حلول الأسئلة

السؤال

استعمل $\log_{4} 5 \approx 1.1610, \log_{4} 3 \approx 0.7925, \log_{4} 2 = 0.5$ لتقريب قيمة كل مما يأتي:

الحل

$\log_{4} 30$

$\begin{aligned} l o g_{4} 30 = l o g_{4} 3 \times 5 \times 2 & = l o g_{4} 3 + l o g_{4} 5 + l o g_{4} 2 \\ = 0 .7925 + 1 .1610 + 0 .5 \\ = 2 .4535 \end{aligned}$

$\log_{4} 20$

$\begin{aligned} l o g_{4} 20 = l o g_{4} 2 \times 5 \times 2 & = l o g_{4} 2 + l o g_{4} 5 + l o g_{4} 2 \\ = 0 .5 + 1 .1610 + 0 .5 \\ = 2 .1610 \end{aligned}$

$\log_{4} \frac{2}{3}$

$\begin{aligned} l o g_{4} \frac{2}{3} & = l o g_{4} 2 - l o g_{4} 3 \\ = 0 .5 - 0 .7925 = - 0 .2925 \end{aligned}$

$\log_{4} \frac{4}{3}$

$\begin{aligned} l o g_{4} \frac{4}{3} & = l o g_{4} 4 - l o g_{4} 3 \\ = 1 - 0 .7925 = - 0 .2075 \end{aligned}$

$\log_{4} 9$

$\begin{aligned} l o g_{4} 9 = l o g_{4} 3 \times 3 & = l o g_{4} 3 + l o g_{4} 3 \\ = 0 .7925 + 0 .7925 = 1 .5850 \end{aligned}$

$\log_{4} 8$

$\begin{matrix} l o g_{4} 8 = l o g_{4} 2 \times 2 \times 2 = l o g_{4} 2 + l o g_{4} 2 + l o g_{4} 2 \\ = 0 .5 + 0 .5 + 0 .5 = 1 .5 \end{matrix}$

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل $\log_{4} 5 \approx 1.1610 \cdot \log_{4} 3 \approx 0.7925$ لتقريب قيمة كل مما يأتي:

1) $\log_{4} 15$

$\begin{aligned} l o g_{4} 15 = l o g_{4} 3 \times 5 & = l o g_{4} 3 + l o g_{4} 5 \\ = 0 .7925 + 1 .1610 = 1 .9535 \end{aligned}$

2) $\log_{4} \frac{5}{3}$

$\begin{aligned} l o g_{4} \frac{5}{3} & = l o g_{4} 5 - l o g_{4} 3 \\ = 1 .1610 - 0 .7925 = 0 .3685 \end{aligned}$

3) $\log_{4} \frac{3}{4}$

$\begin{aligned} l o g_{4} \frac{3}{4} & = l o g_{4} 3 - l o g_{4} 4 \\ = 0 .7925 - 1 = - 0 .2075 \end{aligned}$

4) $\log_{4} 0.6$

$\begin{aligned} l o g_{4} \frac{6}{10} & = l o g_{4} 6 - l o g_{4} 10 \\ = 1 .2924 - 1 .66096 = - 0 .3685 \end{aligned}$

استعمل $\log_{4} 5 \approx 1.1610, \log_{4} 3 \approx 0.7925, \log_{4} 2 = 0.5$ لتقريب قيمة كل مما يأتي:

5) $\log_{4} 30$

$\begin{aligned} l o g_{4} 30 = l o g_{4} 3 \times 5 \times 2 & = l o g_{4} 3 + l o g_{4} 5 + l o g_{4} 2 \\ = 0 .7925 + 1 .1610 + 0 .5 \\ = 2 .4535 \end{aligned}$

6) $\log_{4} 20$

$\begin{aligned} l o g_{4} 20 = l o g_{4} 2 \times 5 \times 2 & = l o g_{4} 2 + l o g_{4} 5 + l o g_{4} 2 \\ = 0 .5 + 1 .1610 + 0 .5 \\ = 2 .1610 \end{aligned}$

7) $\log_{4} \frac{2}{3}$

$\begin{aligned} l o g_{4} \frac{2}{3} & = l o g_{4} 2 - l o g_{4} 3 \\ = 0 .5 - 0 .7925 = - 0 .2925 \end{aligned}$

8) $\log_{4} \frac{4}{3}$

$\begin{aligned} l o g_{4} \frac{4}{3} & = l o g_{4} 4 - l o g_{4} 3 \\ = 1 - 0 .7925 = - 0 .2075 \end{aligned}$

9) $\log_{4} 9$

$\begin{aligned} l o g_{4} 9 = l o g_{4} 3 \times 3 & = l o g_{4} 3 + l o g_{4} 3 \\ = 0 .7925 + 0 .7925 = 1 .5850 \end{aligned}$

10) $\log_{4} 8$

$\begin{matrix} l o g_{4} 8 = l o g_{4} 2 \times 2 \times 2 = l o g_{4} 2 + l o g_{4} 2 + l o g_{4} 2 \\ = 0 .5 + 0 .5 + 0 .5 = 1 .5 \end{matrix}$

11) تسلق الجبال: يتناقص الضغط الجوي مع زيادة الارتفاع، ويمكن إيجاد قيمة الضغط الجوي عند الارتفاع a متر باستعمال العلاقة $a = 15500 (5 - \log_{10} P)$ ، حيث p الضغط بال باسكال، أوجد قيمة الضغط الجوي بال باسكال عند قمم الجبال المذكورة في الجدول أدناه.

