أثبت صحة المتطابقة $\cdot {\csc }^2\theta -{\cot }^2\theta =\cot \theta \tan \theta$

$\begin{array}{c}cs{c}^2\theta -co{t}^2\theta =\left(\frac{1}{si{n}^2\theta }-\frac{co{s}^2}{si{n}^2\theta }\right)=\left(\frac{1-co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }\right)=\frac{si{n}^2\theta }{si{n}^2\theta }=1\\ cot\theta -tan\theta =\left(\frac{cos\theta }{sin\theta }\times \frac{sin\theta }{cos\theta }\right)=1\end{array}$

حل أسئلة تحقق من فهمك

1) أثبت صحة المتطابقة ${\cot }^2\theta -{\cos }^2\theta ={\cot }^2\theta {\cos }^2\theta$.

$\begin{array}{rl}& co{t}^2\theta -co{s}^2\theta \\ & =\frac{co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }-co{s}^2\theta =co{s}^2\theta \left(\frac{1}{si{n}^2\theta }-1\right)\\ & =co{s}^2\theta (cs{c}^2\theta -1)=co{s}^2\theta co{t}^2\theta \end{array}$

2) أي مما يأتي يكافئ العبارة ${\tan }^2\theta ({\cot }^2\theta -{\cos }^2\theta )$؟

• cot ² θ
• tan ² θ
• cos ² θ
• sin ² θ

الشرح:

$\begin{array}{rl}& {\tan }^2\theta ({\cot }^2\theta -{\cos }^2\theta )=\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }\left(\frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }-{\cos }^2\theta \right)\\ =& \frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }\left(\frac{{\cos }^2\theta -{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta }{{\sin }^2\theta }\right)=1-{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta \end{array}$

3) أثبت صحة المتطابقة $\cdot {\csc }^2\theta -{\cot }^2\theta =\cot \theta \tan \theta$

$\begin{array}{c}cs{c}^2\theta -co{t}^2\theta =\left(\frac{1}{si{n}^2\theta }-\frac{co{s}^2}{si{n}^2\theta }\right)=\left(\frac{1-co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }\right)=\frac{si{n}^2\theta }{si{n}^2\theta }=1\\ cot\theta -tan\theta =\left(\frac{cos\theta }{sin\theta }\times \frac{sin\theta }{cos\theta }\right)=1\end{array}$