إذا كانت النقطة (-٣، ٢) تمثل حل نظام معادلتين وكانت إحدى معادلتيه هي س + ٤ص = ٥، فأوجد المعادلة الثانية لهذا النظام، وفسّر كيف توصلت إليها.

المعادلة الثانية ص - س = ٥

توصلت لها بوضع س بمعكوس معاملها في المعادلة المعطاة ثم التعويض عن ص بـ ٢ في المعادلة للحصول على ناتج المعادلة الثانية.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً طريقة الحذف:

٦) - ف + و = ٧

ف + و = ١

بما أن معاملي ف كلاهما معكوس للآخر، اجمع المعادلتين معاً.

- ف + و = ٧

ف + و = ١

٢و = ٨

و = ٤

بالتعويض في المعادلة الأولى:

- ف + ٤ = ٧

ف = -٣

الحل هو: (-٣، ٤)

٧) ص + ز = ٤

ص - ز = ٨

ص + ز = ٤

ص - ز = ٨

٢ص = ١٢

ص = ٦

عوض في المعادلة الأولى عن ص

٦ + ز = ٤

ز = -٢

الحل هو: (٦، -٢)

٨) -٤س + ٥ص = ١٧

٤س + ٦ص = -٦

بما أن معاملي س كلاهما معكوس للآخر، اجمع المعادلتين معاً.

-٤س +٥ص = ١٧

٤س + ٦ص = -٦

١١ص = ١١

ص = ١

عوض في المعادلة الأولى

-٤س + ٥ = ١٧

-٤س = ١٢

س = -٣

الحل هو: (-٣، ١)

٩) أ + ٤ب = -٤

أ + ١٠ب = -١٦

أ + ٤ب = -٤

أ + ١٠ب = -١٦

-٦ب = ١٢

ب = -٢

عوض في المعادلة الأولى عن ب

أ + ٤(-٢) = -٤

أ = ٤

الحل هو: (٤، -٢)

١٠) ٩س + ٦ص = ٧٨

٣س - ٦ص = -٣٠

بما أن معاملي ص كلاهما معكوس للآخر، اجمع المعادلتين معاً

٩س + ٦ص = ٧٨

٣س -٦ص = -٣٠

١٢ص = ٤٨

س = ٤

عوض في المعادلة الأولى عن س

٩(٤) + ٦ص = ٧٨

٣٦ + ٦ص = ٧٨

٦ص = ٤٢

ص = ٧

الحل هو: (٤، ٧)

١١) ٦س -٢ص = ١

١٠س - ٢ص = ٥

بما أن معاملي ص متماثلين، اطرح المعادلتين:

٦س - ٢ص = ١

١٠س - ٢ص = ٥

-٤س = -٤

س = ١

عوض عن س في إحدى المعادلتين:

٦(١) -٢ص = ١

-٢ص = -٥

ص = ٢,٥

الحل هو: (١، ٢,٥)

١٢) ما العددان اللذان مجموعهما ٢٢ والفرق بينهما ١٢؟

س + ص = ٢٢

س - ص = ١٢

٢س = ٣٤

س = ١٧

بالتعويض في إحدى المعادلتين

١٧ + ص = ٢٢

ص = ٥

العددان هما ١٧، ٥

١٣) ما العددان اللذان مجموعهما ١١، وثلاثة أمثال أحدهما ناقص الآخر يساوي -٣؟

س + ص = ١١

٣س - ص = -٣

٤س = ٨

س = ٢

عوض في إحدى المعادلتين

٢ + ص = ١١

ص = ٩

العددان هما: ٢، ٩,

١٤) شحن سيارات: يمثل الجدول أدناه تكاليف شحن عدد من السيارات الصغيرة والكبيرة من مدينة إلى أخرى، أوجد أجرة شحن كل من السيارة والصغيرة والكبيرة.

حل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً طريقة الحذف:

١٥) ٤(س + ٢ص) = ٨

٤س +٤ص = ١٢

بسط المعادلة الأولى:

٤س + ٨ص = ٨

بما أن معاملي س متماثلين، اطرح المعادلتين:

-٤ص = ٤

ص = -١

عوض في إحدى المعادلتين عن ص

٤س + ٤(-١) = ١٢

٤س - ٤ = ١٢

٤س = ١٦

س = ٤

الحل هو: (٤، -١)

١٦) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س + $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ص = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$س - $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٦}$

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}س + \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}ص = \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢} \\ \underline{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}س -\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}ص =\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٦}} \\ \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}س = \mathrm{٩} \end{gathered}$$

س = ١٢

بالتعويض في المعادلة $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س + $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ص = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}$.

