حل أسئلة تحقق من فهمك

أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كلّ مما يأتي، ثم حدّد ما إذا كانا متعامدين أم لا:

1A) $\mathrm{u}=⟨3,-5,4⟩,\mathrm{v}=⟨5,7,5⟩$

0، متعامدان.

1B) $\mathbf{u}=⟨4,-2,-3⟩,\mathbf{v}=⟨1,3,-2⟩$

4، غير متعامدان.

2) أوجد قياس الزاوية بين المتجهين: u = -4i + 2j + k, v = 4i + 3k، إلى أقرب منزلة عشرية.

124.6°

أوجد الضرب الاتجاهين للمتجهين u, v في كلّ مما يأتي، ثم بين أن u × v يعامد كلاً من u, v:

3A) $\mathbf{u}=⟨4,2,-1⟩,\mathbf{v}=⟨5,1,4⟩$

$⟨9,-21,-6⟩$

الإثبات

$\begin{array}{rl}& (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{v}\\ =& ⟨9,-21,-6⟩\cdot ⟨5,1,4⟩\\ =& 9\left(5\right)+\\ & (-21)\left(1\right)+(-6)\left(4\right)\\ =& 45+(-21)+(-24)\\ =& 0\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{u}\\ & =⟨9,-21,-6⟩\cdot ⟨4,2,-1⟩\\ & =9\left(4\right)+(-21)\left(2\right)+(-6)(-1)\\ & =36+(-42)+6\\ & =0\end{array}$

3B) $\mathbf{u}=⟨-2,-1,-3⟩,\mathbf{v}=⟨5,1,4⟩$

$⟨-1,-7,3⟩$

الإثبات

$\begin{array}{rl}& (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{v}\\ & =⟨-1,-7,3⟩\cdot ⟨5,1,4⟩\\ & =(-1)\left(5\right)+(-7)\left(1\right)+3\left(4\right)\\ & =-5+(-7)+12\\ & =0\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{u}\\ =& ⟨-1,-7,3⟩\cdot ⟨-2,-1,-3⟩\\ =& (-1)(-2)+(-7)(-1)+3(-3)\\ =& 2+7+(-9)\\ =& 0\end{array}$

4) أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه: u=-6i-2j+ 3k ,v= 4i+3j ضلعان متجاوران.

$\sqrt{545}$ أو حوالي 23.35 وحدة مربعة.

5) أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه: t=2j - 5k,u=-6i - 2j + 3k,v=4i + 3j + k أحرف متجاورة.

86 وحدة مكعبة.