حل أسئلة تدرب وحل المسائل

٨) تسوق: يريد شراء حاسوب ثمنه ٢١٩٥ ريالاً وعدد من البرمجيات التعليمية ثمن الواحدة ٥٠ ريالاً، فإذا كان معه ٢٥٠٠ ريال، فاكتب متباينة لإيجاد أكبر عدد من البرمجيات يمكن أن يشتريها، ثم حلها، وفسر إجابتك.

٢١٩٥ + ٥٠س $\le$ ٢٥٠٠

٥٠س $\le$ ٣٠٥

س $\le$ ٦,١

إذاً يمكنه أن يشتري ٦ برمجيات على الأكثر.

حل كلاً من المتباينتين الآتيتين، وتحقق من صحة الحل:

٩) ٣٧ < ٧ - ١٠ د

٣٧ - ٧ < ٧ - ٧ - ١٠د

٣٠ < - ١٠د

د < - ٣

مجموعة الحل: {د | د < - ٣}

التحقق: ٧ - ١٠ × -٤ = ٤٧ أي أكبر من ٣٧

١٠) -$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$ ص + ٦ < ١٢

-$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$ ص + ٦ - ٦ < ١٢ - ٦

-$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$ ص < ٦

(-$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$)(-$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$) ص > ٦(-$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$)

ص > - $\frac{\mathrm{٢٤}}{\mathrm{٥}}$

مجموعة الحل: {ص | ص - $\frac{\mathrm{٢٤}}{\mathrm{٥}}$}

التحقق: -$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$ × ٠ + ٦ = ٦ أصغر من ١٢

عرف المتغير، واكتب المتباينة وحلها، ثم تحقق من صحة الحل:

١١) ثلاثة أرباع عدد ناقص تسعة يساوي على الأقل اثنين وأربعين.

المتغير هو العدد س

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$س - ٩ $\ge$ ٤٢

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$س - ٩ + ٩ $\ge$ ٤٢ + ٩

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$س $\ge$ ٥١

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$ × $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$س $\ge$ ٥١ × $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$

س $\ge$ ٦٨

مجموعة الحل: {س | س $\ge$ ٦٨}

١٢) عشرة لا تزيد على ٤ أمثال مجموع مثلي عدد مع ثلاثة.

١٠ $\le$ ٤(٢ن + ٣)

١٠ $\le$ ٨ن + ١٢

١٠ - ١٢ $\le$ ٨ن + ١٢ - ١٢

-٢ $\le$ ٨ن

- $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ $\le$ ن

مجموعة الحل: {ن | ن $\ge$ - $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$},

١٣) ثلاثة أمثال مجموع عدد مع سبعة أكبر من خمسة أمثال ذلك العدد ناقص ثلاثة عشر.

٣(ن + ٧) > ٥ن - ١٣

٣ن + ٢١ > ٥ن - ١٣

٥ن - ٣ن < ٢١ + ١٣

٢ن < ٣٤

ن < ١٧

مجموعة الحل: {ن | ن < ١٧}

حل كلاً من المتباينتين الآتيتين، وتحقق من صحة الحل:

١٤) -٣(٧ن + ٣) < ٦ن

-٢١ن + ٦ن > ٦ن

٢١ن + ٦ن > - ٩

٢٧ن > - ٩

ن > -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

مجموعة الحل: {ن | ن > -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$}

التحقق:

-٣(٧ × ١ + ٣) < ٦ × ١

- ٣٠ < ٦ العبارة صحيحة.

١٥) ٣(٢ - ب) < ١٠ - ٣(ب - ٦)

٦ - ٣ب < ١٠ - ٣ب + ١٨

٦ < ٢٨ العبارة صحيحة؟

مجموعة الحل: {ب | ب عدد حقيقي}

التحقق:

٣( ٢ - ١) < ١٠ - ٣( ١ - ٦)

٣ < ٢٥ العبارة صحيحة.

١٦) حل المتباينة: ٦(م - ٣) > ٥(٢م + ٤)، موضحاً كل خطوة مع التبرير.

٦(م - ٣) > ٥(٢م + ٤)

٦م - ١٨ > ١٠م + ٢٠

٦م - ٦م - ١٨ > ١٠م - ٦م + ٢٠

-١٨ > ٤م + ٢٠

-١٨ -٢٠ > ٤م + ٢٠ - ٢٠

-٣٨ > ٤م

-٩,٥ > م

مجموعة الحل: {م | م < - ٩,٥}.

