للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق سبورة من متجر جوجل

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

الضرب الداخلي والضرب الإتجاهي للمتجهات في الفضاء

تدرب وحل المسائل

أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كلّ مما يأتي، ثم حدّد ما إذا كانا متعامدين أم لا:

1) $u = ⟨ 3, - 9, 6 ⟩, v = ⟨ - 8, 2, 7 ⟩$

0 متعامدان.

2) $u = ⟨ 5, 0, - 4 ⟩, v = ⟨ 6, - 1, 4 ⟩$

14 غير متعامدان.

3) $u = ⟨ - 7, - 3, 1 ⟩, v = ⟨ - 4, 5, - 13 ⟩$

0 متعامدان.

4) $- 15 u = ⟨ 11, 4, - 2 ⟩, v = ⟨ - 1, 3, 8 ⟩$

15- غير متعامدان.

5) u=6i - 2j - 5k ,v = 3i - 2j + 6k

8- غير متعامدان.

6) u= 9i - 9j + 6k , v= 6i + 4j - 3k

0 متعامدان.

7) كيمياء: تقع إحدى ذرتي الهيدروجين في جزيء الماء عند $⟨ 55.5, 55.5, - 55.5 ⟩$ ،والأخرى عند $⟨ - 55.5, - 55.5, - 55.5 ⟩$ ، وذلك في الوقت الذي تقع فيه ذرة الأكسجين في نقطة الأصل، أوجد الزاوية بين المتجهين اللذين يكونان رابطة الأوكسجين – الهيدروجين مقرَّبة إلى أقرب جزء من عشرة.

109.5°

أوجد قياس الزاوية $θ$ بين المتجهين u, v في كلّ مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة:

8) $u = ⟨ 6, - 5, 1 ⟩, v = ⟨ - 8, - 9, 5 ⟩$

88.9°

9) $u = ⟨ - 8, 1, 12 ⟩, v = ⟨ - 6, 4, 2 ⟩$

45.4°

10) $u = ⟨ 10, 0, - 8 ⟩, v = ⟨ 3, - 1, - 12 ⟩$

37.5°

11) $u = - 3 i + 2 j + 9 k, v = 4 i + 3 j - 10 k$

152.3°

أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u, v في كلّ مما يأتي، ثم بيّن أن u × v عمودي على كلّ من u, v:

12) $u = ⟨ - 1, 3, 5 ⟩, v = ⟨ 2, - 6, - 3 ⟩$

$⟨ 21, 7, 0 ⟩$

$\begin{aligned} (u \times v) \cdot v \\ = ⟨ 21, 7, 0 ⟩ \cdot ⟨ 2, - 6, - 3 ⟩ \\ = 21 (2) + 7 (- 6) + 0 (- 3) \\ = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} (u \times v) \cdot u \\ = ⟨ 21, 7, 0 ⟩ \cdot ⟨ - 1, 3, 5 ⟩ \\ = 21 (- 1) + 7 (3) + 0 (5) \\ = 0 \end{aligned}$

13) $u = ⟨ 4, 7, - 2 ⟩, v = ⟨ - 5, 9, 1 ⟩$

$⟨ 25, 6, 71 ⟩$

$\begin{aligned} (u \times v) \cdot v \\ = ⟨ 25, 6, 71 ⟩ \cdot ⟨ - 5, 9, 1 ⟩ \\ = 25 (- 5) + 6 (9) + 71 (1) \\ = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} (u \times v) \cdot u \\ = ⟨ 25, 6, 71 ⟩ \cdot ⟨ 4, 7, - 2 ⟩ \\ = 25 (4) + 6 (7) + 71 (- 2) \\ = 0 \end{aligned}$

14) $u = ⟨ 3, - 6, 2 ⟩, v = ⟨ 1, 5, - 8 ⟩$

$⟨ 38, 26, 21 ⟩$

$\begin{aligned} (u \times v) \cdot v \\ = ⟨ 38, 26, 21 ⟩ \cdot ⟨ 1, 5, - 8 ⟩ \\ = 38 (1) + 26 (5) + 21 (- 8) \\ = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} (u \times v) \cdot u \\ = ⟨ 38, 26, 21 ⟩ \cdot ⟨ 3, - 6, 2 ⟩ \\ = 38 (3) + 26 (- 6) + 21 (2) \\ = 0 \end{aligned}$

15) u=-2i - 2j + 5k, v=7i + j - 6k

$⟨ 7, 23, 12 ⟩$

$\begin{aligned} (u \times v) \cdot v \\ = ⟨ 7, 23, 12 ⟩ \cdot ⟨ 7, 1, - 6 ⟩ \\ = 7 (7) + 23 (1) + 12 (- 6) \\ = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} (u \times v) \cdot u \\ = ⟨ 7, 23, 12 ⟩ \cdot ⟨ - 2, - 2, 5 ⟩ \\ = 7 (- 2) + 23 (- 2) + 12 (5) \\ = 0 \end{aligned}$

أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه u, v ضلعان متجاوران في كلّ مما يأتي:

16) $u = ⟨ - 9, 1, 2 ⟩, v = ⟨ 6, - 5, 3 ⟩$

$13 \sqrt{19}$ أو 56.7 وحدة مربعة تقريباً.

