حل أسئلة تدرب وحل المسائل

1) درجات: يوضح الجدول أدناه نتائج أحد الاختبارات (النهاية العظمى للاختبار 40). حدد ما إذا كانت البيانات تظهر التواءً موجباً، أو التواءً سالباً، أو موزَّعة توزيعاً طبيعياً.

التواءً موجباً.

2) حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول أدناه تظهر التواءً موجباً أو التواءً سالباً، أو موزعة توزيعاً بيانياً.

التواءً موجباً.

3) تتوزع مجموعة بيانات توزيعاً طبيعياً بمتوسط حسابي 161، وانحراف معياري 12، أوجد أن يتم اختيار قيمة ل X عشوائياً من هذا التوزيع، بحيث تكون أقل من 149، أي أوجد (P (X < 149.

16% تقريباً.

إذا توزعت البيانات في الأسئلة 7-4 توزيعاً طبيعياً، وكان المتوسط الحسابي والانحراف المعياري لكل منها كما هو موضح، فأوجد الاحتمال المطلوب.

4) $\mu =74,\sigma =6,P(X>86)$

2.5% تقريباً.

5) $\mu =13,\sigma =0.4,P(X<12.6)$

16% تقريباً.

6) $\mu =63,\sigma =4,P(59<X<71)$

81.5% تقريباً.

7) $\mu =91,\sigma =6,P(73<X<103)$

97% تقريباً.

8) مدارس: أعطى عمران اختباراً قصيراً لطلبته البالغ عددهم (50) وكانت الدرجات موزَّعة توزيعاً طبيعياً بمتوسط حسابي
21 طالباً، وانحراف معياري 2.

a) ما العدد التقريبي للطلاب الذين تقع درجاتهم بين 23 ,19؟

تبعد كل من 23 ,19 انحرافاً معيارياً واحداً عن المتوسط الحسابي؛ لذلك 68% = 34% + 34% من البيانات تقع بين الدرجتين 23 , 19 ولأن 34 =% 50×68، لذا يوجد 34 طالباً تقريباً تقع درجاتهم بين 23 ,19.

b) ما احتمال أن تقع درجة أحد الطلاب بين 17 و25؟

تبعد كل من 25 ,17 عن المتوسط انحرافين معياريين؛ لذلك 13.5% + 34% + 34% + 13.5% = 95% إذن% 95 من البيانات تقع بين الدرجتين 25 ,17، إذن الاحتمال المطلوب يساوي 95% تقريباً.

9) بطاريات سيارة: إذا حدّد عمر بطارية السيارة بالمسافة التي تقطعها باستعمال هذه البطارية، السيارات يتوزَّع توزيعاً طبيعياً بمتوسط حسابي 100000 km، وعلمت أن عمر أحد أنواع بطاريات وانحراف معياري 10000 km. وتنتج إحدى الشركات 20000 بطارية في الشهر، فأجب عما يأتي:

a) ما العدد التقريبي للبطاريات التي يتراوح عمرها بين 110000km-90000km؟

13600

b) ما العدد التقريبي للبطاريات التي يزيد عمرها على 120000 km؟

500

c) ما العدد التقريبي للبطاريات التي يقلُّ عمرها عن 90000 km؟

3200

d) ما احتمال أن تشتري بطارية عشوائياً، ويتراوح عمرها بين 110000km-80000km؟

81.5% تقريباً.

10) صحة: يتوزَّع مستوى الدهنيات (الكولسترول) في فئة الشباب الذكور في إحدى الدول توزيعاً طبيعياً بمتوسط حسابي 158.3، وانحراف معياري 6.6.

a) ما احتمال أن تقل نسبة الكولسترول عند الشباب الذكور عن 151.7؟

16% تقريباً.

b) كم شخصاً تقريباً من بين 900 شخص شملتهم الدراسة يتراوح مستوى الكولسترول عندهم بين 171.5 - 145.1؟

855

11) طعام: تتوزَّع مدة صلاحية نوع معين من البطاطس توزيعاً طبيعياً بمتوسط حسابي 180 يوماً، وانحراف معياري 30 يوماً.

a) ما احتمال أن تقع مدة صلاحية المنتج بين 150 يوماً، 210 أيام؟

68% تقريباً.

b) ما احتمال أن تقع مدة صلاحية المنتج بين 180 يوماً، 210 أيام؟

34% تقريباً.

c) ما احتمال أن تقل مدة صلاحية المنتج عن 90 يوماً؟

0.5% تقريباً.

d) ما احتمال أن تزيد مدة صلاحية المنتج على 210 أيام؟

16% تقريباً.

12) طول: تتوزع أطوال 880 طالباً في إحدى الجامعات توزيعاً طبيعياً بمتوسط حسابي مقداره 67in، وانحراف معياري مقداره 2.5in.

a) كم طالباً تقريباً يزيد طوله على 72in؟

22 طالباً تقريباً.

b) ما احتمال أن تقع أطوال الطلاب بين 59.5in و69.5in؟

83.5% تقريباً.

13) صناعة: تستعمل آلة لتعبئة عبوات بالمياه المعدنية، وتختلف كمية الماء اختلافاً ضئيلاً بين العبوات، إذا كان حجم الماء في
120 عبوة يتبع توزيعاً طبيعياً بمتوسط حسابي 1.1L، وانحراف معياري 0.02 L، فأجب عما يأتي:

a) كم عبوة تقريباً يكون حجم الماء فيها أقل من 1.06L؟

3 عبوات تقريباً.

b) ما احتمال أن يكون حجم الماء في العبوات بين 1.08L و1.14L؟

81.5% تقريباً.