١٧) علوم: درجة حرارة جسم الجمل الطبيعية ٩٧,٧° ف في الصباح، وإذا لم يشرب حتى الظهر ترتفع درجة حرارته إلى أكثر من ١٠٤° ف، اكتب متباينة تمثل درجة حرارة جسم الجمل عند الظهر إذا لم يشرب ماء بكل من درجتي الحرارة الفهرنهايتية (ف)، والسيليزية (س)، علماً بأن ف = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٥}}$س + ٣٢

ف > ١٠٤ متباينة درجة الحرارة الفهرنهايتية.

ف = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٥}}$س + ٣٢

٧٢= $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٥}}$ س

٣٦٠ = ٩س

س = ٤٠

س > ٤٠ متباينة الحرارة السليزية.

١٨) هدايا: يريد حسن أن يشتري هدية لولدته بمبلغ لا يقل عن ٥٠٠ ريال، ويملك الآن ٣٨٠ ريالاً، ويمكنه توفير ١٠ ريالات يومياً،

أ) اكتب متباينة لإيجاد عدد الأيام اللازمة ليحقق هدفه، ثم حلها،

٣٨٠ + ١٠ن $\ge$ ٥٠٠

٣٨٠ - ٣٨٠ + ١٠ن $\ge$ ٥٠٠ - ٣٨٠

١٠ن $\ge$ ١٢٠

ن $\ge$ ١٢

مجموعة الحل: {ن | ن $\ge$ ١٢}

ب) مثل مجموعة الحل بيانياً.

١٩) تمثيلات متعددة: سوف تحل في هذه المسألة المتباينات المركبة، مثل التي يكون فيها العدد س أكبر من ٤، وأقل من ٩.

أ) عددياً: اكتب متباينتين منفصلتين لهذه العبارة.

س > ٤، س < ٩

ب) بيانياً: مثل مجموعة حل المتباينة الأولى باللون الأحمر، ومجموعة حل المتباينة الثانية باللون الأزرق، وظلل بالقلم الفسفوري جزء التمثيل البياني الذي يتداخل فيه اللونان.

جـ) جدولياً: أنشئ جدولاً باستعمال عشر نقاط من خط الأعداد الذي مثلته متضمنة أعداداً من الجزأين، استعمل عموداً لكل متباينة وعموداً ثالثاً بعنوان ((حل مشترك))، واملاً الجدول بكتابة ((صح)) أو ((خطأ)).

د) لفظياً: صف العلاقة بين الأجزاء الملونة في التمثيل البياني والجدول.

النقاط التي تجعل المتباينة س > ٤ صحيحة تقع في المنطقة الحمراء والنقاط التي تجعل المتباينة س < ٩ صحيحة في المنطقة الزرقاء وبالتالي النقاط التي تجعل المتباينة ٤ < س < ٩ صحيحة تقع في المنطقة المظللة بالقلم الفسفوري.

هـ) منطقياً: ماذا تتوقع أن يكون التمثيل البياني للمتباينة ٤ < س < ٩؟

سيكون التمثيل هو الجزء المظلل بالقلم الفسفوري من خط الأعداد.

عرف المتغير في المسألة الآتية، واكتب المتباينة، ثم حلها، وفسر إجابتك:

٢٠) حيوانات: كتلة حصان ٤١٤ كجم، وكتلته الطبيعية أقل من ٣٩٠ كجم، ويمكن أن يفقد من كتلته ٣ كجم في الأسبوع باستعمال برنامج غذائي معين، فكم أسبوعاً يلزم ليصل إلى كتلته الطبيعية؟

المتغير س هو عدد الأسابيع اللازمة ليعود الحصان إلى الوزن الطبيعي

٤١٤ - ٣أ < ٣٩٠

٤١٤ - ٣٩٠ < ٣أ

٢٤ < ٣أ

٨ < أ

مجموعة الحل: {أ | أ > ٨}

إذن بحاجة إلى أكثر من ٨ أسابيع ليعود للوزن الطبيعي.

٢١) نظرية الأعداد: أوجد جميع المجموعات المكونة من ثلاثة أعداد صحيحة زوجية موجبة متتالية لا يزيد مجموعها على ٣٦.

