لعمل طبق حلوى نحتاج إلى $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١}$ ملعقة سكر لكل ٣ ملاعق حليب، اكتب كميتين أخيرتين متناسبتين من السكر والحليب، وإحداهما أكبر، والأخرى أصغر، فسر إجابتك.

نكتب تناسب ونوجد معادلة التناسب لنتمكن من إيجاد الكميات بسهولة، حيث س عدد ملاعق السكر، ح عدد ملاعق الحليب.

$\frac{\mathrm{عدد}\mathrm{ملاعق}\mathrm{الحليب\; ع}}{\mathrm{دد}\mathrm{ملاعق}\mathrm{السكر}}\leftarrow \frac{ح}{س}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥},\mathrm{١}}$ = ٢ $\leftarrow$ ح = ٢س (معادلة تمثل أن كمية الحليب هي ضعف كمية السكر).

• الكمية الأكبر: مثلاً ٣ ملاعق سكر $\leftarrow$ ح = ٢ × ٣ = ٦ ملاعق حليب (الكمية الأكبر: ٣ ملاعق سكر، ٦ ملاعق حليب).
• الكمية الأصغر: مثلاً ١ ملعقة سكر $\leftarrow$ ح = ٢ × ١ = ٢ ملعقة حليب (الكمية الأصغر: ١ ملعقة سكر، ٢ ملعقة حليب).

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كل تناسب مما يأتي:

٦) $\frac{ك}{\mathrm{٧}}=\frac{\mathrm{٣٢}}{\mathrm{٥٦}}$

ك × ٥٦ = ٧ × ٣٢ (اضرب تبادلياً).

٥٦ك = ٢٢٤ (أوجد ناتج ال ضرب).

$\frac{\mathrm{٥٦}ك}{\mathrm{٥٦}}=\frac{\mathrm{٢٢٤}}{\mathrm{٥٦}}$ (اقسم الطرفين على ٥٦).

ك = ٤

٧) $\frac{س}{\mathrm{١٣}}=\frac{\mathrm{١٨}}{\mathrm{٣٩}}$

س × ٣٩ = ١٣ × ١٨ (اضرب تبادلياً).

٣٩س = ٢٣٤ (أوجد ناتج ال ضرب).

$\frac{\mathrm{٣٩}س}{\mathrm{٣٩}}=\frac{\mathrm{٢٣٤}}{\mathrm{٣٩}}$ (اقسم الطرفين على ٣٩).

س = ٦

٨) $\frac{\mathrm{٤٤}}{ب}=\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٥}}$

٤٤ × ٥ = ب × ١١ (اضرب تبادلياً).

٢٢٠ = ١١ب (أوجد ناتج ال ضرب).

$\frac{\mathrm{٢٢٠}}{\mathrm{١١}}=\frac{\mathrm{١١}ب}{\mathrm{١١}}$ (اقسم الطرفين على ١١).

س = ٢٠

٩) $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٢٥}}=\frac{د}{\mathrm{٣٠}}$

٦ × ٣٠ = ٢٥ × د (اضرب تبادلياً).

١٨٠ = ٢٥د (أوجد ناتج ال ضرب).

$\frac{\mathrm{١٨٠}}{\mathrm{٢٥}}=\frac{\mathrm{٢٥}د}{\mathrm{٢٥}}$ (اقسم الطرفين على ٢٥).

س = ٧,٢

١٠) $\frac{\mathrm{٥},\mathrm{٢}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{هـ}}{\mathrm{٩}}$

٢,٥ × ٩ = ٦ × هـ (اضرب تبادلياً).

٢٢,٥ = ٦هـ (أوجد ناتج ال ضرب).

$\frac{\mathrm{٥},\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٦}\mathrm{هـ}}{\mathrm{٦}}$ (اقسم الطرفين على ٦).

س = ٣,٧٥

١١) $\frac{\mathrm{٢}}{و}=\frac{\mathrm{٤},\mathrm{٠}}{\mathrm{٧},\mathrm{٠}}$

٢ × ٠,٧ = و × ٠,٤ (اضرب تبادلياً).

١,٤ = ٠,٤و (أوجد ناتج ال ضرب).

$\frac{\mathrm{٤},\mathrm{١}}{\mathrm{٤},\mathrm{٠}}=\frac{\mathrm{٤},\mathrm{٠}و}{\mathrm{٤},\mathrm{٠}}$ (اقسم الطرفين على ٠,٤).

