حل أسئلة تدرب وحل المسائل

بسط كل عبارة فيما يأتي:

١١) ٢$\sqrt{\mathrm{٦}}+ \mathrm{٩}\sqrt{\mathrm{٦}}$

٢$\sqrt{\mathrm{٦}}+ \mathrm{٩}\sqrt{\mathrm{٦}}$ = (٢ + ٩) $\sqrt{\mathrm{٦}}$

= ١١$\sqrt{\mathrm{٣}}$

١٢) ٣$\sqrt{\mathrm{٥٠}}-\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٣٢}}$

٣$\sqrt{\mathrm{٥٠}}-\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٣٢}}$ = ٣$\sqrt{\mathrm{٢}\times \mathrm{٥}\times \mathrm{٥}}-\mathrm{٣}\sqrt{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}\times \mathrm{٢}\times {\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}}$

= ١٥$\sqrt{\mathrm{٢}}-\mathrm{١٢}\sqrt{\mathrm{٢}}$

= ٣$\sqrt{\mathrm{٢}}$

١٣) ٧$\sqrt{\mathrm{٣}}-\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٢}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}+\mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٣}}$

٧$\sqrt{\mathrm{٣}}-\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٢}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}+\mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٣}}$ = (٧ + ٥)$\sqrt{\mathrm{٣}}$ + (-٢ + ٣)$\sqrt{\mathrm{٢}}$

= ١٢$\sqrt{\mathrm{٣}}+\sqrt{\mathrm{٢}}$

١٤) $\sqrt{\mathrm{٧}}(\sqrt{\mathrm{٥}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}})$

$\sqrt{\mathrm{٧}}(\sqrt{\mathrm{٥}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}})$ = $\sqrt{\mathrm{٧}}\times \sqrt{\mathrm{٥}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}}\times \sqrt{\mathrm{٧}}$

= $\sqrt{\mathrm{٣٥}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٣٥}}$

= ٤$\sqrt{\mathrm{٣٥}}$

١٥) $\sqrt{\mathrm{٦}}(\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{١٠}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}})$

$\sqrt{\mathrm{٦}}(\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{١٠}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}})$ = $\sqrt{\mathrm{٦}}\times \mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{١٠}}+ \sqrt{\mathrm{٦}}\times \mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}$

= ٢$\sqrt{\mathrm{٦٠}}+ \mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{١٢}}$

= ٢$\sqrt{\mathrm{٢}\times \mathrm{٣}\times \mathrm{٢}\times \mathrm{٥}}+\mathrm{٣}\sqrt{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}\times \mathrm{٣}}$

= ٢$\sqrt{\mathrm{٣}\times {\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}\times \mathrm{٥}}+\mathrm{٣}\sqrt{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}\times \mathrm{٣}}$

= ٤$\sqrt{\mathrm{٣}\times \mathrm{٥}}+ \mathrm{٦}\sqrt{\mathrm{٣}}$

= ٤$\sqrt{\mathrm{١٥}}+\mathrm{٦}\sqrt{\mathrm{٣}}$

١٦) ٥$\sqrt{\mathrm{٣}}(\mathrm{٦}\sqrt{\mathrm{١٠}}-\mathrm{٦}\sqrt{\mathrm{٣}})$

٥$\sqrt{\mathrm{٣}}(\mathrm{٦}\sqrt{\mathrm{١٠}}-\mathrm{٦}\sqrt{\mathrm{٣}})$ = ٣٠ $\sqrt{\mathrm{٣٠}}- \mathrm{٣٠}\sqrt{\mathrm{٩}}$

= ٣٠ $\sqrt{\mathrm{٣٠}}- \mathrm{٣٠}\sqrt{\mathrm{٣٠}}$

= ٣٠$\sqrt{\mathrm{٣٠}}- \mathrm{٩٠}$

١٧) ($\sqrt{\mathrm{٣}}-\sqrt{\mathrm{٢}}$) ($\sqrt{\mathrm{١٥}}+\sqrt{\mathrm{١٢}}$)

($\sqrt{\mathrm{٣}}-\sqrt{\mathrm{٢}}$) ($\sqrt{\mathrm{١٥}}+\sqrt{\mathrm{١٢}}$) = $\sqrt{\mathrm{٣}}(\sqrt{\mathrm{١٥}}+\sqrt{\mathrm{١٢}}) - \sqrt{\mathrm{٢}}(\sqrt{\mathrm{١٥}}+\sqrt{\mathrm{١٢}})$

