اكتب الافتراض الذي تبدأ به برهاناً غير مباشر لكل عبارة مما يأتي:

$\overline{AB}\cong \overline{CD}$

$\overline{AB}\not\equiv \overline{CD}$

$△XYZ$ مختلف الأضلاع.

$△XYZ$ متطابق الضلعين أو متطابق الأضلاع.

إذا كان $4x<24$، فإن $x<2$.

$x\ge 6$

$\angle A$ ليست زاوية قائمة.

$\angle A$ زاوية قائمة.

تأكد

اكتب الافتراض الذي تبدأ به برهاناً غير مباشر لكل عبارة مما يأتي:

1) $\overline{AB}\cong \overline{CD}$

$\overline{AB}\not\equiv \overline{CD}$

2) $△XYZ$ مختلف الأضلاع.

$△XYZ$ متطابق الضلعين أو متطابق الأضلاع.

3) إذا كان $4x<24$، فإن $x<2$.

$x\ge 6$

4) $\angle A$ ليست زاوية قائمة.

$\angle A$ زاوية قائمة.

اكتب برهاناً غير مباشر لكل عبارة من العبارتين الآتيتين:

5) إذا كان $2x+3<7$، فإن $x<2$.

• المعطيات: $2x+3<7$
• المطلوب: $x<2$

برهان غير مباشر:

الخطوة1: افترض أن $x\ge 2$ صحيحة.

الخطوة2:

$\begin{array}{r}x\ge 2\\ 2x\ge 4\\ 3x+3\ge 7\end{array}$

وهذا يناقض المعطى $2x+3<7$

الخطوة3: الفرض يؤدي إلى تناقض مع المعلومة المعطاة بأن $2x+3<7$ لذا فالفرض بأن $x\ge 2$ فرض خطأ، والنتيجة الأصلية بأن $x<2$ نتيجة صحيحة بالتأكيد.

6) إذا كان $3x-4>8$، فإن $x>4$.

• المعطيات: $3x-4>8$
• المطلوب: $x>4$

برهان غير مباشر:

الخطوة1: افترض أن $x\le 4$ صحيحة.

الخطوة2:

$\begin{array}{r}x\le 4\\ 3x\le 12\\ 3x-4\le 8\end{array}$

وهذا يناقض المعطى $3x-4>8$

الخطوة3: الفرض يؤدي إلى تناقض مع المعلومة المعطاة بأن $3x-4>8$ لذا فالفرض بأن $x\le 4$ فرض خطأ، والنتيجة الأصلية بأن $x>4$ نتيجة صحيحة بالتأكيد، 7) كرة قدم: سجل فهد 13 هدفاً لصالح فريقه المدرسي في المباريات الست الأخيرة، أثبت أن متوسط عدد الأهداف التي سجلها في كل مباراة كان أقل من 3.

7) كرة قدم: سجل فهد 13 هدفاً لصالح فريقه المدرسي في المباريات الست الأخيرة، أثبت أن متوسط عدد الأهداف التي سجلها في كل مباراة كان أقل من 3.

برهان غير مباشر: افترض أن المتوسط يساوي a فرضاً.

الخطوة1: افترض أن متوسط عدد الأهداف التي سجَّلها فهد في كل مباراة كان أكبر من أو يساوي 3 ؛ أي أن $a\ge 3$.

الخطوة2:

الحالة1:

$\begin{array}{c}a=3\\ \frac{13}{6}\ge 3\\ 2.2\ne 3\end{array}$

الحالة2:

$\begin{array}{c}a>3\\ \frac{13}{6}>3\\ 2.2\ngtr 3\end{array}$

الخطوة3: النتائج ليست صحيحة، لذلك فالفرض خطأ، إذاً فمتوسط عدد الأهداف التي سجَّلها فهد في كل مباراة أقل من 3 أهداف.

8) اكتب برهاناً غير مباشر لإثبات أنه إذا كان 5x-2، عدداً فردياً، فإن x عدد فردي.

• المعطيات: 5x-2 عدد فردي.
• المطلوب: x عدد فردي.

برهان غير مباشر:

• الخطوة1: افترض أن x عدد ليس فردياً؛ أي افترض أن x عدد زوجي.
• الخطوة2: ليكن x=2k، حيث k عدد صحيح.

$\begin{array}{rl}5x-2& =5\left(2k\right)-2\\ & =10k-2\\ & =2(5k-1)\end{array}$

وبما أن k عدد صحيح، إذن 5k-1 عدد صحيح أيضاً، افترض أن p يمثل العدد 5k-1 فيمكن تمثيل 5x-2 ب 2p حيث p عدد صحيح وهذا يعني أن 5x-2 عدد صحيح زوجي ولكن هذا يناقض المعطيات بأن 5x-2 عدد فردي.

الخطوة3: بما أن الفرض x عدد زوجي أدى إلى تناقض مع المعطيات فإن النتيجة الأصلية بأن x عدد فردي نتيجة صحيحة.

اكتب برهاناً غير مباشر لكل عبارة من العبارتين الآتيتين:

9) وتر المثلث القائم الزاوية هو أطول أضلاعه.

المعطيات:

• ABC مثلث قائم الزاوية.
• $\angle C$ زاوية قائمة.

المطلوب:

$AB>BC,AB>AC$

برهان غير مباشر:

• الخطوة1: افترض أن وتر المثلث القائم الزاوية ليس الضلع الأطول. أي أن $.AB\le AC و AB\le BC$
• الخطوة2: إذا كان $AB\le BC$، فإن $m\mathrm{\angle }C\le m\mathrm{\angle }A$ وبما أن $m\mathrm{\angle }C={90}^{\circ }$ فإن $m\mathrm{\angle }A\ge {90}^{\circ }$ إذاً $m\mathrm{\angle }C+m\mathrm{\angle }A\ge {180}^{\circ }$ وبالتبرير نفسه $\mathrm{m}\mathrm{\angle }C+m\mathrm{\angle }B\ge {180}^{\circ }$
• الخطوة3: كلا العلاقتين تناقضان حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي °180؛ لذا فالوتر هو أطول أضلاع المثلث القائم الزاوية.

10) إذا كانت الزاويتان متكاملتين، فإنه لا يمكن أن تكونا منفرجتين معاً.

• المعطيات: $\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }A$ متكاملتان.
• المطلوب: $\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }A$ لا يمكن أن تكونا منفرجتين معاً.

برهان غير مباشر:

• الخطوة1: افترض أن $\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }A$ كلاهما زاوية منفرجة.
• الخطوة2: من تعريف الزاوية المنفرجة $m\mathrm{\angle }A>{90}^{\circ }$ و $m\mathrm{\angle }B>{90}^{\circ }$ لذلك $m\mathrm{\angle }A+m\mathrm{\angle }B>{180}^{\circ }$.
• الخطوة3: وهذا يناقض المعلومة المعطاة بأن $m\mathrm{\angle }A+m\mathrm{\angle }B={180}^{\circ }$، لذلك فالنتيجة الأصلية بأن $\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }A$ لا يمكن أن تكونا منفرجتين معاً صحيحة بالتأكيد.