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$× ١٢ + $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ص = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}$

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ص = -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٣}$

ص = - $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٤}$

الحل هو: (١٢، -$\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٤}$)

١٧) ٤س + ٣ص = ٦

٣س + ٣ص = ٧

٤س + ٣ص = ٦

٣س + ٣ص = ٧

بما أن معامل ص في كل معادلة متماثل إذاً يمكن طرح المعادلتين.

س = -١

عوض عن س في إحدى المعادلات:

٤(-١) + ٣ص = ٦

-٤ + ٣ص = ٦

٣ص = ١٠

ص = ٣,٣

الحل هو: (-١، ٣,٣)

١٨) فن العمارة: يبلغ مجموع ارتفاع برجي المملكة والفيصلية معاً ٥٦٧ متراً، ويزيد ارتفاع برج المملكة على برج الفيصلية بـ ٣٣ متراً.

أ) ما ارتفاع برج المملكة؟

$$\begin{gathered} س + ص = \mathrm{٥٦٧} \\ \underline{س - ص = \mathrm{٣٣}} \\ \mathrm{٢}س = \mathrm{٦٠٠} \end{gathered}$$

س = ٣٠٠

ب) ما ارتفاع برج الفيصلية؟

عوض في إحدى المعادلات عن س

٣٠٠ + ص = ٥٦٧

ص = ٢٦٧

ارتفاع برج المملكة = ٣٠٠ متر، ارتفاع برج الفيصلية = ٢٦٧ متر.

١٩) سباق الدراجات: شارك ٨٠ متسابقاً في سباق الدراجات الهوائية ضمن ملتقى روائع جازان الرابع من فئتي الكبار والصغار، وكان عدد المشاركين من فئة الصغار أكثر من عدد المشاركين من فئة الكبار بـ ١٠.

أ) افترض أن س يمثل عدد المشاركين في فئة الصغار، ص يمثل عدد المشاركين في فئة الكبار، ثم اكتب نظاماً من معادلتين يمثل هذا الموقف.

• س - ص = ١٠
• س + ص = ٨٠

ب) استعمل الحذف لحل هذا النظام.

اجمع المعادلتين.

$$\begin{gathered} س -ص = \mathrm{١٠} \\ \underline{س +ص = \mathrm{٨٠}} \\ \mathrm{٢}س = \mathrm{٩٠} \end{gathered}$$

س = ٤٥

عوض في إحدى المعادلات عن س

٤٥ - ص = ١٠

ص = ٣٥

جـ) فسر الحل في سياق هذا الموقف.

• عدد المشاركين في فئة الصغار = ٤٥ مشارك
• عدد المشاركين في فئة الكبار = ٣٥ مشارك.

د) مثل هذا النظام بيانياً للتأكد من صحة الحل.

س - ص = ١٠

عند س = ٠، ص = -١٠

إذاً النقطة (٠، -١٠)

عند ص = ٠، س = ١٠

إذاً النقطة (١٠، ٠)

س + ص = ٨٠

عند س = ٠، ص = ٨٠

إذاً النقطة (٠، ٨٠)

عند ص = ٠، س = ٨٠

إذاً النقطة (٨٠، ٠)

نقطة التقاطع (٤٥، ٣٥)

٢٠) تمثيلات متعددة: لديك ٩ قطع نقد، ٩ مشابك ورق، استعمل ٩ منها على الأكثر لإنشاء عدد معين من النقاط، وافترض أن كل مشبك قيمته نقطة واحدة وكل قطعة نقد قيمتها ٣ نقاط، وأن ن تمثل قطعة نقد، م تمثل مشبك ورق، فمثلاً:

أ) حسياً: كيف يمكنك أن تحصل على ١٥ نقطة مستعملاً كلا النوعين؟ قارن النمط الذي حصلت عليه بما حصل عليه زملاؤك.

للحصول على ١٥ نقطة: ٤ن + ٣م = ١٥

هناك أكثر من نموذج صحيح ويحقق النظام ولكن يختلف في عدد القطع.