=$\sqrt{\mathrm{٥}\times \mathrm{٣}\times \mathrm{٣}}+\sqrt{\mathrm{٣}\times {\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}\times \mathrm{٣}}-\sqrt{\mathrm{٣٠}}-\sqrt{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}\times \mathrm{٣}\times \mathrm{٢}}$

= ٣$\sqrt{\mathrm{٥}}+\mathrm{٦} -\sqrt{\mathrm{٣٠}}-\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٦}}$

١٨) (٥$\sqrt{\mathrm{٢}}+ \mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}}$) (٢$\sqrt{\mathrm{١٠}}-\mathrm{٥}$)

(٥$\sqrt{\mathrm{٢}}+ \mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}}$) (٢$\sqrt{\mathrm{١٠}}-\mathrm{٥}$) = ٥$\sqrt{\mathrm{٢}}(\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{١٠}}-\mathrm{٥}) + \mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}}(\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{١٠}}- \mathrm{٥})$

= ١٠$\sqrt{\mathrm{٥}\times \mathrm{٢}\times \mathrm{٢}}-\mathrm{٢٥}\sqrt{\mathrm{٢}}+ \mathrm{٦}\sqrt{\mathrm{٥}\times \mathrm{٢}\times \mathrm{٥}}-\mathrm{١٥}\sqrt{\mathrm{٥}}$

= ٢٠$\sqrt{\mathrm{٥}}-\mathrm{٢٥}\sqrt{\mathrm{٢}}+ \mathrm{٣٠}\sqrt{\mathrm{٢}}-\mathrm{١٥}\sqrt{\mathrm{٥}}$

= ٥$\sqrt{\mathrm{٥}}+\mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٢}}$

١٩) هندسة: أوجد محيط ومساحة مستطيل عرضه ٢$\sqrt{\mathrm{٧}}+ \mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}}$

مساحة المستطيل = الطول × العرض.

= (٢$\sqrt{\mathrm{٧}}-\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٥}})\times (\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٧}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}})$

= ٢$\sqrt{\mathrm{٧}}\times \left(\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٧}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}}\right) - \mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٥}}\left(\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٧}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}}\right)$

= ٦ × ٧ × ٦$\sqrt{\mathrm{٣٥}}- \mathrm{٦}\sqrt{\mathrm{٣٥}}$ - ٦ × ٥

= ٤٢ - ٣٠ = ١٢ وحدة مربعة

محيط المستطيل = (الطول + العرض) × ٢

= [(٢$\sqrt{\mathrm{٧}}-\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٥}}$) × (٣$\sqrt{\mathrm{٧}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}}$) × ٢]

= (٥$\sqrt{\mathrm{٧}}+\sqrt{\mathrm{٥}}$) × ٢

= (١٠ $\sqrt{\mathrm{٧}}+\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٥}}$) وحدة.

بسط كل عبارة فيما يأتي:

٢٠) $\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}}-\sqrt{\mathrm{٥}}$

$\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}}-\sqrt{\mathrm{٥}}$ = $\frac{\sqrt{\mathrm{١}}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}-\sqrt{\mathrm{٥}}$

= $\frac{\sqrt{\mathrm{١}-\mathrm{٥}}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}$

= $\frac{\sqrt{\mathrm{١}-\mathrm{٥}}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}$ × $\frac{\sqrt{\mathrm{٥}}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}$

= $\frac{\sqrt{\mathrm{٥}}-\mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٥}}}{\mathrm{٥}}$

= $\frac{- \mathrm{٤}\sqrt{\mathrm{٥}}}{\mathrm{٥}}$

٢١) $\sqrt{\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}}+\sqrt{\mathrm{٦}}$

$\sqrt{\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}}+\sqrt{\mathrm{٦}}$ = $\frac{\sqrt{\mathrm{٢}}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}+\sqrt{\mathrm{٦}}$

= $\frac{\sqrt{\mathrm{٢}}+\sqrt{\mathrm{٣}\times \mathrm{٢}\times \mathrm{٣}}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$

= $\frac{\sqrt{\mathrm{٢}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$

= $\frac{\mathrm{٤}\sqrt{\mathrm{٢}}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}\times \frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$

= $\frac{\sqrt{\mathrm{٥}}-\mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٥}}}{\mathrm{٥}}$

= $\frac{\mathrm{٤}\sqrt{\mathrm{٦}}}{\mathrm{٣}}$

٢٢) ٢$\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}}+\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٢}}-\sqrt{\mathrm{٨}}$

٢$\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}}+\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٢}}-\sqrt{\mathrm{٨}}$ = $\frac{\mathrm{٢}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}+\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٢}}-\sqrt{\mathrm{٨}}$