تسلق الجبال

افرست.

$\begin{aligned} a = 15500 (5 - l o g_{10} P) = 8850 \\ 5 - l o g_{10} P = 0 .57 \\ 4 .429 = l o g_{10} P \\ p = 26853 .445 \end{aligned}$

تريسون:

$\begin{aligned} a = 15500 (5 - l o g_{10} P) = 7074 \\ 5 - l o g_{10} P = 0 .4563 \\ 4 .5436 = l o g_{10} P \\ p = 34962 .3 \end{aligned}$

بونيتي:

$\begin{aligned} a = 15500 (5 - l o g_{10} P) = 6872 \\ 5 - l o g_{10} P = 0 .44335 \\ 4 .5566 = l o g_{10} P \\ p = 36024, 669 \end{aligned}$

إذا كان $\log_{3} 5 \approx 1.465, \log_{5} 7 \approx 1.2091, \log_{6} 8 \approx 1.1606$ , $\log_{7} 9 \approx 1.1292$ ، فقرب قيمة كل مما يأتي:

12) log₃25

$\log_{3} 5 \times 5 = \log_{3} 5 + \log_{3} 5 = 1.465 + 1.465 = 2.93$

13) log₅49

$\log_{5} 7 \times 7 = \log_{5} 7 + \log_{5} 7 = 1.2091 + 1.2091 = 2.4182$

14) log₆48

$\log_{6} 8 \times 6 = \log_{6} 8 + \log_{6} 6 = 1.1606 + 1 = 2.1606$

15) log₇81

$\log_{7} 9 \times 9 = \log_{7} 9 + \log_{7} 9 = 1.1292 + 1, 1292 = 2.2584$

16) log₆512

$\log_{6} 8 \times 8 \times 8 = \log_{6} 8 + \log_{6} 8 + \log_{6} 8 = 1.1606 + 1.1606 + 1.1606 = 3.4818$

17) log₇729

$\log_{7} 9 \times 9 \times 9 = \log_{7} 9 + \log_{7} 9 + \log_{7} 9 = 1.1292 + 1, 1292 + 1, 1292 = 3.3876$

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي:

18) $\log_{5} \sqrt[4]{25}$

$l o g_{5} \sqrt[4]{25} = l o g_{5} 5^{\frac{2}{4}} = \frac{1}{2} l o g_{5} 5 = \frac{1}{2}$

19) $\log_{2} \sqrt[5]{32}$

$l o g_{2} \sqrt[5]{32} = l o g_{2} 2^{\frac{5}{5}} = 1$

20) $3 \log_{7} \sqrt[6]{49}$

$3 l o g_{7} \sqrt[6]{49} = 3 l o g_{7} 7^{\frac{2}{6}} = 3 \times \frac{1}{3} l o g_{7} 7 = 1$

21) $4 \log_{2} \sqrt{8}$

$4 l o g_{2} \sqrt{8} = 4 l o g_{2} 8^{\frac{1}{2}} = 4 \times \frac{1}{2} l o g_{2} 8 = 2 \times 3 = 6$

22) $50 \log_{5} \sqrt{125}$

$50 l o g_{5} \sqrt{125} = 50 l o g_{5} 125^{\frac{1}{2}} = 50 \times \frac{1}{2} l o g_{5} 125 = 25 \times 3 = 75$

23) $\log_{3} \sqrt[6]{243}$

$l o g_{3} \sqrt[6]{243} = l o g_{3} 243^{\frac{1}{6}} = \frac{1}{6} l o g_{3} 243 = \frac{1}{6} \times 5 = \frac{5}{6}$

اكتب كل عبارة لوغاريتمية فيما يأتي بالصورة المطولة:

24) $\log_{9} 6 x^{3} y^{5} z$

$\begin{aligned} l o g_{9} 6 + l o g_{9} x^{3} + l o g_{9} y^{7} + l o g_{9} z \\ = l o g_{9} 6 + 3 l o g_{9} x + 7 l o g_{9} y + l o g_{9} z \end{aligned}$

25) $\log_{11} a b^{- 4} c^{12} d^{7}$

$\begin{aligned} l o g_{11} a + l o g_{11} b^{- 4} + l o g_{11} c^{12} + l o g_{11} d^{7} \\ = l o g_{11} a - 4 l o g_{11} b + 12 l o g_{11} c + 7 l o g_{11} d \end{aligned}$

26) $\log_{7} h^{2} j^{11} k^{- 5}$

$\begin{aligned} l o g_{7} h^{2} + l o g_{7} j^{11} + l o g_{7} k^{- 5} \\ = 2 l o g_{7} h + 11 l o g_{7} j - 5 l o g_{7} k \end{aligned}$

27) $\log_{4} 10 t^{2} u v^{- 3}$

$\begin{aligned} l o g_{4} 10 + l o g_{4} t^{2} + l o g_{4} u + l o g_{4} ν^{- 3} \\ = l o g_{4} 10 + 2 l o g t + l o g_{4} u - 3 l o g_{4} v \end{aligned}$

