اكتب برهاناً حراً.

المعطيات: $\mathrm{△}HJM$ متطابق الضلعين، $\mathrm{△}HKL$ متطابق الأضلاع.

المطلوب: إثبات أن $\mathrm{\angle }JHK\cong \mathrm{\angle }MHL$

البرهان: نعلم أن $\mathrm{△}HJM$ متطابق الضلعين، $\mathrm{△}HKL$ متطابق الأضلاع.

$\mathrm{\angle }JKH,\mathrm{\angle }HKL$ متكاملتان و$\mathrm{\angle }HLK,\mathrm{\angle }MLH$ متكاملتان.

ومن نظرية المثلث المتطابق الضلعين نعلم أن $.\mathrm{\angle }HJK\cong \mathrm{\angle }HML$

وبما أن $\mathrm{△}HKL$ متطابق الأضلاع، إذاً $\mathrm{\angle }HLK\cong \mathrm{\angle }LKH\cong \mathrm{\angle }KHL$.

$\overline{H}\overline{L}\cong \overline{KL}\cong \overline{HK}$

$\mathrm{\angle }JKH,\mathrm{\angle }HKL$ متكاملتان و$\mathrm{\angle }HLK,\mathrm{\angle }\mathrm{MLH}$ متكاملتان وبما أن $\mathrm{\angle }HKL\cong \mathrm{\angle }HLK$ فإن $\mathrm{\angle }MLH\cong \mathrm{\angle }JKH$ بحسب نظرية الزاوية المكملة لزاويتين متطابقتين، وبحسب AAS فإن $\mathrm{△}JHK\cong \mathrm{△}MHL$، ولأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة، إذاً $\mathrm{\angle }JHK\cong \mathrm{\angle }MHL$.

تدرب وحل المسائل

باستعمال الشكل المجاور أجب عن الأسئلة 11-8:

8) إذا كان $\overline{AB}\cong \overline{AE}$، فسم زاويتين متطابقتين.

$\mathrm{\angle }ABE,\mathrm{\angle }AEB$

9) إذا كانت $\mathrm{\angle }ABF\cong \mathrm{\angle }AFB$، فسم قطعتين مستقيمتين متطابقتين.

$\overline{AB},\overline{AF}$

10) إذا كانت $\overline{CA}\cong \overline{DA}$، فسم زاويتين متطابقتين.

$\mathrm{\angle }ACD,\mathrm{\angle }ADC$

11) إذا كانت $\mathrm{\angle }DAE\cong \mathrm{\angle }DEA$، فسم قطعتين مستقيمتين متطابقتين.

$\overline{AD},\overline{DE}$

أوجد كلاً من القياسين الآتيين:

12) $m\mathrm{\angle }BAC$

60°

13) TR

4

جبر: أوجد قيمة المتغير في كلّ من السؤالين الآتيين:

14)

$\begin{array}{rl}& 6x-9=2x+11\\ & 6x-2x=11+9\\ & 4x=20\\ & x=5\end{array}$

15)

$\begin{array}{rl}& \because HG=HE\\ & \therefore \mathrm{\angle }E=\mathrm{\angle }G={45}^{\circ }\\ & 3x+6=45\\ & 3x=39\\ & x=13\end{array}$

برهان: اكتب برهاناً حراً.

16) المعطيات: $\mathrm{△}HJM$ متطابق الضلعين، $\mathrm{△}HKL$ متطابق الأضلاع.

المطلوب: إثبات أن $\mathrm{\angle }JHK\cong \mathrm{\angle }MHL$

البرهان: نعلم أن $\mathrm{△}HJM$ متطابق الضلعين، $\mathrm{△}HKL$ متطابق الأضلاع.

$\mathrm{\angle }JKH,\mathrm{\angle }HKL$ متكاملتان و$\mathrm{\angle }HLK,\mathrm{\angle }MLH$ متكاملتان.

ومن نظرية المثلث المتطابق الضلعين نعلم أن $.\mathrm{\angle }HJK\cong \mathrm{\angle }HML$

وبما أن $\mathrm{△}HKL$ متطابق الأضلاع، إذاً $\mathrm{\angle }HLK\cong \mathrm{\angle }LKH\cong \mathrm{\angle }KHL$.

$\overline{H}\overline{L}\cong \overline{KL}\cong \overline{HK}$

$\mathrm{\angle }JKH,\mathrm{\angle }HKL$ متكاملتان و$\mathrm{\angle }HLK,\mathrm{\angle }\mathrm{MLH}$ متكاملتان وبما أن $\mathrm{\angle }HKL\cong \mathrm{\angle }HLK$ فإن $\mathrm{\angle }MLH\cong \mathrm{\angle }JKH$ بحسب نظرية الزاوية المكملة لزاويتين متطابقتين، وبحسب AAS فإن $\mathrm{△}JHK\cong \mathrm{△}MHL$، ولأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة، إذاً $\mathrm{\angle }JHK\cong \mathrm{\angle }MHL$.

17) حدائق: اصطحب خالد أخاه الأصغر إلى حديقة الحي، فلاحظ أن دعائم الأرجوحة الموجودة في الحديقة تشكل مجموعتين من المثلثات، وأن $\overline{AB}\cong \overline{AC}$ ولكن $\overline{BC}\not\approx \overline{AB}$.

a) إذا قدر خالد أن $m\mathrm{\angle }BAC={50}^{\circ }$، فما قيمة $m\mathrm{\angle }ABC$، وفقاً هذا التقدير؟ وضح إجابتك.

