حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد ما إذا كان كل زوج من أزواج المضلعات الآتية متشابهاً، ووضح إجابتك.

٥)

بما أن الشكلين مستطيلان فجميع زواياهما قائمة وبالتالي الزوايا المتقابلة متساوية.

نختبر هل الأضلاع المتقابلة متناسبة أم لا:

$\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٤}}$ = ٢، $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٣}}\leftarrow$ بما أن أبسط صورة للنسبتين السابقتين غير متكافئة فالمستطيلان غير متشابهان.

٦)

الزوايا المتقابلة متساوية بحسب الشكل المرسوم.

كل مضلع من المضلعين متساوي الأضلاع $\leftarrow$ نسب الأضلاع متساوية وتساوي $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}\leftarrow$ فالشكلان متشابهان.

٧)

الزوايا المتقابلة متساوية بحسب الشكل المرسوم.

نختبر هل الأضلاع المتقابلة متناسبة أم لا:

$\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{١٥}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}،\frac{\mathrm{٢٤}}{\mathrm{١٨}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}،\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{١٢}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}\leftarrow$ بما أن أبسط صورة للنسب السابقة متكافئة فالمثلثان متشابهان.

٨)

بما أن الشكلين مستطيلان فجميع زواياهما قائمة وبالتالي الزوايا المتقابلة متساوية.

نختبر هل الأضلاع المتقابلة متناسبة أم لا:

$\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}،\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}\leftarrow$بما أن أبسط صورة للنسبتين السابقتين غير متكافئة فالمستطيلان غير متشابهان.

إذا كان كل زوج من المضلعات الآتية متشابهاً، فاكتب تناسباً وحله لإيجاد القياس الناقص.

٩)

$\frac{\mathrm{٨}}{س}=\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٢}}\leftarrow$س = $\frac{\mathrm{٨} \times \mathrm{٣}}{\mathrm{١٢}}$ = ٢

١٠)

$\frac{\mathrm{٨},\mathrm{٤}}{س}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٠}}\leftarrow$ س = $\frac{\mathrm{٨},\mathrm{٤} \times \mathrm{١٠}}{\mathrm{٨}}$ = ٦

١١)

$\frac{\mathrm{١٠}}{س}=\frac{\mathrm{٥},\mathrm{١٤}}{\mathrm{٢٩}}\leftarrow$ س = $\frac{\mathrm{١٠} \times \mathrm{٢٩}}{\mathrm{٥},\mathrm{١٤}}$ = ٢٠

١٢)

$\frac{\mathrm{٢٦}}{س}=\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٥},\mathrm{٧}}\leftarrow$ س = $\frac{\mathrm{٢٦} \times \mathrm{٥},\mathrm{٧}}{\mathrm{٥},\mathrm{١٤}}$ = ١٦,٢٥

١٣) قياس: إذا كان محيط المربع أ يساوي ٢٨ وحدة ومحيط المربع ب يساوي ٤٢ وحدة، فما عامل المقياس بين المربعين؟

عامل المقياس = $\frac{\mathrm{٤٢}}{\mathrm{٢٨}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ اي أن محيط المثلث ب يعادل $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ من المثلث أ

١٤) علم الحياة: إذا كان عامل المقياس من نموذج الأذن الداخلية للإنسان إلى الأذن الحقيقية يساوي ٢:٥٥، وكان طول إحدى العظام المقابلة لها في أذن الإنسان؟

نكتب تناسب ونحله بحيث ط يمثل طول العظمة في أذن الإنسان.

$\frac{\mathrm{النموذج}}{\mathrm{الأذن} \mathrm{الداخلية}}\leftarrow \frac{\mathrm{٥٥}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٢٥},\mathrm{٨}}{ط}\leftarrow$ ط = $\frac{\mathrm{٢} \times \mathrm{٢٥},\mathrm{٨}}{\mathrm{٥٥}}$ = ٠,٣ سم.