س = ٣,٥

للأسئلة ١٢ - ١٧ افترض أن جميع المواقف فيها متناسبة.

١٢) أقلام: دفع حازم ١٠,٩٥ ريالات ثمناً لدرزن أقلام، اكتب تناسباً وحله ثمن ٤ أقلام، (الدرزن = ١٢)

نكتب تناسب ونحله، س يمثل ثمن ٤ أقلام.

$\frac{\mathrm{ثمن}\mathrm{الأقلام،\; ع}}{\mathrm{دد}\mathrm{الأقلام}}\leftarrow \frac{\mathrm{٩٥},\mathrm{١٠}}{\mathrm{١٢}}=\frac{س}{\mathrm{٤}}$ (١٠,٩٥ ثمن درزن أي ثمن ١٢ قلماً).

١٠,٩٥ × ٤ = ١٢ × س (اضرب تبادلياً).

٤٣,٨ = ١٢س (أوجد ناتج ال ضرب).

$\frac{\mathrm{٨},\mathrm{٤٣}}{\mathrm{١٢}}=\frac{\mathrm{١٢}س}{\mathrm{١٢}}$ (اقسم الطرفين على ١٢).

س = ٣,٦٥

أي أن ثمن ٤ اقلام يساوي ٣,٦٥ ريال.

١٣) مرض: مقابل كل شخص فعلياً بالأنفلونزا هناك ٦ أشخاص مصابون بأعراض تشبه الأنفلونزا عن البرد، إذا قام الطبيب بفحص ٤٠ مريضاً، فاكتب تناسباً وحله لإيجاد عدد الأفراد الذين يعانون أعراضاً ناتجة عن البرد من بين هؤلاء المرضى.

نكتب تناسب ونحله، ليكن ص عدد الأفراد الذين يعانون من أعراضاً ناتجة عن البرد.

$\frac{\mathrm{عدد}\mathrm{الذين}\mathrm{يعانون}\mathrm{من}\mathrm{أعراض}\mathrm{ناتجة}\mathrm{عن}\mathrm{البرد،}}{\mathrm{عدد}\mathrm{الأشخاص}\mathrm{الكلي}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٧}}=\frac{ص}{\mathrm{٤٠}}$ (عدد الأشخاص الكلي = ٦ + ١ = ٧).

٦ × ٤٠ = ٧ × ص (اضرب تبادلياً).

٢٤٠ = ٧ص (أوجد ناتج الضرب).

$\frac{\mathrm{٢٤٠}}{\mathrm{٧}}=\frac{\mathrm{٧}ص}{\mathrm{٧}}$ (اقسم الطرفين على ٧).

ص = ٣٤,٣ شخص ≈ ٣٤ شخص.

أي يتوقع أن يعاني ٣٤ شخص من أعراض ناتجة عن البرد من بين ٤٠ مريض فحصهم الطبيب.

سفر: إذا كانت سرعة ١٠٠ كلم/س تساوي تقريباً ٦٢ ميلاً/س، فاكتب تناسباً وحله للتنبؤ بالقياسات المطلوبة في السؤالين ١٤، ١٥ مقرباً الناتج إلى أقرب عدد صحيح:

١٤) سرعة بالميل/س تكافئ ٧٥ كلم/س.

نكتب تناسب ونحله، لتكن س تمثل السرعة بالميل/س.

$\frac{\mathrm{السرعة}\mathrm{بالكلم}/س}{\mathrm{السرعة}\mathrm{بالميل}/س}=\frac{\mathrm{١٠٠}}{\mathrm{٦٢}}=\frac{\mathrm{٧٥}}{\mathrm{س.}}$

١٠٠ × س = ٦٢ × ٧٥ (اضرب تبادلياً).

١٠٠س = ٤٦٥٠ (أوجد ناتج الضرب).

$\frac{\mathrm{١٠٠}س}{\mathrm{١٠٠}}=\frac{\mathrm{٤٦٥٠}}{\mathrm{١٠٠}}$ (اقسم الطرفين على ١٠٠).

س = ٤٦,٥ ≈ ٤٧ ميل/س.

أي سرعة ٤٧ ميل/س تكافئ تقريباً ٧٥كلم/س.

١٥) سرعة بـ كلم/س تكافئ ٢٠ ميل/س.

نكتب تناسب ونحله، لتكن ص تمثل السرعة بالكلم/س.

