بسط كل عبارة مما يأتي:

$\frac{{\tan }^2\theta {\csc }^2\theta -1}{{\sec }^2\theta }$

$\begin{array}{rl}& \frac{ta{n}^2\theta cs{c}^2\theta -1}{se{c}^2\theta }=\frac{\frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }\times \frac{1}{si{n}^2\theta }-1}{\frac{1}{co{s}^2\theta }}\\ =& \frac{1-co{s}^2\theta }{co{s}^2\theta }\times co{s}^2\theta =1-co{s}^2\theta =si{n}^2\theta \end{array}$

$\frac{\sec \theta }{\sin \theta }(1-{\cos }^2\theta )$

$\begin{array}{rl}& \frac{sec\theta }{sin\theta }(1-co{s}^2\theta )=\frac{sec\theta }{sin\theta }\times si{n}^2\theta \\ =& sec\theta \times sin\theta =\frac{1}{cos\theta }\times \frac{sin\theta }{1}=tan\theta \end{array}$

حل أسئلة تحقق من فهمك

1A) اوجد القيمة الدقيقة ل sin θ إذا كان ${270}^{\circ }<\theta <{360}^{\circ },\cos \theta =\frac{1}{3}$.

$\begin{array}{rl}& {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1\\ & \therefore {\sin }^2\theta +\frac{1}{3}=1\\ & \therefore {\sin }^2\theta =1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\\ & \therefore \sin \theta =\pm \frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}$

وحيث θ تقع في الربع الرابع فإن $\therefore \sin \theta =-\frac{\sqrt{6}}{3}$

1B) أوجد القيمة الدقيقة ل sec θ إذا كان ${180}^{\circ }<\theta <{270}^{\circ },\sin \theta =-\frac{2}{7}$.

$\begin{array}{rl}& {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1\\ & \therefore \frac{-2}{7}+{\cos }^2\theta =1\\ & \therefore {\cos }^2\theta =1+\frac{2}{7}=\frac{9}{7}\\ & \therefore \cos \theta =\pm \frac{3}{\sqrt{7}}\end{array}$

وحيث θ تقع في الربع الثالث فإن $\therefore \cos \theta =-\frac{3}{\sqrt{7}}=-\frac{3\sqrt{7}}{7}$

بسط كل عبارة مما يأتي:

2A) $\frac{{\tan }^2\theta {\csc }^2\theta -1}{{\sec }^2\theta }$

$\begin{array}{rl}& \frac{ta{n}^2\theta cs{c}^2\theta -1}{se{c}^2\theta }=\frac{\frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }\times \frac{1}{si{n}^2\theta }-1}{\frac{1}{co{s}^2\theta }}\\ =& \frac{1-co{s}^2\theta }{co{s}^2\theta }\times co{s}^2\theta =1-co{s}^2\theta =si{n}^2\theta \end{array}$

2B) $\frac{\sec \theta }{\sin \theta }(1-{\cos }^2\theta )$

$\begin{array}{rl}& \frac{sec\theta }{sin\theta }(1-co{s}^2\theta )=\frac{sec\theta }{sin\theta }\times si{n}^2\theta \\ =& sec\theta \times sin\theta =\frac{1}{cos\theta }\times \frac{sin\theta }{1}=tan\theta \end{array}$

3) تعلم أن مقدار العزم (τ) يساوي حاصل ضرب القوة (F) في ذراعها، ويعطى بالمعادلة، $\tau =Fr\sin \theta$ أعد كتابة المعادلة السابقة بدلالة (F).

$\begin{array}{rl}& T=frsin\theta \\ & \frac{T}{rsin\theta }=\frac{frsin\theta }{rsin\theta }\\ & f=\frac{T}{rsin\theta }\end{array}$