28) $\log_{5} a^{6} b^{- 3} c^{4}$

$\begin{aligned} l o g_{5} a^{6} + l o g_{5} b^{- 3} + l o g_{5} c^{4} \\ = 6 l o g_{5} a - 3 l o g_{5} b + 4 l o g_{5} c \end{aligned}$

29) $\log_{2} \frac{3 x + 2}{\sqrt[7]{1 - 5 x}}$

$\begin{aligned} l o g_{2} (3 x + 2) - l o g_{2} (1 - 5 x)^{\frac{1}{7}} \\ = l o g_{2} (3 x + 2) - \frac{1}{7} l o g_{2} (1 - 5 x) \end{aligned}$

اكتب كل عبارة لوغاريتمية فيما يأتي بالصورة المختصرة:

30) $3 \log_{5} x - \frac{1}{2} \log_{5} (6 - x)$

$l o g_{5} \frac{x^{3}}{\sqrt{6 - x}}$

31) $5 \log_{7} (2 x) - \frac{1}{3} \log_{7} (5 x + 1)$

$l o g_{7} \frac{32 x^{5}}{\sqrt[3]{5 x + 1}}$

32) $7 \log_{3} a + \log_{3} b - 2 \log_{3} (8 c)$

$l o g_{3} \frac{a^{7} b}{64 c^{2}}$

33) $2 \log_{8} (9 x) - \log_{8} (2 x - 5)$

$l o g_{8} \frac{81 x^{2}}{(2 x - 5)}$

34) $2 \log_{6} (5 a) + \log_{6} b + 7 \log_{6} c$

$l o g_{6} 25 a^{2} b c^{7}$

35) $\log_{2} x - \log_{2} y - 3 \log_{2} z$

$l o g_{2} \frac{x}{y z^{3}}$

36) كيمياء: ثابت التأين للماء K_w هو حاصل ضرب تركيز أيونات الهيدروجين [+ H] في تركيز أيونات الهيدروكسيد [- H O]. في أن صيغة ثابت التأين للماء هي $K_{w} = [H^{+}] [{OH}^{-}]$ حيث تشير الأقواس إلى التركيز بالمول لكل لتر.

a) عبر عن $\cdot \log_{10} [{OH}^{-}], \log_{10} [H^{+}] بدلالة \log_{10} K_{w}$

$l o g k w = l o g [H^{+}] + l o g [{OH}^{-}]$

b) بسط المعادلة في الفرع a إذا علمت أن قيمة الثابت K_w هي $1 \times 10^{- 14}$ .

$l o g k w = l o g [H^{+}] + l o g [{OH}^{-}] = - 14$

c) إذا كان تركيز أيونات الهيدروجين في عينة من الماء $1 \times 10^{- 9}$ مول لكل لتر، فما تركيز أيونات الهيدروكسيد؟

$\begin{aligned} - 9 + l o g [O H^{-}] = - 14 \\ l o g [{OH}^{-}] = - 5 \end{aligned}$

تركيز أيونات الهيدروكسيد 1×10 مول لكل لتر.

حدد ما إذا كانت كل عبارة فيما يأتي صحيحة أم غير صحيحة:

37) $\log_{8} (x - 3) = \log_{8} x - \log_{8} 3$

خطأ.

38) $\log_{5} 22 x = \log_{5} 22 + \log_{5} x$

صحيحة.

39) $\log_{10} 19 k = 19 \log_{10} k$

خطأ.

40) $\log_{2} y^{5} = 5 \log_{2} y$

صحيحة.

41) $\log_{7} \frac{x}{3} = \log_{7} x - \log_{7} 3$

صحيحة.

42) $\log_{4} (z + 2) = \log_{4} z + \log_{4} 2$

خطأ.

43) $\log_{8} p^{4} = {(\log_{8} p)}^{4}$

خطأ.

44) $\log_{9} \frac{x^{2} y^{3}}{z^{4}} = 2 \log_{9} x + 3 \log_{9} y - 4 \log_{9} z$

صحيحة.

45) هزات أرضية: يبين الجدول أدناه بعض الهزات الأرضية القوية التي ضربت بعض البلدان، وقوة كل منها على مقياس ريختر، إذا علمت أن قوة الهزة Mُ تعطى بالعلاقة $M = 1 + \log_{10} x$ ، حيث تمثل x شدة الهزة الأرضية، فأجب عما يأتي:

السنة	المكان	الدرجة على مقياس ريختر
1939م	تركيا	8.0
1963م	يوغسلافيا	6.0
1970م	البيرو	7.8
1988م	أرمينيا	7.0
2004م	مراكش	6.4

a) أي هزتين كانت شدة إحداهما تعادل 10 أمثال شدة الأخرى؟

أرمينيا يوغسلافيا، أو أرمينيا وتركيا.

وأي هزتين كانت شدة إحداهما تعادل 100 مثل شدة الأخرى؟

تركيا ويوغسلافيا.

b) كم درجة على مقياس ريختر تسجل هزة أرضية إذا كانت شدتها تعادل 1000 مثل شدة هزة يوغسلافيا عام 1963 م؟

حوالي 9.

