برهن صحة متطابقتي فيثاغورس الثانية والثالثة.

$\begin{array}{rl}& 1+{\tan }^2\theta =1+\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{1}{{\cos }^2\theta }={\sec }^2\theta \\ & 1+{\cot }^2\theta =1+\frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }=\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }=\frac{1}{{\sin }^2\theta }={\csc }^2\theta \end{array}$

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

44) اكتشف المختلف: حدد المعادلة المختلفة عن المعادلات الثلاث الأخرى، وضح إجابتك.

${\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta =2{\sin }^2\theta$، باقي المعادلات هي متطابقة فيثاغورث ولكن هذه المعادلة ليست منها.

45) تبرير: بين لماذا ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ متطابقة ولكن $\sin \theta =\sqrt{1-\cos \theta }$ ليست متطابقة.

لأن ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ هي متطابقة فيثاغورث و $\sin \theta =\sqrt{1-\cos \theta }$ فليست منها.

46) اكتب سؤالاً: يجد زميلك صعوبة في برهنة متطابقة مثلثية تتضمن قوى دوال مثلثية، اكتب سؤالاً قد يساعده في ذلك.

هل استعملت المتطابقة ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$؟

47) تبرير: اكتب موضحاً لماذا يفضل إعادة كتابة المتطابقات المثلثية بدلالة الجيب (sin θ) وجيب التمام (cos θ) في معظم الأحيان.

لأنهما أكثر دالتين مثلثتين شيوعاً استخداماً.

48) تحدٍ: إذا علمت أن β, α زاويتان متتامتان، فبرهن أن: $\cdot {\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta =1$

β, α زاويتان متتامتان لذا فإن:

$\begin{array}{rl}& {\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta ={\cos }^2\alpha +{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\\ & ={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\end{array}$

49) تبرير: برهن صحة متطابقتي فيثاغورس الثانية والثالثة.

$\begin{array}{rl}& 1+{\tan }^2\theta =1+\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{1}{{\cos }^2\theta }={\sec }^2\theta \\ & 1+{\cot }^2\theta =1+\frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }=\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }=\frac{1}{{\sin }^2\theta }={\csc }^2\theta \end{array}$