= $\frac{\mathrm{٢}+\mathrm{٤}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}-\sqrt{\mathrm{٨}}$

= $\frac{\mathrm{٦}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}-\sqrt{\mathrm{٨}}$

= $\frac{\mathrm{٦}-\sqrt{\mathrm{١٦}}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٦}-\mathrm{٤}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}$

= $\frac{\mathrm{٢}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}\times \frac{\sqrt{\mathrm{٢}}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}$

= $\frac{\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}} =\sqrt{\mathrm{٢}}$

٢٣) ٨$\sqrt{\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢٠}}-\mathrm{١٠}\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}}$

٨$\sqrt{\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢٠}}-\mathrm{١٠}\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}}$ = ٨$\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}}+\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٥}\times \mathrm{٤}}-\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}$

= ٤$\sqrt{\mathrm{٥}}+\mathrm{٦}\sqrt{\mathrm{٥}}-\frac{\mathrm{١٠}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}=\mathrm{١٠}\sqrt{\mathrm{٥}}-\frac{\mathrm{١٠}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}$

= ١٠$\sqrt{\mathrm{٥}}-\frac{\mathrm{١٠}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}-\frac{\mathrm{٥٠} - \mathrm{١٠}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}$

= $\frac{\mathrm{٤٠}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}\times \frac{\sqrt{\mathrm{٥}}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}=\frac{\mathrm{٤٠}\sqrt{\mathrm{٥}}}{\mathrm{٥}}$

= ٨$\sqrt{\mathrm{٥}}$

٢٤) (٣ - $\sqrt{\mathrm{٥}}$)^٢

(٣ - $\sqrt{\mathrm{٥}}$)^٢ = ٩ + ٥ - ٦$\sqrt{\mathrm{٥}}$

= ١٤ - ٦$\sqrt{\mathrm{٥}}$

٢٥) ($\sqrt{\mathrm{٢}}+ \sqrt{\mathrm{٣}}$)^٢

($\sqrt{\mathrm{٢}}+ \sqrt{\mathrm{٣}}$)^٢ = ٢ + ٣ + ٢$\sqrt{\mathrm{٦}}$

= ٥ + ٢$\sqrt{\mathrm{٦}}$

٢٦) لعبة الأفعوانية: تعبر المعادلة ع_٠ = $\sqrt{{ع}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٦٤} ل}$عن سرعة الانطلاق (ع) بالقدم/ثانية في أدنى نقطة لها عند هبوطها من ارتفاع عمودي (ل) بالأقدام وبسرعة (ع_٠).

أ) كم تكون سرعة الأفعوانية عند قمة ارتفاعها ٢٢٥ قدماً كي تصل سرعتها إلى ١٢٠ قدماً/ثانية في أدنى نقطة لها؟

ع = $\sqrt{{\mathrm{١٢٠}}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٦٤} \times \mathrm{٢٢٥}}$

= صفر قدم/ث

ب) فسر لماذا لا تكافئ المعادلة ع_٠ = ع - ٨$\sqrt{ل}$ المعادلة المعطاة؟

نأخذ في المعادلة الجذر التربيعي للفرق بين الحدين وليس الجذر التربيعي لكل حد.

٢٧) استثمار/ استثمر عامر ٢٢٥٠٠ ريال في التجارة، فأصبح المبلغ ٢٧٠٠٠ ريال بعد سنتين، يمكنك استعمال المعادلة ر = $\sqrt{\frac{{ع}_{\mathrm{٢}}}{{ع}_{\mathrm{٠}}}}-\mathrm{١}$ لإيجاد معدل الربح السنوي (ر)، حيث تمثل (ع_٠) المبلغ الأصلي، و(ع_٢) المبلغ بعد سنتين، أوجد معدل الربح السنوي للمبلغ الذي استثمره عامر؟

ر = $\sqrt{\frac{{ع}_{\mathrm{١}}}{{ع}_{\mathrm{٠}}}}-\mathrm{١} = \sqrt{\frac{\mathrm{٢٧٠٠٠}}{\mathrm{٢٢٥٠٠}}}$ -١ = ١٥٠ - ١ = ٠,٠٩٥

٠,٠٩٥ × ١٠٠ = ٩,٥ استثمار: ٩,٥ ٪ تقريباً.

٢٨) كهرباء: تستعمل المعادلات ت = $\frac{\sqrt{\mathrm{قد}}}{\sqrt{م}}$ لحساب شدة التيار الكهربائي بالأمبير (ت)، حيث (قد) قدرة الجهاز بالواط، (م) المقاومة بالأوم، ما شدة التيار الكهربائي في فرن الميكروويف إذا كانت قوة التيار ٨٥٠ واط، ومقاومته ٥ أوم؟ اكتب شدة التيار في أبسط صيغة جذرية، ثم قدر قيمته إلى أقرب جزء من عشرة.