46) استعمل خصائص اللوغاريتمات لبرهنة أن $\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}$ ؟

نفرض أن $\log_{b} x = n$

باستعمال تعريف اللوغاريتم bⁿ=x

بأخذ اللوغاريتم للطرفين $\log_{a} b^{n} = \log_{a} x$

من خاصية الأسس $n \log_{a} b = \log_{a} x$

بقسمة الطرفين على a^b

^{$n = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} b}$}

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

استعمل $\log_{4} 5 \approx 1.1610, \log_{4} 3 \approx 0.7925, \log_{4} 2 = 0.5$ لتقريب قيمة كل مما يأتي:

الحل

$\log_{4} 30$

$\begin{aligned} l o g_{4} 30 = l o g_{4} 3 \times 5 \times 2 & = l o g_{4} 3 + l o g_{4} 5 + l o g_{4} 2 \\ = 0 .7925 + 1 .1610 + 0 .5 \\ = 2 .4535 \end{aligned}$

$\log_{4} 20$

$\begin{aligned} l o g_{4} 20 = l o g_{4} 2 \times 5 \times 2 & = l o g_{4} 2 + l o g_{4} 5 + l o g_{4} 2 \\ = 0 .5 + 1 .1610 + 0 .5 \\ = 2 .1610 \end{aligned}$

$\log_{4} \frac{2}{3}$

$\begin{aligned} l o g_{4} \frac{2}{3} & = l o g_{4} 2 - l o g_{4} 3 \\ = 0 .5 - 0 .7925 = - 0 .2925 \end{aligned}$

$\log_{4} \frac{4}{3}$

$\begin{aligned} l o g_{4} \frac{4}{3} & = l o g_{4} 4 - l o g_{4} 3 \\ = 1 - 0 .7925 = - 0 .2075 \end{aligned}$

$\log_{4} 9$

$\begin{aligned} l o g_{4} 9 = l o g_{4} 3 \times 3 & = l o g_{4} 3 + l o g_{4} 3 \\ = 0 .7925 + 0 .7925 = 1 .5850 \end{aligned}$

$\log_{4} 8$

$\begin{matrix} l o g_{4} 8 = l o g_{4} 2 \times 2 \times 2 = l o g_{4} 2 + l o g_{4} 2 + l o g_{4} 2 \\ = 0 .5 + 0 .5 + 0 .5 = 1 .5 \end{matrix}$

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل $\log_{4} 5 \approx 1.1610 \cdot \log_{4} 3 \approx 0.7925$ لتقريب قيمة كل مما يأتي:

1) $\log_{4} 15$

$\begin{aligned} l o g_{4} 15 = l o g_{4} 3 \times 5 & = l o g_{4} 3 + l o g_{4} 5 \\ = 0 .7925 + 1 .1610 = 1 .9535 \end{aligned}$

2) $\log_{4} \frac{5}{3}$

$\begin{aligned} l o g_{4} \frac{5}{3} & = l o g_{4} 5 - l o g_{4} 3 \\ = 1 .1610 - 0 .7925 = 0 .3685 \end{aligned}$

3) $\log_{4} \frac{3}{4}$

$\begin{aligned} l o g_{4} \frac{3}{4} & = l o g_{4} 3 - l o g_{4} 4 \\ = 0 .7925 - 1 = - 0 .2075 \end{aligned}$

4) $\log_{4} 0.6$

$\begin{aligned} l o g_{4} \frac{6}{10} & = l o g_{4} 6 - l o g_{4} 10 \\ = 1 .2924 - 1 .66096 = - 0 .3685 \end{aligned}$

استعمل $\log_{4} 5 \approx 1.1610, \log_{4} 3 \approx 0.7925, \log_{4} 2 = 0.5$ لتقريب قيمة كل مما يأتي:

5) $\log_{4} 30$

$\begin{aligned} l o g_{4} 30 = l o g_{4} 3 \times 5 \times 2 & = l o g_{4} 3 + l o g_{4} 5 + l o g_{4} 2 \\ = 0 .7925 + 1 .1610 + 0 .5 \\ = 2 .4535 \end{aligned}$

6) $\log_{4} 20$

$\begin{aligned} l o g_{4} 20 = l o g_{4} 2 \times 5 \times 2 & = l o g_{4} 2 + l o g_{4} 5 + l o g_{4} 2 \\ = 0 .5 + 1 .1610 + 0 .5 \\ = 2 .1610 \end{aligned}$

7) $\log_{4} \frac{2}{3}$

$\begin{aligned} l o g_{4} \frac{2}{3} & = l o g_{4} 2 - l o g_{4} 3 \\ = 0 .5 - 0 .7925 = - 0 .2925 \end{aligned}$

8) $\log_{4} \frac{4}{3}$

$\begin{aligned} l o g_{4} \frac{4}{3} & = l o g_{4} 4 - l o g_{4} 3 \\ = 1 - 0 .7925 = - 0 .2075 \end{aligned}$

9) $\log_{4} 9$

$\begin{aligned} l o g_{4} 9 = l o g_{4} 3 \times 3 & = l o g_{4} 3 + l o g_{4} 3 \\ = 0 .7925 + 0 .7925 = 1 .5850 \end{aligned}$

10) $\log_{4} 8$

$\begin{matrix} l o g_{4} 8 = l o g_{4} 2 \times 2 \times 2 = l o g_{4} 2 + l o g_{4} 2 + l o g_{4} 2 \\ = 0 .5 + 0 .5 + 0 .5 = 1 .5 \end{matrix}$

11) تسلق الجبال: يتناقص الضغط الجوي مع زيادة الارتفاع، ويمكن إيجاد قيمة الضغط الجوي عند الارتفاع a متر باستعمال العلاقة $a = 15500 (5 - \log_{10} P)$ ، حيث p الضغط بال باسكال، أوجد قيمة الضغط الجوي بال باسكال عند قمم الجبال المذكورة في الجدول أدناه.

