول المجاور الزمن المسجل للاعبين في سباقات الماراثون خلال عامي ١٤٢٥هـ، ١٤٣٠هـ.

أ) إذا سجل الزمن لكل منهما بالساعات والدقائق والثواني، فأعد كتابته إلى أقرب دقيقة.

ب) إذا اعتبرنا العام ١٤٢٥هـ صفراً، وافترضنا ثبات معدل التغير بعد عام ١٤٢٥هـ، فاكتب معادلة تمثل الزمن المسجل (ص) لكلا اللاعبين في أي عام (س).

• ص = -٠,٤س + ١١٢
• ص = ٠,٦س + ١١٥

جـ) إذا استمر التغير في الاتجاه نفسه، فهل يسجلان الزمن نفسه؟ فسر إجابتك.

لا؛ لأن التمثيلين لا يتقاطعان.

١٩) تحد: كان عدد المتطوعين في العمل الخيري في إحدى القرى ٦٠ متطوعاً، فإذا كانت نسبة الرجال إلى النساء ٥:٧، فأوجد عدد كل من الرجال والنساء المتطوعين.

س + ص = ٦٠

٧س = ٥ص

س = ٦٠ - ص

٧(٦٠ - ص) = ٥ص

٤٢٠ - ٧ص = ٥ص

١٢ص = ٤٢٠

ص = ٣٥

س = ٦٠ - ٣٥

س = ٢٥

عدد النساء = ٢٥، عدد الرجال = ٣٥

٢٠) تبرير: قارن بين حل نظام من معادلتين بكل من: طريقة التمثيل البياني، وطريقة التعويض.

حل نظام معادلتين بطريقة التمثيل البياني تستدعي التعويض في المعادلات بنقاط مختلفة للوصول إلى الرسم البياني المناسب ونوجد الحل من الرسم حيث تكون نقطة التقاطع، أما حل نظام معادلتين بطريقة التعويض نوجد قيمة أحد المتغيرين بالنسبة للمتغير الآخر ثم نعوض به في المعادلة لتكون معادلة من متغير واحد يمكن حلها جبرياً ثم نعوض بالقيمة في إحدى المعادلتين لإيجاد قيمة المتغير الآخر.

٢١) مسألة مفتوحة: أنشئ نظاماً من معادلتين له حل واحد، ووضح كيف يمكن أن يعبر عن مسألة من واقع الحياة، وصف دلالته.

المعادلتين: ٢س - ص = ٣، ٥ص - ٣س = ٦

يعبر النظام عن معدل إنتاج مصنع خلال سنوات منذ بداية عمله، حيث س هي عدد سنوات عمل المصنع وص هي معدل الإنتاج.

٢٢) اكتب: وضح كيف تحدد الأفضل تعويضاً عند استعمال طريقة التعويض لحل نظام من معادلتين.

الأفضل تعويضاً هو المتغير الذي يكون معامله يساوي ١ تحل المعادلة بالنسبة له ثم يعوض عنه في المعادلة الأخرى.

٢٣) أي الأنظمة الآتية له حل واحد؟

أ) ص = -٣س + ٤، -٦س -٢ص = -٨

ب) س - ٢ص = ٨، ٢س = ٤ص + ٩

جـ) ص = ٥س + ١، ٤س + ص = ١٠

د) س + ص = ١، ص = ٣ - س

لأن باقي الأنظمة ميلاهما متساوي أي ليس لهم حلول نهائياً.

٢٤) ما مجموعة حل المعادلة: ٢$\left|ف\right|$ = ١٦، إذا كان ف عدداً صحيحاً؟

أ) {٠، ٨}

ب) {-٨، ٠}

جـ) {-٨، ٨}

د) {-٨، ٠، ٨}

٢$\left|ف\right|$ = ١٦

$\left|ف\right|$ = $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٢}}$

$\left|ف\right|$ = ٨

$\left|ف\right|$ = $\pm$ ٨