أي إذا كان طول العظمة في النموذج ٨,٢٥ فإن طولها في الإذن الحقيقية ٠,٣ سم.

١٥) تحد: افترض أن مستطيلين متشابهان بعامل مقياس مقداره ٢، فما النسبة بين مساحتيهما؟ وضح إجابتك.

عامل المقياس = $\frac{\mathrm{طول} \mathrm{المثلث} \mathrm{الأول}}{\mathrm{طول} \mathrm{المثلث} \mathrm{الثاني}}=\frac{\mathrm{عرض} \mathrm{المثلث} \mathrm{الأول}}{\mathrm{عرض} \mathrm{المثلث} \mathrm{الثاني}}$

$\frac{\mathrm{مساحة} \mathrm{المثلث} \mathrm{الأول}}{\mathrm{مساحة} \mathrm{المثلث} \mathrm{الثاني}}=\frac{\mathrm{طول} \mathrm{المثلث} \mathrm{الأول} \times \mathrm{عرض} \mathrm{المثلث} \mathrm{الثاني}}{\mathrm{طول} \mathrm{المثلث} \mathrm{الثاني} \times \mathrm{عرض} \mathrm{المثلث} \mathrm{الثاني}}$ = $\frac{\mathrm{طول} \mathrm{المثلث} \mathrm{الأول}}{\mathrm{طول} \mathrm{المثلث} \mathrm{الأول}}=\frac{\mathrm{عرض} \mathrm{المثلث} \mathrm{الأول}}{\mathrm{عرض} \mathrm{المثلث} \mathrm{الثاني}}$ $\leftarrow$

$\frac{\mathrm{مساحة} \mathrm{المثلث} \mathrm{الأول}}{\mathrm{مساحة} \mathrm{المثلث} \mathrm{الثاني}}$ = عامل المقياس × عامل المقياس = (عامل المقياس)^٢ = ^٢٢ = ٤

نسبة مساحتي مستطيلين متشابهين يعادل مربع عامل المقياس.

اكتب حدد ما إذا كانت كل عبارة مما يأتي صحيحة دائماً أم أحياناً أم غير صحيحة أبداً، ووضح إجابتك.

١٦) كل مستطيلين متشابهان.

صحيحة أحياناً ففي المثال التالي نجد أن الزوايا متساوية ولكن نسب الأضلاع المتقابلة غير متساوية وبالتالي ليسا متشابهين.

$\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٤}}$ $\ne$$\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٣}}$

١٧) كل مربعين متشابهان.

صحيحة دائماً وذلك لأن جميع الزوايا المتقابلة متساوية لأنها كلها قائمة ونسب جميع الأضلاع المتقابلة متساوية لأن أضلاع المربع متساوية الطول فنسبة أي ضلع على مقابله ستكون لنسب أي ضلع آخر مع مقابله.

١٨) إذا كان $△$ أ ب جـ $~$ $△$ س ص ع فما طول ص ع؟

أ) $\frac{\mathbf{١}}{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{١٣}$ سم.

ب) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢٢}$ سم.

جـ) ٢٤ سم.

د) ٥,٢٥ سم.

$\frac{\mathrm{١٨}}{ص ع}=\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{٢٧}}\leftarrow$ ص ع = $\frac{\mathrm{١٨} \times \mathrm{٢٧}}{\mathrm{٣٦}}$ = ١٣,٥

١٩) إذا كان المضلع أ ب جـ د يشابه المضلع ف ر و ش، وكان محيط المضلع أ ب جـ د يساوي ٥٤ م، فما محيط المضلع ف ر و ش؟

أ) ١٣,٥ م

ب) ٢٤ م

جـ) ٢٧ م

د) ٣٦ م

$\frac{\mathrm{٥٤}}{ر ف وش}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٤}}\leftarrow$ محيط ر ف و ش = $\frac{\mathrm{٥٤} \times \mathrm{٤}}{\mathrm{٦}}$ = ٦