65°، بما أن $\mathrm{△}ABC$ متطابق الضلعين: إذاً $\mathrm{\angle }ABC\cong \mathrm{\angle }ACB$ لذا 130=50-180، 65=2÷130.

b) إذا كان $\overline{BE}\cong \overline{CD}$، فبين أن $\mathrm{△}AED$ متطابق الضلعين.

c) إذا كان $\overline{BC}\parallel \overline{ED},\overline{ED}\cong \overline{AD}$، فبين أن $\mathrm{△}AED$ متطابق الأضلاع.

أوجد كلاً من القياسات الآتية:

18) $m\mathrm{\angle }CAD$

44°

19) $m\mathrm{\angle }ACD$

44°

20) $m\mathrm{\angle }ACB$

136°

21) $m\mathrm{\angle }ABC$

22°

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين لكل نتيجة أو نظرية مما يأتي:

22) النتيجة 3.3

الحالة الأولى:

• المعطيات: $\mathrm{△}ABC$ متطابق الأضلاع.
• المطلوب: $\mathrm{△}ABC$ متطابق الزوايا.

البرهان:

الحالة الثانية:

• المعطيات: $\mathrm{△}ABC$ متطابق الزوايا.
• المطلوب: $\mathrm{△}ABC$ متطابق الأضلاع.

البرهان:

23) النتيجة 3.4

المعطيات: $\mathrm{△}ABC$ متطابق الأضلاع.

المطلوب: $m\mathrm{\angle }A=m\mathrm{\angle }B=m\mathrm{\angle }C={60}^{\circ }$

البرهان:

24) النتيجة 3.11

• المعطيات: $\mathrm{△}ABC$ فيه $\mathrm{\angle }A\cong \mathrm{\angle }C$
• المطلوب: $\overline{AB}\cong \overline{CB}$
• البرهان: نرسم $\overrightarrow{BD}$ منصف ل $\angle ABC$.

أوجد قيمة المتغير في كلّ من السؤالين الآتيين:

25)

3 أو 8-

26)

14

الساعات الرملية: استعمل الساعة الرملية المبينة في الشكل المجاور، وأوجد كلاً من القياسات الآتية:

27) $m\mathrm{\angle }LPM$

80°

28) $m\mathrm{\angle }LMP$

80°

29) $m\mathrm{\angle }JLK$

20°

30) $m\mathrm{\angle }JKL$

80°

31) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، ستكتشف القياسات الممكنة للزوايا الداخلية للمثلث المتطابق الضلعين، إذا علم قياس زاوية خارجية له.

a) هندسياً: استعمل المسطرة والمنقلة لرسم ثلاث مثلثات مختلفة، كلّ منها متطابق الضلعين، ومد أحد ضلعي زاوية الرأس ومدت القاعدة من إحدى جهتيها كما في الشكل المجاور.

b) جدولياً: استعمل المنقلة لإيجاد $m\mathrm{\angle }1$ لكل مثلث وسجله في جدول، واستعمل $m\mathrm{\angle }1$ لحساب قياسات $\mathrm{\angle }3,\mathrm{\angle }4,\mathrm{\angle }5$، ثم أوجد $m\mathrm{\angle }2$ وسجّله في جدول آخر واستعمله لحساب القياسات السابقة نفسها، رتّب نتائجك في جدولين.

c) لفظياً: وضح كيف استعملت $m\mathrm{\angle }1$ لإيجاد قياسات $\mathrm{\angle }3,\mathrm{\angle }4,\mathrm{\angle }5$. ثم وضح كيف استعملت $m\mathrm{\angle }2$ لإيجاد هذه القياسات نفسها.

$\angle 5$ تكمل $\angle 1$

$\begin{array}{r}m\mathrm{\angle }5={180}^{\circ }-m\mathrm{\angle }1\\ m\mathrm{\angle }4=m\mathrm{\angle }5 ا\text{لذ،}\mathrm{\angle }4\cong \mathrm{\angle }5\end{array}$

مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي °180؛ لذا $m\mathrm{\angle }3={180}^{\circ }-m\mathrm{\angle }4-\mathrm{\angle }5$.

كذلك $\angle 2$ تكمل $\angle 3$ لذا فإن: $m\mathrm{\angle }3={180}^{\circ }-m\mathrm{\angle }2$

$m\mathrm{\angle }2$ يساوي مثلي $m\mathrm{\angle }4$ أو مثلي $m\mathrm{\angle }5$

لذا $m\mathrm{\angle }4=m\mathrm{\angle }5=\frac{m\mathrm{\angle }2}{2}$

d) جبرياً: إذا كان $m\mathrm{\angle }1=x$، فاكتب عبارة جبرية لإيجاد قياس كلّ من $\mathrm{\angle }3,\mathrm{\angle }4,\mathrm{\angle }5$، وبالمثل إذا كان $m\mathrm{\angle }2=x$، فاكتب عبارة جبرية لإيجاد قياس كلٍّ من الزوايا نفسها.

$m\mathrm{\angle }5=180-x,m\mathrm{\angle }4=180-x,m\mathrm{\angle }3=2x-180$

$m\mathrm{\angle }3=180-x,m\mathrm{\angle }4=\frac{x}{2},m\mathrm{\angle }5=\frac{x}{2}$