حل المعادلة ${\log }_{\sqrt{a}}3={\log }_{a}x$ لتجد قيمة x وفسر كل خطوة.

$\begin{array}{r}{\log }_{\sqrt{a}}\mathbf{3}={\log }_a\mathit{x}\\ \frac{{\log }_{a}3}{{\log }_a\sqrt{a}}={\log }_{a}x\\ \frac{{\log }_{a}3}{\frac{1}{2}}={\log }_{a}x\\ 2{\log }_{a}3={\log }_{a}x\\ {\log }_a{3}^2={\log }_{a}x\\ 3^2=x\\ 9=x\end{array}$

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

36) اكشف الخطأ: حل كل من بلال وخالد المعادلة الأسية 4^3p=10، أيهما كانت إجابته صحيحة؟ فسر إجابتك.

بلال، لأن خالد نسي أن يضرب بالعدد 3 عند أحد اللوغاريتمات.

37) تحدٍ: حل المعادلة ${\log }_{\sqrt{a}}3={\log }_{a}x$ لتجد قيمة x وفسر كل خطوة.

$\begin{array}{r}{\log }_{\sqrt{a}}\mathbf{3}={\log }_a\mathit{x}\\ \frac{{\log }_{a}3}{{\log }_a\sqrt{a}}={\log }_{a}x\\ \frac{{\log }_{a}3}{\frac{1}{2}}={\log }_{a}x\\ 2{\log }_{a}3={\log }_{a}x\\ {\log }_a{3}^2={\log }_{a}x\\ 3^2=x\\ 9=x\end{array}$

38) اكتب: منحنى $g\left(x\right)={\log }_{b}x$ هو في حقيقة الأمر تحويل هندسي لمنحنى f(x)=log x، استعمل صيغة تغيير الأساس لتجد التحويل الهندسي الذي يربط بين هذين المنحنيين، ثم اشرح تأثير اختلاف قيم b على منحنى اللوغاريتم العشري.

${\log }_{b}x=\frac{\log x}{\log \mathit{b}}=\frac{1}{\log \mathit{b}}=\log x$

لذا اللوغاريتم ذو الأساس b هو حاصل ضرب ثابت في اللوغاريتم الطبيعي المناظر له.

39) برهان: أوجد قيمة كل من 27 log³ و3 log²⁷ واكتب تخميناً حول العلاقة بين log_ba , log_ab، وبرهن تخمينك.

$\begin{array}{rl}& {\log }_{27}3=\frac{1}{3},{\log }_{3}27=3,{\log }_{a}b=1/{\log }_{b}a\\ & {\log }_{a}b=\frac{{\log }_{b}b}{{\log }_{b}a}=\frac{1}{{\log }_{b}a}\end{array}$

40) اكتب: فسر العلاقة بين الأسس واللوغاريتمات، وضمن تفسيرك أمثلة شبيهة بتلك التي توضح كيفية حل معادلات لوغاريتمية باستعمال الأسس، وحل معادلات أسية باستعمال اللوغاريتمات.

• اللوغاريتمات هي أسس ولحل معادلاتها اكتب كلاً من الطرفين بالصورة الأسية وحلها باستعمال خاصية المعكوس للأسس واللوغاريتمات.
• ولحل معادلة أسية: باستعمال خاصية المساواة للدوال اللوغاريتمية وخاصية القوة في اللوغاريتمات.