$\frac{\mathrm{السرعة}\mathrm{بالكلم}/س}{\mathrm{السرعة}\mathrm{بالميل}/س}=\frac{\mathrm{١٠٠}}{\mathrm{٦٢}}=\frac{ص}{\mathrm{٦٢}}$

١٠٠ × ٢٠ = ٦٢ × ص (اضرب تبادلياً).

٢٠٠٠ = ٦٢ص (أوجد ناتج الضرب).

$\frac{\mathrm{٢٠٠٠}}{\mathrm{٦٢}}=\frac{\mathrm{٦٢}ص}{\mathrm{٦٢}}$ (اقسم الطرفين على ٦٢).

ص = ٣٢,٣ ≈ ٣٢ كبم/س.

١٦) تصوير: يحتاج التقاط ٣ صور إلى دقيقتين، اكتب معادلة تمثل العلاقة بين عدد الصور ص وعدد الدقائق د، وكم يستغرق التقاط ١٠ صور وفق المعدل نفسه؟

نكتب تناسب ونحله، حيث بمثل ص عدد الصور د عدد الدقائق.

$\frac{\mathrm{عدد}\mathrm{الصور،}}{\mathrm{عدد}\mathrm{الدقائق}}\leftarrow \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١٠}}{د}$

٣ × د = ٢ × ١٠ (اضرب تبادلياً).

٣د = ٢٠ (أوجد ناتج الضرب).

$\frac{\mathrm{٣}د}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٣}}$ (اقسم الطرفين على ٣).

ص = ٦,٦٦ ≈ ٧ دقيقة.

أي يستغرق التقاط ١٠ صور ٧ دقائق تقريباً.

١٧) قياس: يتناسب عرض كتفي الفرد مع طوله، فإذا كان طول أحد الأشخاص ١٦٢,٧ سم، وعرض كتفيه ٤١,٢ سم، فأوجد طول شخص آخر عرض كتفيه ٤٦,٣ سم.

نكتب تناسب ونحله، حيث يمثل ط طول الشخص.

$\frac{\mathrm{طول}\mathrm{الشخص\; ع}}{\mathrm{رض}\mathrm{كتفيه}}\leftarrow \frac{\mathrm{٦},\mathrm{١٦٢}}{\mathrm{٢},\mathrm{٤١}}=\frac{ط}{\mathrm{٣},\mathrm{٤٦}}$

٦ × ٤٠ = ٧ × ص (اضرب تبادلياً).

٢٤٠ = ٧ص (أوجد ناتج الضرب).

$\frac{\mathrm{٣٨},\mathrm{٧٥٢٨}}{\mathrm{٢},\mathrm{٤١}}=\frac{\mathrm{٢},\mathrm{٤١}ط}{\mathrm{٢},\mathrm{٤١}}$ (اقسم الطرفين على ٤١,٢).

ص = ١٨٢,٧ سم

أي أن شخص عرض كتفيه ٤٦,٣ يبلغ طوله ١٨٢,٧ سم تقريباً.

١٨) مسألة مفتوحة: لعمل طبق حلوى نحتاج إلى $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١}$ ملعقة سكر لكل ٣ ملاعق حليب، اكتب كميتين أخيرتين متناسبتين من السكر والحليب، وإحداهما أكبر، والأخرى أصغر، فسر إجابتك.

نكتب تناسب ونوجد معادلة التناسب لنتمكن من إيجاد الكميات بسهولة، حيث س عدد ملاعق السكر، ح عدد ملاعق الحليب.

$\frac{\mathrm{عدد}\mathrm{ملاعق}\mathrm{الحليب\; ع}}{\mathrm{دد}\mathrm{ملاعق}\mathrm{السكر}}\leftarrow \frac{ح}{س}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥},\mathrm{١}}$ = ٢ $\leftarrow$ ح = ٢س (معادلة تمثل أن كمية الحليب هي ضعف كمية السكر).

• الكمية الأكبر: مثلاً ٣ ملاعق سكر $\leftarrow$ ح = ٢ × ٣ = ٦ ملاعق حليب (الكمية الأكبر: ٣ ملاعق سكر، ٦ ملاعق حليب).
• الكمية الأصغر: مثلاً ١ ملعقة سكر $\leftarrow$ ح = ٢ × ١ = ٢ ملعقة حليب (الكمية الأصغر: ١ ملعقة سكر، ٢ ملعقة حليب).

