تدرب وحل المسائل

هل يمكن إثبات أن أياً من مستقيمات الشكل متوازية، اعتماداً على المعطيات في كلّ مما يأتي؟ وإذا كان أيها متوازياً، فاذكر المسلمة أو النظرية التي تبرر إجابتك.

7) $\mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }2$

$r\parallel s$، عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين.

8) $\mathrm{\angle }2\cong \mathrm{\angle }9$

$u\parallel v$، عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجياً.

9) $m\mathrm{\angle }7+m\mathrm{\angle }8={180}^{\circ }$

$r\parallel s$، عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين.

10) $m\mathrm{\angle }3+m\mathrm{\angle }6={180}^{\circ }$

$u\parallel v$، عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين.

11) $\mathrm{\angle }3\cong \mathrm{\angle }7$

لا يمكن إثبات التوازي اعتماداً على هذا المعطى.

12) $\mathrm{\angle }4\cong \mathrm{\angle }5$

$r\parallel s$، عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين.

13) حدائق: لبناء سياج حول حديقة المنزل، ثبَّت سعود دعامات السياج، ووضع ألواحاً خشبية تميل بزاوية مع كلّ من دعامتي السياج، وعند تثبيته أوتاد السياج، حرص على أن تكون الزوايا بين الألواح الخشبية والأوتاد متساوية القياس، لماذا يجعل هذا الأوتاد متوازية؟

عندما يقيس سعود الزاوية الحادة التي يصنعها كل وتد في السياج مع لوح الخشب، فإنه يقيس زوايا متناظرة، وعندما تكون جميع الزوايا المتناظرة متطابقة، فإن الأوتاد يجب أن تكون متوازية.

14) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين للنظرية 2.6.

المعطيات:

• $\mathrm{\angle }1,\mathrm{\angle }2$ متحالفتان.
• $\mathrm{\angle }1,\mathrm{\angle }2$ متكاملتان.

المطلوب:

$\ell \parallel m$

البرهان:

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين لكلّ مما يأتي:

15)

• المعطيات: $\begin{array}{rl}& \mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }3\\ & \overline{AC}\parallel \overline{BD}\end{array}$
• المطلوب: $\overline{AB}\parallel \overline{CD}$

البرهان:

16)

• المعطيات: $$\begin{gathered} \mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }2 \\ \overline{LJ}\perp \overline{ML} \end{gathered}$$
• المطلوب: $\overline{KM}\perp \overline{ML}$

البرهان:

اكتب برهاناً حراً لكلّ من النظريتين الآتيتين:

17) النظرية 2.7

• المعطيات: $\mathrm{\angle }8\cong \mathrm{\angle }6$
• المطلوب: $p\parallel q$

البرهان:

$\mathrm{\angle }8\cong \mathrm{\angle }6$ معطى، $\mathrm{\angle }6\cong \mathrm{\angle }4$ لأنهما متقابلتان بالرأس، ومن ذلك $\mathrm{\angle }8\cong \mathrm{\angle }4$ باستعمال خاصية التعدي، وبما أن $\mathrm{\angle }8 و \mathrm{\angle }4$ زاويتان متناظرتان ومتطابقتان، فإن $p\parallel q$.

18) النظرية 2.8

• المعطيات: $p\perp r,q\perp r$
• المطلوب: $p\parallel q$

البرهان:

بما أن $p\perp r,q\perp r$، فإن قياس كلّ من $\mathrm{\angle }2 و \mathrm{\angle }1$ يساوي °90، وبما أن $\mathrm{\angle }2 و \mathrm{\angle }1$ لهما القياس نفسه، فإنهما متطابقتان، وبحسب عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين يكون $p\parallel q$.

19) درج: ما العلاقة بين حوافّ أسطح الدرجات في الشكل المجاور؟ برر إجابتك.

حواف أسطح الدرجات متوازية؛ لأن الزاويتين المتناظرتين متطابقتان.

حدد ما إذا كان المستقيمان r, s متوازيين أم لا في كلّ مما يأتي، برر إجابتك.

20)

$r\parallel s$، إجابة ممكنة: ${32}^{\circ }+{32}^{\circ }={64}^{\circ }$، إذن الزاويتان المتناظرتان متطابقتان؛ لذا فإن المستقيمين متوازيان.

21)

$r\parallel s$، إجابة ممكنة: بما أن 41+57=23+75=98، إذن الزاويتان المتبادلتان خارجياً متطابقتان؛ لذا فإن المستقيمين متوازيان.

22)

$r\parallel s$، إجابة ممكنة: بما أن 92=65+27، إذن الزاويتان المتبادلتان خارجياً متطابقتان؛ لذا فإن المستقيمين متوازيان.

23) تمثيلات متعددة: سوف تستكشف في هذه المسألة أقصر مسافة بين مستقيمين متوازيين.

a) هندسياً: ارسم ثلاثة أزواج من المستقيمات المتوازية l, k, t, s, y, x، وارسم أقصر قطعة مستقيمة $\overline{BC}$ بين كل مستقيمين متوازيين، وعيّن النقطتين A, D كما في الشكل أدناه.

b) جدولياً: قس $\mathrm{\angle }BCD,\mathrm{\angle }ABC$ في كل زوج، ثم أكمل الجدول.

c) لفظياً: ضع تخميناً حول الزاوية بين أقصر قطعة مستقيمة وكلّ من المستقيمين المتوازيين.

إجابة ممكنة: قياس الزاوية التي تكونها القطعة المستقيمة مع المستقيمين المتوازيين °90.