استعمل الشكل المجاور الذي يمثل عمودي كهرباء وظلَّيهما لكتابة برهان حرّ يبيّن أن $\overline{BC}\cong \overline{DE}$.

من المعطيات نعلم أن:

$\overline{BC}\perp \overline{AC}$ ، $\overline{DE}\perp \overline{FE},\mathrm{\angle }BAC\cong \mathrm{\angle }DFE$ ، $\overline{AC}\cong \overline{FE}$ .

بما أن $\overline{BC}\perp \overline{AC},\overline{DE}\perp \overline{FE}$ إذاً كل من $\mathrm{\angle }DEF,\mathrm{\angle }BCA$ قائمتان.

$\mathrm{\angle }BCA\cong \mathrm{\angle }DEF$ لأن جميع الزوايا القائمة متطابقة، وبحسب المسلمة ASA فإن $\mathrm{△}BAC\cong \mathrm{△}DFE$ .

لذا $\overline{BC}\cong \overline{DE}$ لأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة.

تحقق من فهمك

1) اكتب برهاناً حراً.

• المعطيات: $\overline{ZX}$ تنصف $\overline{XZ}،\mathrm{\angle }WZY$ تنصف $\angle YXW$.
• المطلوب: $\mathrm{△}WXZ\cong \mathrm{△}YXZ$

البرهان:

• بما أن $\overline{ZX}$ تنصف $\mathrm{\angle }WZY$ إذاً $\mathrm{\angle }WZX\cong \mathrm{\angle }YZX$ من تعريف منصف الزاوية.
• وكذلك $\overline{ZX}$ تنصف $\angle YXW$، إذاً $\mathrm{\angle }WXZ\cong \mathrm{\angle }YXZ$ من تعريف منصف الزاوية، وبما أن $\overline{ZX}\cong \overline{ZX}$ من خاصية الانعكاس للتطابق، فإن $\mathrm{△}WXZ\cong \mathrm{△}YXZ$ بحسب المسلمة ASA.

2) اكتب برهاناً تسلسلياً.

• المعطيات: $\overline{RQ}\cong \overline{ST},\overline{RQ}\parallel \overline{ST}$
• المطلوب: $\mathrm{△}RUQ\cong \mathrm{△}TUS$

البرهان:

3) استعمل الشكل المجاور الذي يمثل عمودي كهرباء وظلَّيهما لكتابة برهان حرّ يبيّن أن $\overline{BC}\cong \overline{DE}$.

من المعطيات نعلم أن:

$\overline{BC}\perp \overline{AC}$، $\overline{DE}\perp \overline{FE},\mathrm{\angle }BAC\cong \mathrm{\angle }DFE$، $\overline{AC}\cong \overline{FE}$.

بما أن $\overline{BC}\perp \overline{AC},\overline{DE}\perp \overline{FE}$ إذاً كل من $\mathrm{\angle }DEF,\mathrm{\angle }BCA$ قائمتان.

$\mathrm{\angle }BCA\cong \mathrm{\angle }DEF$ لأن جميع الزوايا القائمة متطابقة، وبحسب المسلمة ASA فإن $\mathrm{△}BAC\cong \mathrm{△}DFE$.

لذا $\overline{BC}\cong \overline{DE}$ لأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة.