نعرف نقطة التعادل بأنها النقطة التي يتساوى فيها الدخل مع المصاريف، فإذا دفعت دار النشر ١٣٢٠٠ ريال لإعداد كتاب و٢٥ريالاً تكاليف طبعة النسخة الواحدة، فما عدد النسخ التي يتعين بيعها لتخطي نقطة التعادل، علماً أنها تبيع النسخة الواحدة بمبلغ ٤٠ ريالاً؟ فسر إجابتك.

ص = ١٣٢٠٠ + ٢٥س

ص = ٤٠س

٤٠س = ١٣٢٠٠ + ٢٥س

١٥س = ١٣٢٠٠

س = ٨٨٠

٨٨٠ × ٤٠ = ٣٥٢٠٠ ريالاً.

عدد النسخ اللازم بيعها لتخطي نقطة التعادل = ٨٨٠ نسخة.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد أفضل طريقة لحل نظام فما يأتي، ثم حله:

٦) ٣س -٤ص = -٥

-٣س -٦ص = -٥

بما أن معامل س في المعادلتين كلاهما معكوس الآخر إذاً جمع المعادلتين:

$$\begin{gathered} \mathrm{٣}س -\mathrm{٤}ص = -\mathrm{٥} \\ \underline{-\mathrm{٣}س -\mathrm{٦}ص = -\mathrm{٥}} \\ -\mathrm{١٠}ص = -\mathrm{١٠} \end{gathered}$$

ص = ١ عوض عن ص في المعادلة الأولى:

٣س - ٤(١) = -٥

س = $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

الحل هو: ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$، ١)

٧) ٥س +٨ص = ١

-٢س +٨ص = -٦

بما أن معامل ص في المعادلتين متساوي إذاً اطرح المعادلتين:

$$\begin{gathered} \mathrm{٥}س +\mathrm{٨}ص = \mathrm{١} \\ \underline{-\mathrm{٢}س + \mathrm{٨}ص = -\mathrm{٦}} \\ \mathrm{٧}س = \mathrm{٧} \end{gathered}$$

س = ١ عوض عن س في إحدى المعادلات:

٥(١) + ٨ص = ١

٨ص = -٤

ص = $-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٨}}=-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

الحل هو: (١، -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)

٨) ص + ٤س = ٣

ص = -٤س -١

بما أن المعادلة الثانية محلولة بالنسبة لـ ص

عوض عن ص في المعادلة الأولى:

-٤س - ١ +٤س = ٣

-١ = ٣ ليس لا حل,

٩) سكان: بلغ مجموع عدد سكان محافظتي خميس مشيط وبيشة (في أحد الأعوام) نحو ٧٢٠ ألفاً، فإذا علمت أن عدد سكان خميس مشيط يقل بمقدار ٨٠ ألفاً عن ثلاثة أمثال عدد سكان بيشة، فاكتب نظاماً من معادلتين وحله لإيجاد عدد سكان كل محافظة منهما.

افترض أن محافظة خميس مشيط س، محافظة بيشة ص

س + ص = ٧٢٠

٣ص - س = ٨٠

$$\begin{gathered} س + ص = \mathrm{٧٢٠} \\ \underline{-س + \mathrm{٣}ص = \mathrm{٨٠}} \\ \mathrm{٤}ص = \mathrm{٨٠٠} \end{gathered}$$

ص = ٢٠٠ عوض عن ص في إحدى المعادلات:

س + ٢٠٠ = ٧٢٠

س = ٥٢٠

• عدد سكان محافظة خميس مشيط = ٥٢٠ ألف.
• عدد سكان محافظة بيشة = ٢٠٠ ألف.

١٠) آثار: يبلغ مجموع مساحتي قصر ابن شعلان في القريات وقصر صاهود في الأحساء نحو ١٣٠٠٠ متر مربع، وتزيد مساحة قصر صاهود على مثلي مساحة ابن شعلان بنحو ٤٠٠٠ متر مربع، أوجد مساحة كل قصر منهما.

افترض مساحة قصر ابن شعلان س، مساحة قصر صاهود ص

$$\begin{gathered} س + ص = \mathrm{١٣٠٠٠} \\ \underline{-\mathrm{٢}س + ص = \mathrm{٤٠٠٠}} \\ \mathrm{٣}س =+ \mathrm{٩٠٠٠} \end{gathered}$$

س = ٣٠٠٠ عوض عن س في إحدى المعادلات:

٣٠٠٠ + ص = ١٣٠٠٠

ص = ١٠٠٠٠

• مساحة قصر ابن شعلان = ٣٠٠٠ متر مربع.
• مساحة قصر صاهود = ١٠٠٠٠ متر مربع.