مثلاً: ٤ قطع نقد، ٣ مشابك.

ب) تحليلياً: مستعملاً ٩ قطع، اكتب نظاماً من معادلتين وحله لإيجاد عدد مشابك الورق وقطع النقد اللازمة للحصول على ١٥ نقطة.

٣س + ص = ١٥

س + ص = ٩

٢س = ٦

س = ٣

٣(٣) + ص = ١٥

٩ + ص = ١٥

ص = ٦

• عدد القطع النقدية ٣ قطع بـ ٩ نقاط.
• عدد المشابك ٦ مشابك بـ ٦ نقاط.

جـ) جدولياً: أنشئ جدولاً يبين عدد مشابك الورق المستعملة والعدد الكلي للنقاط إذا كان عدد قطع النقد ٠، ١، ٢، ٣، ٤، ٥.

د) لفظياً: هل تتطابق النتيجة في الجدول مع نتيجة (الإجابة عن الفرع ب)؟ فسر إجابتك.

نعم؛ بما أن قطعة النقد تعادل ٣ نقاط، فإن ٣ قطع منها تعادل ٩ نقاط، يضاف إليها ٦ نقاط من ٦ مشابك ورق فنحصل على ١٥ نقطة.

٢١) مسألة مفتوحة: أنشئ نظاماً من معادلتين يمكن حله بحذف أحد متغيريه باستعمال الجمع، ثم اكتب قاعدة عامة لإنشاء مثل هذه الأنظمة.

المعادلتين: ٤س + ص = ١٢، ٢س - ص = ٨

يجب لعمل نظام يمكن حله بالحذف بالجمع أن يكون هناك متغير معامله في إحدى المعادلتين يساوي معكوس معامله في المعادلة الأخرى.

٢٢) تبرير: إذا كانت النقطة (-٣، ٢) تمثل حل نظام معادلتين وكانت إحدى معادلتيه هي س + ٤ص = ٥، فأوجد المعادلة الثانية لهذا النظام، وفسّر كيف توصلت إليها.

المعادلة الثانية ص - س = ٥

توصلت لها بوضع س بمعكوس معاملها في المعادلة المعطاة ثم التعويض عن ص بـ ٢ في المعادلة للحصول على ناتج المعادلة الثانية.

٢٣) تحد: إذا كان ناتج ضرب عدد في ٧ يساوي ١٨٢، ومجموع رقميه يساوي ٨، فحدد المتغيرات، واكتب نظاماً من معادلتين يمكنك لإيجاد هذا العدد، ثم حل النظام وأوجد العدد.

ليكن أ يمثل رقم الآحاد في العدد، ب يمثل رقم العشرات في العدد

فيكون أ + ب = ٨

٧(أ + ١٠ب) = ١٨٢

العدد هو ٢٦,

٢٤) اكتب: بين متى يكون من المفيد استعمال الحذف لحل نظام من معادلتين.

عندما يكون في المعادلتين معامل متغير في إحدى المعادلات معكوس معامل نفس المتغير في المعادلة الأخرى يفضل الحل بالحذف لجعل المعادلة بها متغير واحد.

٢٥) إذا استمر النمط الآتي، فما العدد الثامن؟

٢ ٣ $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{٢٧}}{\mathrm{٤}}،\frac{\mathrm{٨١}}{\mathrm{٨}}$،.....

أ) $\frac{\mathrm{٢١٨٧}}{\mathrm{٦٤}}$

ب) $\frac{\mathrm{٢٢٤٥}}{\mathrm{٦٤}}$

جـ) $\frac{\mathrm{٢٢٨١}}{\mathrm{٦٤}}$

د) $\frac{\mathrm{٢٤٤٥}}{\mathrm{٦٤}}$

٢٦) ما حل نظام المعادلتين الآتيتين؟ س + ٤ص = ١

٢س - ٣ص = -٩

أ) (١، ٠)

ب) (-٣، ١)

جـ) ليس له حل.

د) يوجد عدد لا نهائي من الحلول.

س + ٤ص = ١

٢س -٣ص = - ٩

ضرب المعادلة الأولى في -٢ ثم اجمع المعادلتين معاً.

-٢س - ٨ص = -٢

٢س -٣ص = -٩

-١١ص = -١١

ص = ١

س + ٤ = ١

س = -٣