17) $u = ⟨ 4, 3, - 1 ⟩, v = ⟨ 7, 2, - 2 ⟩$

$\sqrt{186}$ أو 13.6 وحدة مربعة تقريباً.

18) u=6i - 2j + 5k, v=5i - 4j - 8k

$\sqrt{6821}$ أو 82.6 وحدة مربعة تقريباً.

19) u=i + 4j - 8k ,v=-2i + 3j - 7k

$3 \sqrt{74}$ أو 25.8 وحدة مربعة تقريباً.

أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه t,u,v أحرف متجاورة في كلّ مما يأتي:

20) $t = ⟨ - 1, - 9, 2 ⟩, u = ⟨ 4, - 7, - 5 ⟩, v = ⟨ 3, - 2, 6 ⟩$

429 وحدة مكعبة.

21) $t = ⟨ 2, - 3, - 1 ⟩, u = ⟨ 4, - 6, 3 ⟩, v = ⟨ - 9, 5, - 4 ⟩$

85 وحدة مكعبة.

22) t=i +j - 4k, u= -3i + 2j + 7k, v= 2i - 6j + 8k

40 وحدة مكعبة.

23) t= 5i - 2j + 6k, u= 3i - 5j + 7k, v= 8i - j + 4k

69 وحدة مكعبة.

أوجد متجهاً غير صفري يعامد المتجه المُعطى في كلٍّ ممَّا يأتي:

24) $⟨ 3, - 8, 4 ⟩$

إجابة ممكنة: $⟨ 4, 3, 3 ⟩$

25) $⟨ - 1, - 2, 5 ⟩$

إجابة ممكنة: $⟨ 5, 5, 3 ⟩$

26) $⟨ 6, - \frac{1}{3}, - 3 ⟩$

إجابة ممكنة: $⟨ 1, 9, 1 ⟩$

27) $⟨ 7, 0, 8 ⟩$

إجابة ممكنة: $⟨ - 8, 0, 7 ⟩$

إذا علم كلّ من v, u · v، فأوجد حالة ممكنة للمتجه u في كلّ مما يأتي:

28) $v = ⟨ 2, - 4, - 6 ⟩, u \cdot v = - 22$

إجابة ممكنة: $⟨ 3, 4, 2 ⟩$

29) $v = ⟨ \frac{1}{2}, 0, 4 ⟩, u \cdot v = \frac{31}{2}$

إجابة ممكنة: $⟨ - 1, - 3, 4 ⟩$

30) $v = ⟨ - 2, - 6, - 5 ⟩, u \cdot v = 35$

إجابة ممكنة: $⟨ - 3, 1, - 7 ⟩$

حدد ما إذا كانت النقاط المعطاة واقعة على استقامة واحدة أم لا؟

31) (1,7,7-), (3,9,11-), (5,11,13-)

ليست على استقامة واحدة.

32) (-11,8,1), (-17,5,7), (-8,11,5)

ليست على استقامة واحدة.

حدد ما إذا كان كل متجهين مما يأتي متوازيين أم لا:

33) $m = ⟨ 2, - 10, 6 ⟩, n = ⟨ 3, - 15, 9 ⟩$

متوازيان.

34) $a = ⟨ 6, 3, - 7 ⟩, b = ⟨ - 4, - 2, 3 ⟩$

غير متوازيين.

35) اكتب الصورة الإحداثية للمتجه u الذي يقع في المستوى y z، وطوله 8، ويصنع زاوية قياسها °60 فوق الاتجاه الموجب للمحور y.

$⟨ 0, 4, 4 \sqrt{3} ⟩$

حدد ما إذا كان الشكل الرباعي ABCD المعطاة إحداثيات رؤوسه متوازي أضلاع أم لا، وإذا كان كذلك، فأوجد مساحته، وحدّد ما إذا كان مستطيلاً أم لا:

36) A(3, 0, -2), B(0, 4, -1), C(0, 2, 5), D(3, 2, 4)

ليس متوازي أضلاع.

37) A(7, 5, 5), B(4, 4, 4), C(4, 6, 2), D(7, 7, 3)

متوازي أضلاع؛ 9.4 وحدات مربعة تقريباً، مستطيل.