١١) نعرف نقطة التعادل بأنها النقطة التي يتساوى فيها الدخل مع المصاريف، فإذا دفعت دار النشر ١٣٢٠٠ ريال لإعداد كتاب و٢٥ريالاً تكاليف طبعة النسخة الواحدة، فما عدد النسخ التي يتعين بيعها لتخطي نقطة التعادل، علماً أنها تبيع النسخة الواحدة بمبلغ ٤٠ ريالاً؟ فسر إجابتك.

ص = ١٣٢٠٠ + ٢٥س

ص = ٤٠س

٤٠س = ١٣٢٠٠ + ٢٥س

١٥س = ١٣٢٠٠

س = ٨٨٠

٨٨٠ × ٤٠ = ٣٥٢٠٠ ريالاً.

عدد النسخ اللازم بيعها لتخطي نقطة التعادل = ٨٨٠ نسخة.

١٢) تدوير: يقوم محمد وصالح بتجميع الورق والبلاستيك المستعمل وبيعه من أجل إعادة تدويره كما في الجدول المقابل، وحصل محمد على ٣٣ ريالاً، وصالح على ٥٠ ريالاً مقابل ذلك.

أ) عين المتغيرات، واكتب نظاماً من معادلتين خطيتين لهذا الموقف.

افترض البلاستيك س والورق ص

٩س + ٣٠ص = ٣٣

٩س + ١١٥ص = ٥٠

ب) ما سعر الكيلو جرام الواحد من البلاستيك؟

اطرح المعادلتين

-٨٥ص = -١٧

ص = ٠,٢

عوض عن ص في إحدى المعادلات:

٩س + ٣٠(٠،٢) = ٣٣

٩س = ٢٧

س = ٣

سعر الكيلو البلاستيك = ٣ ريالات.

١٣) مكتبات: تقدم إحدى المكتبات عرضاً؛ فتبيع الكتاب ذا الغلاف المقوى والمجلد بـ ٤٠ ريالاً والكتاب غير المجلد بـ ٣٠ ريالاً، فإذا دفع عبد الحكيم ٢٩٠ ريالاً ثمناً لـ ٨ كتب، فما عدد الكتب المجلدة التي اشتراها؟

افترض أن عدد الكتب المجلدة س والغير مجلدة ص

٤٠س + ٣٠ص = ٢٩٠

س + ص = ٨

حل المعادلة بالنسبة لـ ص

ص = -س + ٨

عوض عن ص في المعادلة الأولى:

٤٠س + ٣٠(- س + ٨) = ٢٩٠

٤٠س - ٣٠س + ٢٤٠ = ٢٩٠

١٠س = ٥٠

س = ٥

عدد الكتب المجلدة = ٥ كتب.

١٤) قيادة سيارات: قاد فارس سيارته مسافة ٩٠ كيلو متراً، وكان معدل سرعة السيارة (ر) كلم في الساعة وفي رحلة العودة نقصت حركة السيارة؛ فأصبحت سرعة السيارة ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ر) كلم في الساعة، فإذا استغرقت الرحلة الكاملة ساعة و٤٥ دقيقة، فأوجد معدل سرعة السيارة في كل من رحلتي الذهاب والإياب.

٩٠ = ر × ن_١ المعادلة ١

٩٠ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ر × ن_٢

٩٠ × $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$ = ر × ن_٢

١٢٠ = ر × ن_٢ المعادلة ٢

المعادلة ١ + ٢

٢١٠ = ر (ن_١ + ن_٢)

٢١٠ = ر × ١,٧٥

الذهاب ر = ١٢٠ كلم/ساعة

العودة ر = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ × ١٢٠ = ٩٠ كلم/ساعة.

١٥) مسألة مفتوحة: كون نظاماً من معادلتين يمثل موقفاً في الحياة، وصف الطريقة التي تستعملها لحل هذا النظام، ثم حله وفسر معناه.

اشترك ٢٠٠ طالب من الصف الثالث في النشاط الصيفي وكان مثلي طلاب النشاط الفني يزيد عن ثلاثة أمثالي مشتركي النشاط الرياضي بـ ١٥ طالب فكم عدد المشتركين في كل نشاط؟

س + ص = ٢٠٠

٢س -٣ص = ١٥

اضرب المعادلة الأولى في ٣

$$\begin{gathered} \mathrm{٣}س +\mathrm{٣}ص =\mathrm{٦٠٠} \\ \underline{\mathrm{٢}س -\mathrm{٣}ص =\mathrm{١٥}} \\ \mathrm{٥}س = \mathrm{٦١٥} \end{gathered}$$

س = ١٢٣

عوض عن س في المعادلة الأولى:

١٢٣ + ص = ٢٠٠

ص = ٧٧

• عدد طلاب النشاط الفني = ١٢٣ طالب.
• عدد طلاب النشاط الرياضي = ٧٧ طالب.

