اختبار الفصل

أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية باستعمال قاعدة المثلث، أو قاعدة متوازي الأضلاع، قرّب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من السنتمتر، ثم حدّد اتجاهها بالنسبة للأفقي مستعملاً المسطرة، والمنقلة.

1)

2)

أوجد الصورة الإحداثية، وطول $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$ المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كلّ مما يأتي:

3) A(1, -3), B(-5, 1)

$⟨-6,4⟩,\sqrt{52}\approx 7.2$

4) $A\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right),B(-1,7)$

$⟨-\frac{3}{2},\frac{11}{2}⟩,\sqrt{32.5}\approx 5.7$

5) كرة قدم: ركض لاعب بسرعة 4m/s؛ للتصدي لكرة قادمة من الاتجاه المعاكس لحركته، فضربها برأسه بسرعة 30 m/s، وبزاوية
قياسها °25 مع الأفقي، فما محصلة سرعة الكرة، واتجاه حركتها؟

33.7m/s; 22° تقريباً.

أوجد متجه وحدة باتجاه u في كلّ مما يأتي:

6) $\mathbf{u}=⟨-1,4⟩$

$⟨-\frac{\sqrt{17}}{17},\frac{4\sqrt{17}}{17}⟩$

7) $\mathbf{u}=⟨6,-3⟩$

$⟨\frac{2\sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}⟩$

أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كلّ مما يأتي، ثم بين ما إذا كانا متعامدين أم لا:

8) $\mathbf{u}=⟨2,-5⟩,\mathbf{v}=⟨-3,2⟩$

16-، غير متعامدين.

9) $\mathbf{u}=⟨4,-3⟩,\mathbf{v}=⟨6,8⟩$

0، متعامدان.

10) $\mathrm{u}=10\mathrm{i}-3\mathrm{j},\mathrm{v}=\mathrm{i}+8\mathrm{j}$

14-، غير متعامدان.

11) اختيار من متعدد: إذا علمت أن $\mathbf{u}=⟨1,3⟩,\mathbf{v}=⟨-4,2⟩$، فأيٌّ مما يأتي يمثل ناتج جمع متجهين متعامدين أحدهما مسقط u علىv؟

$\begin{array}{rl}\mathbf{u}& =⟨\frac{2}{5},-\frac{3}{5}⟩+⟨\frac{3}{5},\frac{18}{5}⟩ \mathbf{A}\\ \mathbf{u}& =⟨\frac{2}{5},\frac{3}{5}⟩+⟨\frac{3}{5},\frac{12}{5}⟩ \mathbf{B}\\ \mathbf{u}& =⟨-\frac{4}{5},\frac{2}{5}⟩+⟨\frac{9}{5},\frac{13}{5}⟩ \mathbf{C}\\ \mathbf{u}& =⟨-\frac{2}{5},\frac{1}{5}⟩+⟨\frac{7}{5},\frac{14}{5}⟩ \mathbf{D}\end{array}$

إذا كان $\mathbf{a}=⟨2,4,-3⟩,\mathbf{b}=⟨-5,-7,1⟩,\mathbf{c}=⟨8,5,-9⟩$، فأوجد كلاً مما يأتي:

12) 2a + 5b - 3c

$⟨-45,-42,26⟩$

13) b - 6a + 2c

$⟨-1,-21,1⟩$

14) بالونات الهواء الساخن: أطلق 12 بالوناً تحوي هواء ساخناً في أحد المهرجانات، وبعد عدة دقائق من الإطلاق، كانت إحداثيات
البالونين الأول والثاني هي: (10 ,15 ,29 -) ,(30 ,25 ,20) كما في الشكل أدناه، علماً بأن الإحداثيات معطاة بالأقدام.

a) أوجد المسافة بين البالونين الأول والثاني في تلك اللحظة.

53.9 ft تقريباً.

b) إذا كان البالون الثالث عند نقطة منتصف المسافة بين البالونين الأول والثاني، فأوجد إحداثياته.

$\left(-\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 2}},20,20\right)$

أوجد الزاوية $\theta$ بين المتجهين u, v في كلّ ممَّا يأتي:

15) $\mathbf{u}=⟨-2,4,6⟩,\mathbf{v}=⟨3,7,12⟩$

27.9° تقريباً.

16) u = -9i + 5j + 11k, v = -5i - 7j - 6k

110.8° تقريباً.

أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u, v في كلّ مما يأتي، ثم بيّن أن u × v يعامد كلاً من u, v:

17) $\mathbf{u}=⟨1,7,3⟩,\mathbf{v}=⟨9,4,11⟩$

$\begin{array}{rl}& ⟨65,16,-59⟩\\ & ⟨65,16,-59⟩\cdot ⟨1,7,3⟩\\ & =65\left(1\right)+16\left(7\right)+(-59)\left(3\right)\\ & =0\\ & ⟨65,16,-59⟩\cdot ⟨9,4,11⟩\\ & =65\left(9\right)+16\left(4\right)+(-59)\left(11\right)\\ & =0\end{array}$

المتجه u×v يعامد كلاً من المتجهين v.

18) u = -6i + 2j - k, v = 5i - 3j - 2k

$\begin{array}{rl}& -7\mathrm{i}-17\mathrm{j}+8\mathrm{k},\\ & ⟨-7,-17,8⟩\cdot ⟨-6,2,-1⟩\\ & =(-7)(-6)+(-17)\left(2\right)+8(-1)\\ & =0\\ & ⟨-7,-17,8⟩\cdot ⟨5,-3,-2⟩\\ & =(-7)\left(5\right)+(-17)(-3)+8(-2)\\ & =0\end{array}$

المتجه u×v يعامد كلاً من المتجهين v.