تسلق الجبال

افرست.

$\begin{aligned} a = 15500 (5 - l o g_{10} P) = 8850 \\ 5 - l o g_{10} P = 0 .57 \\ 4 .429 = l o g_{10} P \\ p = 26853 .445 \end{aligned}$

تريسون:

$\begin{aligned} a = 15500 (5 - l o g_{10} P) = 7074 \\ 5 - l o g_{10} P = 0 .4563 \\ 4 .5436 = l o g_{10} P \\ p = 34962 .3 \end{aligned}$

بونيتي:

$\begin{aligned} a = 15500 (5 - l o g_{10} P) = 6872 \\ 5 - l o g_{10} P = 0 .44335 \\ 4 .5566 = l o g_{10} P \\ p = 36024, 669 \end{aligned}$

إذا كان $\log_{3} 5 \approx 1.465, \log_{5} 7 \approx 1.2091, \log_{6} 8 \approx 1.1606$ , $\log_{7} 9 \approx 1.1292$ ، فقرب قيمة كل مما يأتي:

12) log₃25

$\log_{3} 5 \times 5 = \log_{3} 5 + \log_{3} 5 = 1.465 + 1.465 = 2.93$

13) log₅49

$\log_{5} 7 \times 7 = \log_{5} 7 + \log_{5} 7 = 1.2091 + 1.2091 = 2.4182$

14) log₆48

$\log_{6} 8 \times 6 = \log_{6} 8 + \log_{6} 6 = 1.1606 + 1 = 2.1606$

15) log₇81

$\log_{7} 9 \times 9 = \log_{7} 9 + \log_{7} 9 = 1.1292 + 1, 1292 = 2.2584$

16) log₆512

$\log_{6} 8 \times 8 \times 8 = \log_{6} 8 + \log_{6} 8 + \log_{6} 8 = 1.1606 + 1.1606 + 1.1606 = 3.4818$

17) log₇729

$\log_{7} 9 \times 9 \times 9 = \log_{7} 9 + \log_{7} 9 + \log_{7} 9 = 1.1292 + 1, 1292 + 1, 1292 = 3.3876$

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي:

18) $\log_{5} \sqrt[4]{25}$

$l o g_{5} \sqrt[4]{25} = l o g_{5} 5^{\frac{2}{4}} = \frac{1}{2} l o g_{5} 5 = \frac{1}{2}$

19) $\log_{2} \sqrt[5]{32}$

$l o g_{2} \sqrt[5]{32} = l o g_{2} 2^{\frac{5}{5}} = 1$

20) $3 \log_{7} \sqrt[6]{49}$

$3 l o g_{7} \sqrt[6]{49} = 3 l o g_{7} 7^{\frac{2}{6}} = 3 \times \frac{1}{3} l o g_{7} 7 = 1$

21) $4 \log_{2} \sqrt{8}$

$4 l o g_{2} \sqrt{8} = 4 l o g_{2} 8^{\frac{1}{2}} = 4 \times \frac{1}{2} l o g_{2} 8 = 2 \times 3 = 6$

22) $50 \log_{5} \sqrt{125}$

$50 l o g_{5} \sqrt{125} = 50 l o g_{5} 125^{\frac{1}{2}} = 50 \times \frac{1}{2} l o g_{5} 125 = 25 \times 3 = 75$

23) $\log_{3} \sqrt[6]{243}$

$l o g_{3} \sqrt[6]{243} = l o g_{3} 243^{\frac{1}{6}} = \frac{1}{6} l o g_{3} 243 = \frac{1}{6} \times 5 = \frac{5}{6}$

اكتب كل عبارة لوغاريتمية فيما يأتي بالصورة المطولة:

24) $\log_{9} 6 x^{3} y^{5} z$

$\begin{aligned} l o g_{9} 6 + l o g_{9} x^{3} + l o g_{9} y^{7} + l o g_{9} z \\ = l o g_{9} 6 + 3 l o g_{9} x + 7 l o g_{9} y + l o g_{9} z \end{aligned}$

25) $\log_{11} a b^{- 4} c^{12} d^{7}$

$\begin{aligned} l o g_{11} a + l o g_{11} b^{- 4} + l o g_{11} c^{12} + l o g_{11} d^{7} \\ = l o g_{11} a - 4 l o g_{11} b + 12 l o g_{11} c + 7 l o g_{11} d \end{aligned}$

26) $\log_{7} h^{2} j^{11} k^{- 5}$

$\begin{aligned} l o g_{7} h^{2} + l o g_{7} j^{11} + l o g_{7} k^{- 5} \\ = 2 l o g_{7} h + 11 l o g_{7} j - 5 l o g_{7} k \end{aligned}$