38) عرض جوي: أقلعت طائرتان معاً في عرض جوي، فأقلعت الأولى من موقع إحداثياته (0, 2- , 0)، وبعد 3 ثوان وصلت موقعاً إحداثياته (15 , 10 - , 6)، في حين أقلعت الثانية من موقع إحداثياته (0 , 2 , 0)، ثوان وصلت موقعاً إحداثياته (15 , 10 , 6) هل يتوازى خطَّا سير الطائرتين؟ وضّح إجابتك.

إجابة ممكنة: لا؛ لأن الزاوية بين المتجهين لا تساوي ° 0 ولا ° 180، وعليه فالمتجهان غير متوازيين.

إذا كان $u = ⟨ 3, 2, - 2 ⟩, v = ⟨ - 4, 4, 5 ⟩$ ، فأوجد كلاً مما يأتي إن أمكن:

39) $u \cdot (u \times v)$

40) $v \times (u \cdot v)$

ليس ممكناً؛ لأن u.v كمية قياسية وليست متجهاً، والضرب الاتجاهي يكون لمتجهين.

41) إذا كانت v, w, u تمثّل ثلاثة أحرف متجاورة لمتوازي السطوح في الشكل المجاور، وكان حجمه 7 وحدات مكعبة، فما قيمة c؟

متوازي السطوح

حجم متوازي السطوح يساوي:

$\begin{matrix} | u \cdot (v \times w) | \\ v \times w = |\begin{array}{rrr} i & j & k \\ - 2 & - 1 & 4 \\ 1 & 0 & - 2 \end{array}| = 2 i + k \\ u . (V \times W) = ⟨ c, - 3, 1 ⟩ \cdot ⟨ 2, 0, 1 ⟩ \\ = 2 c + 1 \\ | 2 c + 1 | = 7 \\ c = - 4 و أ c = 3 إذن \end{matrix}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق سبورة من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كلّ مما يأتي، ثم حدّد ما إذا كانا متعامدين أم لا:

1) u=⟨3,−9,6⟩,v=⟨−8,2,7⟩

2) u=⟨5,0,−4⟩,v=⟨6,−1,4⟩

3) u=⟨−7,−3,1⟩,v=⟨−4,5,−13⟩

4) −15u=⟨11,4,−2⟩,v=⟨−1,3,8⟩

5) u=6i - 2j - 5k ,v = 3i - 2j + 6k

6) u= 9i - 9j + 6k , v= 6i + 4j - 3k

أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كلّ مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة:

8) u=⟨6,−5,1⟩,v=⟨−8,−9,5⟩

9) u=⟨−8,1,12⟩,v=⟨−6,4,2⟩

10) u=⟨10,0,−8⟩,v=⟨3,−1,−12⟩

11) u=−3i+2j+9k,v=4i+3j−10k

أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u, v في كلّ مما يأتي، ثم بيّن أن u × v عمودي على كلّ من u, v:

12) u=⟨−1,3,5⟩,v=⟨2,−6,−3⟩

13) u=⟨4,7,−2⟩,v=⟨−5,9,1⟩

14) u=⟨3,−6,2⟩,v=⟨1,5,−8⟩

15) u=-2i - 2j + 5k, v=7i + j - 6k

أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه u, v ضلعان متجاوران في كلّ مما يأتي:

16) u=⟨−9,1,2⟩,v=⟨6,−5,3⟩

17) u=⟨4,3,−1⟩,v=⟨7,2,−2⟩

18) u=6i - 2j + 5k, v=5i - 4j - 8k

19) u=i + 4j - 8k ,v=-2i + 3j - 7k

أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه t,u,v أحرف متجاورة في كلّ مما يأتي:

20) t=⟨−1,−9,2⟩,u=⟨4,−7,−5⟩,v=⟨3,−2,6⟩

21) t=⟨2,−3,−1⟩,u=⟨4,−6,3⟩,v=⟨−9,5,−4⟩

22) t=i +j - 4k, u= -3i + 2j + 7k, v= 2i - 6j + 8k

23) t= 5i - 2j + 6k, u= 3i - 5j + 7k, v= 8i - j + 4k

أوجد متجهاً غير صفري يعامد المتجه المُعطى في كلٍّ ممَّا يأتي:

24) ⟨3,−8,4⟩

25) ⟨−1,−2,5⟩

26) ⟨6,−13,−3⟩

27) ⟨7,0,8⟩

إذا علم كلّ من v, u · v، فأوجد حالة ممكنة للمتجه u في كلّ مما يأتي:

