أوجد القيمة الدقيقة ل $\sin \frac{\theta }{2}$ ، علماً بأن $\theta , \sin \theta =\frac{2}{3}$ تقع في الربع الثاني.

$sin\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-cos\theta }{2}}=\frac{\sqrt{18+6\sqrt{5}}}{6}$

حل أسئلة تحقق من فهمك

1) أوجد القيمة الدقيقة ل $\sin 2\theta$، إذا كان ${90}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }\cdot \cos \theta =-\frac{1}{3}$.

$sin2\theta =2sin\theta cos\theta =2\times \frac{2\sqrt{2}}{3}\times \frac{-1}{3}=-\frac{4\sqrt{2}}{9}$

أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي علما بأن $:\cos \theta =-\frac{1}{3};{90}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$

cos 2θ (2A

$cos2\theta =1-2si{n}^2\theta =1-2\times \frac{8}{9}=-\frac{7}{9}$

tan 2θ (2B

$tan2\theta =\frac{2tan\theta }{1-ta{n}^2\theta }=\frac{4\sqrt{2}}{7}$

3) أوجد القيمة الدقيقة ل $\sin \frac{\theta }{2}$، علماً بأن $\theta , \sin \theta =\frac{2}{3}$ تقع في الربع الثاني.

$sin\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-cos\theta }{2}}=\frac{\sqrt{18+6\sqrt{5}}}{6}$

يعطى تسارع الجاذبية الأرضية عند مستوى سطح البحر (بالسنتمتر لكل ثانية تربيع) تقريباً بالصيغة: g = 978 + 5.17 sin 2 L - 0.014 sin L cos L، حيث L تمثل زاوية دائرة العرض.

4A) بسط هذه العلاقة مستعملاً المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية.

$\begin{array}{c}g=978+5.17{\sin }^{2}L-0.014\sin L\cos L\\ =978+5.17(1-\cos 2L)-0.014\left(\frac{\sin 2L}{2}\right)\\ =978+5.17-5.17\cos 2L-0.028\sin 2L\\ g=983.17-5.17\cos 2L-0.028\sin 2L\end{array}$

4B) استعمل الصيغة المبسطة التي أوجدتها في الفرع 4A، واحسب قيمة g عندما °45 = L.

$\begin{array}{c}g=983.17-5.17\cos 90-0.028\sin 90\\ g=983.17-0.028\sin 90=983.142\end{array}$

5) أثبت صحة المتطابقة: $.4{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}2x=4{\cos }^{4}x$

$\begin{array}{c}4co{s}^{2}x-si{n}^{2}2x=4co{s}^{2}x-4si{n}^{2}xco{s}^{2}x=4co{s}^{2}x(1-si{n}^{2}x)\\ =4co{s}^{2}xco{s}^{2}x=4co{s}^{4}x\end{array}$