27) $\log_{4} 10 t^{2} u v^{- 3}$

$\begin{aligned} l o g_{4} 10 + l o g_{4} t^{2} + l o g_{4} u + l o g_{4} ν^{- 3} \\ = l o g_{4} 10 + 2 l o g t + l o g_{4} u - 3 l o g_{4} v \end{aligned}$

28) $\log_{5} a^{6} b^{- 3} c^{4}$

$\begin{aligned} l o g_{5} a^{6} + l o g_{5} b^{- 3} + l o g_{5} c^{4} \\ = 6 l o g_{5} a - 3 l o g_{5} b + 4 l o g_{5} c \end{aligned}$

29) $\log_{2} \frac{3 x + 2}{\sqrt[7]{1 - 5 x}}$

$\begin{aligned} l o g_{2} (3 x + 2) - l o g_{2} (1 - 5 x)^{\frac{1}{7}} \\ = l o g_{2} (3 x + 2) - \frac{1}{7} l o g_{2} (1 - 5 x) \end{aligned}$

اكتب كل عبارة لوغاريتمية فيما يأتي بالصورة المختصرة:

30) $3 \log_{5} x - \frac{1}{2} \log_{5} (6 - x)$

$l o g_{5} \frac{x^{3}}{\sqrt{6 - x}}$

31) $5 \log_{7} (2 x) - \frac{1}{3} \log_{7} (5 x + 1)$

$l o g_{7} \frac{32 x^{5}}{\sqrt[3]{5 x + 1}}$

32) $7 \log_{3} a + \log_{3} b - 2 \log_{3} (8 c)$

$l o g_{3} \frac{a^{7} b}{64 c^{2}}$

33) $2 \log_{8} (9 x) - \log_{8} (2 x - 5)$

$l o g_{8} \frac{81 x^{2}}{(2 x - 5)}$

34) $2 \log_{6} (5 a) + \log_{6} b + 7 \log_{6} c$

$l o g_{6} 25 a^{2} b c^{7}$

35) $\log_{2} x - \log_{2} y - 3 \log_{2} z$

$l o g_{2} \frac{x}{y z^{3}}$

36) كيمياء: ثابت التأين للماء K_w هو حاصل ضرب تركيز أيونات الهيدروجين [+ H] في تركيز أيونات الهيدروكسيد [- H O]. في أن صيغة ثابت التأين للماء هي $K_{w} = [H^{+}] [{OH}^{-}]$ حيث تشير الأقواس إلى التركيز بالمول لكل لتر.

a) عبر عن $\cdot \log_{10} [{OH}^{-}], \log_{10} [H^{+}] بدلالة \log_{10} K_{w}$

$l o g k w = l o g [H^{+}] + l o g [{OH}^{-}]$

b) بسط المعادلة في الفرع a إذا علمت أن قيمة الثابت K_w هي $1 \times 10^{- 14}$ .

$l o g k w = l o g [H^{+}] + l o g [{OH}^{-}] = - 14$

c) إذا كان تركيز أيونات الهيدروجين في عينة من الماء $1 \times 10^{- 9}$ مول لكل لتر، فما تركيز أيونات الهيدروكسيد؟

$\begin{aligned} - 9 + l o g [O H^{-}] = - 14 \\ l o g [{OH}^{-}] = - 5 \end{aligned}$

تركيز أيونات الهيدروكسيد 1×10 مول لكل لتر.

حدد ما إذا كانت كل عبارة فيما يأتي صحيحة أم غير صحيحة:

37) $\log_{8} (x - 3) = \log_{8} x - \log_{8} 3$

خطأ.

38) $\log_{5} 22 x = \log_{5} 22 + \log_{5} x$

صحيحة.

39) $\log_{10} 19 k = 19 \log_{10} k$

خطأ.

40) $\log_{2} y^{5} = 5 \log_{2} y$

صحيحة.

41) $\log_{7} \frac{x}{3} = \log_{7} x - \log_{7} 3$

صحيحة.

42) $\log_{4} (z + 2) = \log_{4} z + \log_{4} 2$

خطأ.

43) $\log_{8} p^{4} = {(\log_{8} p)}^{4}$

خطأ.

44) $\log_{9} \frac{x^{2} y^{3}}{z^{4}} = 2 \log_{9} x + 3 \log_{9} y - 4 \log_{9} z$

صحيحة.

45) هزات أرضية: يبين الجدول أدناه بعض الهزات الأرضية القوية التي ضربت بعض البلدان، وقوة كل منها على مقياس ريختر، إذا علمت أن قوة الهزة Mُ تعطى بالعلاقة $M = 1 + \log_{10} x$ ، حيث تمثل x شدة الهزة الأرضية، فأجب عما يأتي:

السنة	المكان	الدرجة على مقياس ريختر
1939م	تركيا	8.0
1963م	يوغسلافيا	6.0
1970م	البيرو	7.8
1988م	أرمينيا	7.0
2004م	مراكش	6.4

a) أي هزتين كانت شدة إحداهما تعادل 10 أمثال شدة الأخرى؟

أرمينيا يوغسلافيا، أو أرمينيا وتركيا.