$\frac{\sqrt{\mathrm{٨٥٠}}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}= \sqrt{\frac{\mathrm{٨٥٠}}{\mathrm{٥}}}\sqrt{\mathrm{١٧٠}}$ ≈ ١٣ أمبير تقريباً.

٢٩) تحد: حدد إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أو غير صحيحة، وأعط مثالاً أو مثالاً مضاداً.

س + ص > $\sqrt{{س}^{\mathrm{٢}} + {ص}^{\mathrm{٢}}}$ عندما س > ٠ ، ص > ٠

صحيحة، ١ + ١ > $\sqrt{\mathrm{١} + \mathrm{١}}$ أو ٢ > $\sqrt{\mathrm{٢}}$

٣٠) تبرير: بين أنه كانت أ، ب، جـ، د، أعداداً نسبية، فإن ناتج ضرب: أ$\sqrt{ب}+ \mathrm{جـ}\sqrt{ف}، أ\sqrt{ب}-جـ \sqrt{ف،}$ لا يحوي جذوراً، فسر إجابتك.

(أ $\sqrt{ب} + \mathrm{جـ} \sqrt{ف}$) (أ $\sqrt{ب} - \mathrm{جـ} \sqrt{ف}$)

أ^٢ $\sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}}}$ - أ جـ $\sqrt{ب ف}$ - $\sqrt{{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}}}\sqrt{{ف}^{\mathrm{٢}}}$أ جـ$\sqrt{ب ف}$

أ^٢ ب - جـ^٢ ف

هذا النمط هو فرق بين مربعين.

٣١) مسألة مفتوحة: اكتب معادلة جمع جذرين ما تحت كل منهما مختلف، وفسر كيف يمكنك جمع هذين الحدين.

$\sqrt{\mathrm{١٢}}+\sqrt{\mathrm{٢٧}}=\mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٢}}$، بما أن تبسيط، هو ٢$\sqrt{\mathrm{٣}}$

وتبسيط هو $\sqrt{\mathrm{٢٧}}$ وبما أن ٢$\sqrt{\mathrm{٣}}$، ٣$\sqrt{\mathrm{٣}}$ لهما ما تحت الجذر نفسه لذا يمكن جمعهما.

٣٢) اكتب: صف بالخطوات كيف تضرب عبارتين جذريتين يتكون كل منهما من حدين، واكتب مثالاً يوضح ذلك.

يمكنك استعمال طريقة التوزيع بالترتيب عن طريق ضرب كل من الحدين الأولين والحدين الخارجيين والحدين الأوسطين والحدين الأخيرين ثم جمع الحدود المتشابهة وتبسيط الجذور.

٣٣) إجابة قصيرة: إذا كان عدد سكان مدينة ١٣٠٠٠٠ نسمة ويتزايدون بمقدار ٢٥٠٠ شخص في السنة، فإنه يمكن التعبير عن عدد سكانها بعد (س) سنة من ذلك بالمعادلة: ع = ١٣٠٠٠٠ + ٢٥٠٠ س، بعد كم سنة يصبح عدد سكان المدينة ١٤٥٠٠٠؟

١٤٥٠٠٠ = ١٣٠٠٠٠ + ٢٥٠٠س

١٤٥٠٠٠ - ١٣٠٠٠٠ = ٢٥٠٠س

١٥٠٠٠ = ٢٥٠٠س

س = ١٥٠٠٠ ÷ ٢٥٠٠

س = ٦ سنوات.

٣٤) أي مما يأتي يكافئ العبارة: ٨(٣ - ص) + ٥(٣ - ص)؟

أ) ٣٩ - ص

ب) ٤٠(٣٠ - ص)

جـ) ١٣(٣ - ص)

د) ١٣(٦ - ٢ص)

٨(٣ - ص) + ٥(٣ - ص)

٢٤ - ٨ص + ١٥ - ٥ص

٣٩ - ١٣ص

١٣(٣ - ص)

الاختيار الصحيح: جـ) ١٣(٣ - ص).

٣٥) هندسة: أي عبارة مما يأتي تمثل مجموع أطوال الاثني عشر حرفاً للمنشور الرباعي (متوازي المستطيلات) أدناه؟

أ) ٢(أ + ب + جـ)

ب) ٣(‌أ + ب + جـ)

جـ) ٤(أ + ب + جـ)

د) ١٢(أ + ب + جـ)