مجموعات الأعداد هي: (٢، ٤، ٦)، (٤، ٦، ٨)، (٦، ٨، ١٠)، (٨، ١٠، ١٢)، (١٠، ١٢، ١٤)

حل كلاً من المتباينات الآتية، وتحقق من صحة الحل:

٢٢) ٢(س - ٤) $\le$ ٢ + ٣(س - ٦)

٢س - ٨ $\le$ ٢ + ٣س - ١٨

٢س - ٨ $\le$ ٣س - ١٦

١٦ - ٨ $\le$ ٣س - س

٨ $\le$س

مجموعة الحل: {س | س $\ge$ ٨}.

التحقق:

٢( ٩ - ٤) $\le$ ٢ + ٣(٩ - ٦)

١٠ $\le$١١ العبارة صحيحة.

٢٣) ١٣س - ١١ $\le$ ٧س + ٣٧

١٣س - ٧س $\le$ ٣٧ + ١١

٦س $\le$ ٤٨

س $\le$ ٨

مجموعة الحل: {س | س $\le$ ٨}

التحقق:

١٣ × ١ - ١١ $\le$ ٧ × ١ + ٣٧

٢ $\le$ ٤٤ العبارة صحيحة.

٢٤) ٥,٦ع + ١,٥ < ٢,٥ع - ٤,٧

٥,٦ع - ٢,٥ع < - ٤,٧ - ١,٥

٣,١ع < - ٦,٢

٣١ع < - ٦٢

ع < - ٢

مجموعة الحل: {ع | ع < - ٢}

التحقق:

٥,٦ × (-٣) + ١,٥ < ٢,٥(-٣) - ٤,٧

-١٥,٣ < ٢,٨ العبارة صحيحة.

٢٥) ٢س - $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ $\ge$ س - ٢٢

٢س - س $\ge$ س + $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

س $\ge$ - $\frac{\mathrm{٦٤}}{\mathrm{٣}}$

مجموعة الحل: {س | س $\ge$ - $\frac{\mathrm{٦٤}}{\mathrm{٣}}$}

٢٦) تبرير: اشرح كيف يمكن أن تحل المتباينة: - ٣ ف+ ٧ $\ge$ - ٢ دون أن تضرب كلا الطرفين في عدد سالب أو تقسمهما عليه.

أضف ٣ف، ٢إلى كل طرف فتصبح المتباينة ٩ $\ge$٣ف ثم اقسم كل طرف على ٣ لتحصل على ٣ $\ge$ ف.

٢٧) تحد: إذا كان للمتباينة أ س + ب < أ س + جـ عدد لا نهائي من الحلول، فما مجموعة حل المتباينة أ س + ب > أ س + جـ؟ وضح الطريقة التي عرفت بها الإجابة.

$\varnothing$؛ إذا كانت المتباينة الأولى صحيحة دائماً، فعكسها خطأ دائماً.

٢٨) مسألة مفتوحة: اكتب متباينتين مختلفتين تحلان بخطوات متعددة ولهما التمثيل البياني نفسه.

٢س + ٤ > ٢ و ٣س + ١ > -٢

كلتاهما لهما التمثيل البياني نفسه س > -١.

٢٩) حدد المتباينة التي تختلف عن المتباينات الثلاث الأخرى. وفسر إجابتك.

٤ص + ٩ > - ٣

إنها المتباينة الوحيدة من بين المتباينات الأربع التي مجموعة حلها ليست {ص | ص > ٣}

٣٠) اكتب: اشرح متى تكون مجموعة حل المتباينة المجموعة الخالية أو مجموعة كل الأعداد الحقيقية، وأعط مثالاً على كل حالة.

المجموعة الخالية: هي مجموعة حل المتباينة التي نتيجتها عبارة خطأ كما في ١٢ < - ١٥، أما المتباينة تبقى صحيحة مهما كانت قيمة س فتكون مجموعة حلها هي مجموعة الأعداد الحقيقية كما في ١٢ $\le$ ١٢.

٣١) ما مجموعة حل المتباينة: ٤ت + ٢ < ٨ت -(٦ت - ١٠)؟

أ) {ت | ت < - ٦,٥}

ب) {ت | ت > - ٦,٥}

جـ) {ت | ت < ٤}

د) {ت | ت > ٤}

٣٢) إجابة قصيرة: تلقى ماجد ٧٢ ريالاً مقابل ٤ساعات عمل، فكم ساعة يعمل بهذا المعدل، حتى يحصل على ١١٧٠ ريالاً؟

$\frac{س}{\mathrm{١١٧٠}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٧٢}}$

٧٢س = ٤٦٨٠

س = ٦٥ ساعة.