وأي هزتين كانت شدة إحداهما تعادل 100 مثل شدة الأخرى؟

تركيا ويوغسلافيا.

b) كم درجة على مقياس ريختر تسجل هزة أرضية إذا كانت شدتها تعادل 1000 مثل شدة هزة يوغسلافيا عام 1963 م؟

حوالي 9.

46) استعمل خصائص اللوغاريتمات لبرهنة أن $\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}$ ؟

نفرض أن $\log_{b} x = n$

باستعمال تعريف اللوغاريتم bⁿ=x

بأخذ اللوغاريتم للطرفين $\log_{a} b^{n} = \log_{a} x$

من خاصية الأسس $n \log_{a} b = \log_{a} x$

بقسمة الطرفين على a^b

^{$n = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} b}$}

حلول الأسئلة

استعمل log 4 ⁡ 5 ≈ 1.1610 , log 4 ⁡ 3 ≈ 0.7925 , log 4 ⁡ 2 = 0.5 لتقريب قيمة كل مما يأتي:

log4⁡30

log4⁡20

log4⁡23

log4⁡43

log4⁡9

log4⁡8

مشاركة الحل

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل log4⁡5≈1.1610⋅log4⁡3≈0.7925 لتقريب قيمة كل مما يأتي:

1) log4⁡15

2) log4⁡53

3) log4⁡34

4) log4⁡0.6

استعمل log4⁡5≈1.1610,log4⁡3≈0.7925,log4⁡2=0.5 لتقريب قيمة كل مما يأتي:

5) log4⁡30

6) log4⁡20

7) log4⁡23

8) log4⁡43

9) log4⁡9

10) log4⁡8

إذا كان log3⁡5≈1.465,log5⁡7≈1.2091,log6⁡8≈1.1606, log7⁡9≈1.1292، فقرب قيمة كل مما يأتي:

12) log325

13) log549

14) log648

15) log781

16) log6512

17) log7729

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي:

18) log5⁡254

19) log2⁡325

20) 3log7⁡496

21) 4log2⁡8

22) 50log5⁡125

23) log3⁡2436

اكتب كل عبارة لوغاريتمية فيما يأتي بالصورة المطولة:

24) log9⁡6x3y5z

25) log11⁡ab−4c12d7

26) log7⁡h2j11k−5

27) log4⁡10t2uv−3

28) log5⁡a6b−3c4

29) log2⁡3x+21−5x7

اكتب كل عبارة لوغاريتمية فيما يأتي بالصورة المختصرة:

30) 3log5⁡x−12log5⁡(6−x)

31) 5log7⁡(2x)−13log7⁡(5x+1)

32) 7log3⁡a+log3⁡b−2log3⁡(8c)

33) 2log8⁡(9x)−log8⁡(2x−5)

34) 2log6⁡(5a)+log6⁡b+7log6⁡c

35) log2⁡x−log2⁡y−3log2⁡z

a) عبر عن ⋅log10⁡[OH−],log10⁡[H+]بدلالةlog10⁡Kw

b) بسط المعادلة في الفرع a إذا علمت أن قيمة الثابت Kw هي 1×10−14.

c) إذا كان تركيز أيونات الهيدروجين في عينة من الماء 1×10−9 مول لكل لتر، فما تركيز أيونات الهيدروكسيد؟

حدد ما إذا كانت كل عبارة فيما يأتي صحيحة أم غير صحيحة:

37) log8⁡(x−3)=log8⁡x−log8⁡3

38) log5⁡22x=log5⁡22+log5⁡x

39) log10⁡19k=19log10⁡k

40) log2⁡y5=5log2⁡y

41) log7⁡x3=log7⁡x−log7⁡3

42) log4⁡(z+2)=log4⁡z+log4⁡2

43) log8⁡p4=(log8⁡p)4

44) log9⁡x2y3z4=2log9⁡x+3log9⁡y−4log9⁡z

a) أي هزتين كانت شدة إحداهما تعادل 10 أمثال شدة الأخرى؟

وأي هزتين كانت شدة إحداهما تعادل 100 مثل شدة الأخرى؟

b) كم درجة على مقياس ريختر تسجل هزة أرضية إذا كانت شدتها تعادل 1000 مثل شدة هزة يوغسلافيا عام 1963 م؟

46) استعمل خصائص اللوغاريتمات لبرهنة أن loga⁡x=logb⁡xlogb⁡a؟

مشاركة الدرس

استعمل log 4 ⁡ 5 ≈ 1.1610 , log 4 ⁡ 3 ≈ 0.7925 , log 4 ⁡ 2 = 0.5 لتقريب قيمة كل مما يأتي:

log4⁡30

log4⁡20

log4⁡23

log4⁡43

log4⁡9

log4⁡8

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل log4⁡5≈1.1610⋅log4⁡3≈0.7925 لتقريب قيمة كل مما يأتي:

1) log4⁡15

2) log4⁡53

3) log4⁡34

4) log4⁡0.6

استعمل $\log_{4} 5 \approx 1.1610, \log_{4} 3 \approx 0.7925, \log_{4} 2 = 0.5$ لتقريب قيمة كل مما يأتي:

$\log_{4} 30$

$\log_{4} 20$

$\log_{4} \frac{2}{3}$

$\log_{4} \frac{4}{3}$

$\log_{4} 9$

$\log_{4} 8$

استعمل $\log_{4} 5 \approx 1.1610 \cdot \log_{4} 3 \approx 0.7925$ لتقريب قيمة كل مما يأتي:

1) $\log_{4} 15$

2) $\log_{4} \frac{5}{3}$

3) $\log_{4} \frac{3}{4}$

4) $\log_{4} 0.6$

استعمل $\log_{4} 5 \approx 1.1610, \log_{4} 3 \approx 0.7925, \log_{4} 2 = 0.5$ لتقريب قيمة كل مما يأتي:

5) $\log_{4} 30$

6) $\log_{4} 20$

7) $\log_{4} \frac{2}{3}$

8) $\log_{4} \frac{4}{3}$

9) $\log_{4} 9$

10) $\log_{4} 8$

إذا كان $\log_{3} 5 \approx 1.465, \log_{5} 7 \approx 1.2091, \log_{6} 8 \approx 1.1606$ , $\log_{7} 9 \approx 1.1292$ ، فقرب قيمة كل مما يأتي:

12) log₃25

13) log₅49

14) log₆48

15) log₇81

16) log₆512

17) log₇729

18) $\log_{5} \sqrt[4]{25}$

19) $\log_{2} \sqrt[5]{32}$

20) $3 \log_{7} \sqrt[6]{49}$

21) $4 \log_{2} \sqrt{8}$

22) $50 \log_{5} \sqrt{125}$

23) $\log_{3} \sqrt[6]{243}$

24) $\log_{9} 6 x^{3} y^{5} z$

25) $\log_{11} a b^{- 4} c^{12} d^{7}$

26) $\log_{7} h^{2} j^{11} k^{- 5}$

27) $\log_{4} 10 t^{2} u v^{- 3}$

28) $\log_{5} a^{6} b^{- 3} c^{4}$

29) $\log_{2} \frac{3 x + 2}{\sqrt[7]{1 - 5 x}}$

30) $3 \log_{5} x - \frac{1}{2} \log_{5} (6 - x)$

31) $5 \log_{7} (2 x) - \frac{1}{3} \log_{7} (5 x + 1)$

32) $7 \log_{3} a + \log_{3} b - 2 \log_{3} (8 c)$

33) $2 \log_{8} (9 x) - \log_{8} (2 x - 5)$

34) $2 \log_{6} (5 a) + \log_{6} b + 7 \log_{6} c$

35) $\log_{2} x - \log_{2} y - 3 \log_{2} z$

a) عبر عن $\cdot \log_{10} [{OH}^{-}], \log_{10} [H^{+}] بدلالة \log_{10} K_{w}$

b) بسط المعادلة في الفرع a إذا علمت أن قيمة الثابت K_w هي $1 \times 10^{- 14}$ .

c) إذا كان تركيز أيونات الهيدروجين في عينة من الماء $1 \times 10^{- 9}$ مول لكل لتر، فما تركيز أيونات الهيدروكسيد؟

37) $\log_{8} (x - 3) = \log_{8} x - \log_{8} 3$

38) $\log_{5} 22 x = \log_{5} 22 + \log_{5} x$

39) $\log_{10} 19 k = 19 \log_{10} k$

40) $\log_{2} y^{5} = 5 \log_{2} y$

41) $\log_{7} \frac{x}{3} = \log_{7} x - \log_{7} 3$

42) $\log_{4} (z + 2) = \log_{4} z + \log_{4} 2$

43) $\log_{8} p^{4} = {(\log_{8} p)}^{4}$

44) $\log_{9} \frac{x^{2} y^{3}}{z^{4}} = 2 \log_{9} x + 3 \log_{9} y - 4 \log_{9} z$

46) استعمل خصائص اللوغاريتمات لبرهنة أن $\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}$ ؟

استعمل $\log_{4} 5 \approx 1.1610, \log_{4} 3 \approx 0.7925, \log_{4} 2 = 0.5$ لتقريب قيمة كل مما يأتي:

$\log_{4} 30$

$\log_{4} 20$

$\log_{4} \frac{2}{3}$

$\log_{4} \frac{4}{3}$

$\log_{4} 9$

$\log_{4} 8$

استعمل $\log_{4} 5 \approx 1.1610 \cdot \log_{4} 3 \approx 0.7925$ لتقريب قيمة كل مما يأتي:

1) $\log_{4} 15$

2) $\log_{4} \frac{5}{3}$

3) $\log_{4} \frac{3}{4}$

4) $\log_{4} 0.6$

استعمل $\log_{4} 5 \approx 1.1610, \log_{4} 3 \approx 0.7925, \log_{4} 2 = 0.5$ لتقريب قيمة كل مما يأتي:

5) $\log_{4} 30$

6) $\log_{4} 20$

7) $\log_{4} \frac{2}{3}$

8) $\log_{4} \frac{4}{3}$

9) $\log_{4} 9$

10) $\log_{4} 8$

إذا كان $\log_{3} 5 \approx 1.465, \log_{5} 7 \approx 1.2091, \log_{6} 8 \approx 1.1606$ , $\log_{7} 9 \approx 1.1292$ ، فقرب قيمة كل مما يأتي:

12) log₃25

13) log₅49

14) log₆48

15) log₇81