١٦) تبرير: في نظام من معادلتين إذا كان س يمثل الزمن المستغرق في قيادة دراجة هوائية، ص تمثل المسافة المقطوعة، وحل النظام هو (-١، ٧)، فاستعمل هذه المسألة لمناقشة أهمية تحليل الحل وتفسيره في سياق المسألة.

عليك أن تتحقق دائماً من الإجابة للتأكد من أنها منطقية في سياق المسألة الأصلية وإلا فإنها تكون غير صحيحة فالحل (-١، ٧) غير صحيح؛ لأن الوقت لا يمكن أن يكون سالباً، لذا يجب إعادة الحل.

١٧) تحد: حل نظام المعادلتين الآتي باستعمال ثلاث طرائق مختلفة، ووضح خطوات الحل:

٤س + ص = ١٣

٦س - ص = ٧

الطريقة الأولى: بما أن معامل ص في كلا المعادلتين متعاكسين إذاً يمكن جمع المعادلتين.

٤س + ص = ١٣

٦س - ص = ٧

١٠س = ٢٠

س = ٢

٦ + ٢ -ص = ٧

ص = ٥ إذاً الحل (٢، ٥)

الطريقة الثانية: بما أن معامل ص في المعادلة الأولى ويمكن استخدام التعويض:

ص = -٤س + ١٣

عوض في المعادلة الثانية:

٦س -(-٤س + ١٣) = ٧

٦س + ٤س - ١٣ = ٧

١٠س = ٢٠

س = ٢ عوض عن س في المعادلة الأولى:

ص = -٤(٢) + ١٣

ص = ٥ الحل هو: (٢، ٥)

الطريقة الثالثة بيانياً:

٤س + ص = ١٣

عند س = ٠، ص = ١٣

إذاً النقطة (٠، ١٣)

عند ص = ٠، س = ٣,٢٥

إذاً النقطة (٣,٢٥، ٠)

٦س - ص = ٧

عند س = ٠، ص = -٧

إذاً النقطة (٠، -٧)

عند ص = ٠، س = ١,٢

إذاً النقطة (١,٢، ٠)

نقطة التقاطع (٢، ٥)

١٨) اكتب سؤالاً: يدعي أحد الطلاب أن الحذف هو أفضل طريقة لحل أنظمة المعادلات، اكتب سؤالاً تبين فيه خطأ هذا الادعاء.

هل يمكن أن تكون هناك طريقة أخرى أفضل إذا كانت إحدى أفضل إذا كانت إحدى المعادلتين على الصورة.

ص = م س + ب؟

١٩) أي أنظمة المعادلات الآتية يختلف عن الأنظمة الثلاثة الأخرى؟

النظام المختلف هو النظام الثاني؛ لأنه الوحيد الذي لا يمثل نظاماً من معادلتين خطيتين.

٢٠) اكتب: وضح متى يكون التمثيل أفضل طريقة لحل نظام من معادلتين، ومتى تكون الطريقة الجبرية أفضل؟

يكون التمثيل البياني أمثل طريقة للحل في حالة طلب تقدير للحل أي غير دقيق لأنه في الغالب إجابته غير دقيقة، أما في حالة الطريقة الجبرية يكون حالة طلب الإجابة دقيقة فيكون الحل بإحدى طرق الحذف الجمع أو الطرح أو الضرب على حسب معادلات النظام.

٢١) إذا كان ٥س + ٣ص = ١٢، ٤س - ٥ص = ١٧، فما قيمة ص؟

أ) -١

ب) ٣

جـ) ١

د) -٣

٥س + ٣ص = ١٢ بالضرب في ٤

٤س - ٥ص = ١٧ بالضرب في ٥

٢٠س + ١٢ص = ٤٨

٢٠س -٢٥ص = ٨٥

طرح المعادلتين

٣٧ص = -٣٧

ص = -١

٢٢) أي أنظمة المعادلات الآتية يمثل الشكل المجاور حلاً له؟

أ) ص = -٣س + ١١

٣ص = ٥س - ٩

ب) ص = -٣س + ١١

٢ص = ٤س - ٥

جـ) ص = ٥س - ١٥

٢ص = س + ٧

د) ص = ٥س - ١٥

٣ص = ٢س + ١٨

ص = -٣س + ١١

٣ص = ٥س - ٩

٣(-٣س + ١١) = ٥س - ٩

-٩س + ٣٣ = ٥س - ٩

-١٤س = -٤٢

س = ٣

ص = -٩ + ١١

ص = ٢