28) v=⟨2,−4,−6⟩,u⋅v=−22

29) v=⟨12,0,4⟩,u⋅v=312

30) v=⟨−2,−6,−5⟩,u⋅v=35

حدد ما إذا كانت النقاط المعطاة واقعة على استقامة واحدة أم لا؟

31) (1,7,7-), (3,9,11-), (5,11,13-)

32) (-11,8,1), (-17,5,7), (-8,11,5)

حدد ما إذا كان كل متجهين مما يأتي متوازيين أم لا:

33) m=⟨2,−10,6⟩,n=⟨3,−15,9⟩

34) a=⟨6,3,−7⟩,b=⟨−4,−2,3⟩

35) اكتب الصورة الإحداثية للمتجه u الذي يقع في المستوى y z، وطوله 8، ويصنع زاوية قياسها °60 فوق الاتجاه الموجب للمحور y.

حدد ما إذا كان الشكل الرباعي ABCD المعطاة إحداثيات رؤوسه متوازي أضلاع أم لا، وإذا كان كذلك، فأوجد مساحته، وحدّد ما إذا كان مستطيلاً أم لا:

36) A(3, 0, -2), B(0, 4, -1), C(0, 2, 5), D(3, 2, 4)

37) A(7, 5, 5), B(4, 4, 4), C(4, 6, 2), D(7, 7, 3)

إذا كان u=⟨3,2,−2⟩,v=⟨−4,4,5⟩، فأوجد كلاً مما يأتي إن أمكن:

39) u⋅(u×v)

40) v×(u⋅v)

41) إذا كانت v, w, u تمثّل ثلاثة أحرف متجاورة لمتوازي السطوح في الشكل المجاور، وكان حجمه 7 وحدات مكعبة، فما قيمة c؟

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

النقاشات

1) $u = ⟨ 3, - 9, 6 ⟩, v = ⟨ - 8, 2, 7 ⟩$

2) $u = ⟨ 5, 0, - 4 ⟩, v = ⟨ 6, - 1, 4 ⟩$

3) $u = ⟨ - 7, - 3, 1 ⟩, v = ⟨ - 4, 5, - 13 ⟩$

4) $- 15 u = ⟨ 11, 4, - 2 ⟩, v = ⟨ - 1, 3, 8 ⟩$

أوجد قياس الزاوية $θ$ بين المتجهين u, v في كلّ مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة:

8) $u = ⟨ 6, - 5, 1 ⟩, v = ⟨ - 8, - 9, 5 ⟩$

9) $u = ⟨ - 8, 1, 12 ⟩, v = ⟨ - 6, 4, 2 ⟩$

10) $u = ⟨ 10, 0, - 8 ⟩, v = ⟨ 3, - 1, - 12 ⟩$

11) $u = - 3 i + 2 j + 9 k, v = 4 i + 3 j - 10 k$

12) $u = ⟨ - 1, 3, 5 ⟩, v = ⟨ 2, - 6, - 3 ⟩$

13) $u = ⟨ 4, 7, - 2 ⟩, v = ⟨ - 5, 9, 1 ⟩$

14) $u = ⟨ 3, - 6, 2 ⟩, v = ⟨ 1, 5, - 8 ⟩$

16) $u = ⟨ - 9, 1, 2 ⟩, v = ⟨ 6, - 5, 3 ⟩$

17) $u = ⟨ 4, 3, - 1 ⟩, v = ⟨ 7, 2, - 2 ⟩$

20) $t = ⟨ - 1, - 9, 2 ⟩, u = ⟨ 4, - 7, - 5 ⟩, v = ⟨ 3, - 2, 6 ⟩$

21) $t = ⟨ 2, - 3, - 1 ⟩, u = ⟨ 4, - 6, 3 ⟩, v = ⟨ - 9, 5, - 4 ⟩$

24) $⟨ 3, - 8, 4 ⟩$

25) $⟨ - 1, - 2, 5 ⟩$

26) $⟨ 6, - \frac{1}{3}, - 3 ⟩$

27) $⟨ 7, 0, 8 ⟩$

28) $v = ⟨ 2, - 4, - 6 ⟩, u \cdot v = - 22$

29) $v = ⟨ \frac{1}{2}, 0, 4 ⟩, u \cdot v = \frac{31}{2}$

30) $v = ⟨ - 2, - 6, - 5 ⟩, u \cdot v = 35$

33) $m = ⟨ 2, - 10, 6 ⟩, n = ⟨ 3, - 15, 9 ⟩$

34) $a = ⟨ 6, 3, - 7 ⟩, b = ⟨ - 4, - 2, 3 ⟩$

إذا كان $u = ⟨ 3, 2, - 2 ⟩, v = ⟨ - 4, 4, 5 ⟩$ ، فأوجد كلاً مما يأتي إن أمكن:

39) $u \cdot (u \times v)$

40) $v \times (u \cdot v)$