تحد: حل كل معادلة مما يأتي:

١٩) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١٨}}{س+\mathrm{٥}}$

٢ × (س + ٥) = ٣ × ١٨ (اضرب تبادلياً)

٢س + ١٠ = ٥٤ (نوزع الضرب على الجمع ونوحد ناتج الضرب).

٢س = ٥٤ - ١٠ (نطرح ١٠ من الطرفين).

$\frac{\mathrm{٢}س}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٤٤}}{\mathrm{٢}}$ (اقسم الطرفين على ٢)

س = ٢٢

٢٠) $\frac{س-\mathrm{٤}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٥}}$

(س - ٤) × ٥ = ١٠ × ٧ (اضرب تبادلياً).

٥س - ٢٠ = ٧٠ (نوزع الضرب على الجمع ونوجد ناتج الضرب).

٥س = ٧٠ + ٢٠ (نضيف ٢٠ للطرفين).

$\frac{\mathrm{٥}س}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٩٠}}{\mathrm{٥}}$ (اقسم الطرفين على ٥).

س = ١٨

٢١) $\frac{\mathrm{٥},\mathrm{٤}}{\mathrm{١٧}-س}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}$

٤,٥ × ٨ = (١٧ - س) × ٣ (أضرب تبادلياً).

٣٦ = ٥١ - ٣س (نوزع الضرب على الجمع ونوجد ناتج الضرب).

٣س = ٥١ - ٣٦ (نضيف ٣س ونطرح ٣٦ من الطرفين).

$\frac{\mathrm{٣}س}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٣}}$ (اقسم الطرفين على ٣).

س = ٥

٢٢) اكتب لماذا يكون من الأسهل كتابة معادلة لتمثيل علاقة تناسب بدلاً من كتابة تناسب.

لأن المعادلة هي الشكل المختصر للتناسب وبالتناسب نختصر الكثير من المراحل الحسابية لإيجاد قيمة المجهول عند استخدام المعادلة.

٢٣) إذا علمت أن العضلات في جسم الإنسان توجد بمعدل ٢ كجم لكل ٥ كجم من كتلة الجسم تقريباً، فأي المعادلات التالية تستعمل لإيجاد كتلة العضلات (ك) في جسم شخص كتلته ٨٥ كجم؟

أ) ك = ٥ × ٨٥

ب) ك = ٥ × ٢

جـ) ٨٥ × $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$

د) ك = ٨٥ × $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$

٢٤) يجري عداء بمعدل ٢١٦ م في ١٨ ثانية، إذا استمر العداء بالمعدل نفسه، فكم دقيقة تقريباً يحتاج لقطع مسافة ٧٨٠ م؟

أ) دقيقة واحدة.

ب) دقيقتان.

جـ) ٣ دقائق.

د) ٥ دقائق.

٢٥) إجابة قصيرة: يبين التمثيل بالمدة أدناه نتائج دراسة مسحية أجريت على طلاب أحد صفوف مدرسية متوسطة، حول أفضل طريقة أحد صفوف مدرسة متوسطة، حول أفضل طريقة للمحافظة على البيئة، إذا كان عدد طلاب المدرسة ٥١٥ طالباً، فاكتب تناسباً لتوقع عدد طلاب المدرسة الذين يعتقدون أن إعادة التدوير هي أفضل طريقة للمحافظة على البيئة.

نكتب تناسب ونحله، حيث يمثل س عدد الطلاب الذين يعتقدون أن إعادة التدوير هي أفضل طريقة للمحافظة على البيئة.

$\frac{\mathrm{عدد}\mathrm{الطلاب}\mathrm{المؤيدين}\mathrm{لإعادة}\mathrm{التدوير}}{\mathrm{عدد}\mathrm{الطلاب}\mathrm{الكلي}}\leftarrow \frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٣٥}}=\frac{س}{\mathrm{٥١٥.}}$

١٢ × ٥١٥ = ٣٥ × س (اضرب تبادلياً).

٦١٨٠ = ٣٥ س (أوجد ناتج الضرب).

$\frac{\mathrm{٦١٨٠}}{\mathrm{٣٥}}=\frac{\mathrm{٣٥}س}{\mathrm{٣٥}}$ (اقسم الطرفين على ٣٥).

س = ١٧٦,٦ ≈ ١٧٧ طالباً.

أي أن ١٧٧ طالباً في المدرسة إن إعادة التدوير هي أفضل طريقة للمحافظة على البيئة.