حل أسئلة تدرب وحل المسائل

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل من $\sin 2\theta ,\cos 2\theta ,\sin \frac{\theta }{2},\cos \frac{\theta }{2}$ إذا كان:

1) $\sin \theta =\frac{1}{4};0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$

$\begin{array}{r}\therefore sin\theta =\frac{1}{4}\therefore si{n}^2\theta =\frac{1}{16},\therefore co{s}^2\theta =1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16},\therefore cos\theta =\frac{\sqrt{15}}{4}\\ cos2\theta =1-2si{n}^2\theta =1-2\times \frac{1}{16}=\frac{7}{8}\\ sin2\theta =1-si{n}^2\theta =2\times \frac{1}{4}\times \frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{8}\\ cos\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1+cos\theta }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{15}}{4}}{2}=\pm \frac{\sqrt{8+2\sqrt{15}}}{4}}\\ sin\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-cos\theta }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{15}}{4}}{2}=\pm \frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{4}}\end{array}$

2) $\sin \theta =\frac{4}{5};{90}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$

$\begin{array}{r}sin\theta =\frac{4}{5},\therefore si{n}^2\theta =\frac{16}{25}\therefore co{s}^2\theta =1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}،\therefore cos\theta =-\frac{3}{5}\\ cos2\theta =1-2si{n}^2\theta =1-2\times \frac{16}{25}=-\frac{7}{25}\\ sin2\theta =2sin\theta cos\theta =2\times \frac{4}{5}\times \frac{-3}{5}=-\frac{24}{25}\\ cos\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1+cos\theta }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\frac{-3}{5}}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1}{5}}\\ sin\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-cos\theta }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\frac{-3}{5}}{2}}=\pm \sqrt{\frac{4}{5}}\end{array}$

3) $\cos \theta =\frac{3}{5};{270}^{\circ }<\theta <{360}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}\therefore cos\theta =\frac{3}{5},\therefore co{s}^2\theta =\frac{9}{25}& \therefore si{n}^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25},\therefore sin\theta =-\frac{4}{5}\\ cos2\theta =1-2si{n}^2\theta =1-2\times \frac{16}{25}& =-\frac{7}{25}\\ sin2\theta =2sin\theta cos\theta =2\times \frac{-4}{5}\times \frac{3}{5}& =-\frac{24}{25}\\ cos\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1+cos\theta }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}& =\pm \sqrt{\frac{4}{5}}\\ sin\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-cos\theta }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}& =\pm \sqrt{\frac{2}{5}}\end{array}$

4) $\tan \theta =-\frac{8}{15};{90}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$

$\begin{array}{r}\therefore tan\theta =\frac{-8}{15}\therefore cos\theta =-\frac{15}{17}،\therefore sin\theta =\frac{8}{17}\cdot \therefore si{n}^2\theta =\frac{64}{289}\\ cos2\theta =1-2si{n}^2\theta =1-2\times \frac{64}{289}=\frac{161}{289}\\ sin2\theta =2sin\theta cos\theta =2\times \frac{8}{17}\times \frac{-15}{17}=-\frac{240}{289}\\ cos\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1+cos\theta }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\frac{-\sqrt{15}}{17}}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1}{17}}\\ sin\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-cos\theta }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\frac{-\sqrt{15}}{17}}{2}}=\pm \frac{\sqrt{16}}{17}=\pm \frac{4}{\sqrt{17}}\end{array}$

5) $\sin \theta =\frac{2}{3};{90}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}sin\theta =\frac{2}{3}،\therefore si{n}^2\theta =\frac{4}{9}،\therefore co{s}^2\theta & =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9},\therefore cos\theta =-\frac{\sqrt{5}}{3}\\ cos2\theta & =1-2si{n}^2\theta =1-2\times \frac{4}{9}=\frac{1}{9}\\ sin2\theta =2sin\theta cos\theta =2\times \frac{2}{3}\times \frac{-\sqrt{5}}{3}& =-\frac{4\sqrt{5}}{9}\\ cos\frac{\theta }{2}& =\sqrt{\frac{1+cos\theta }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\frac{-\sqrt{5}}{3}}{2}}=\pm \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{6}}\\ sin\frac{\theta }{2}& =\sqrt{\frac{1-cos\theta }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\frac{-\sqrt{5}}{3}}{2}}=\pm \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{6}}\end{array}$

6) $\sin \theta =-\frac{15}{17};\pi <\theta <\frac{3\pi }{2}$

$\begin{array}{rl}\therefore sin\theta =-\frac{15}{17},\therefore si{n}^2\theta =\frac{225}{289}& \therefore co{s}^2\theta =1-\frac{225}{289}=\frac{64}{289}\\ \therefore cos\theta =-\frac{8}{17}& \\ cos2\theta =1-2si{n}^2\theta =1-2\times \frac{225}{289}=-\frac{161}{289}& \\ sin2\theta =2sin\theta cos\theta =2\times \frac{-15}{17}\times \frac{-8}{17}=\frac{240}{289}& \\ cos\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1+cos\theta }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\frac{-8}{17}}{2}}=\pm \sqrt{\frac{9}{14}}& \\ sin\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-cos\theta }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\frac{-8}{17}}{2}}=\pm \sqrt{\frac{25}{14}}& \end{array}$

7) $\tan \theta =-2;\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$

$\begin{array}{rl}\therefore tan\theta =-2،\therefore ta{n}^2\theta =4،\therefore se{c}^2\theta =5& \therefore sec\theta =-\sqrt{5}\\ \therefore cos\theta =-\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \therefore sin\theta =\frac{2}{\sqrt{5}},\therefore si{n}^2\theta =\frac{4}{5}& \\ cos2\theta =1-2si{n}^2\theta =1-2\times \frac{4}{5}=-\frac{3}{5}& \\ sin2\theta =2sin\theta cos\theta =2\times \frac{2}{\sqrt{5}}\times \frac{-1}{\sqrt{5}}=-\frac{4}{5}& \\ cos\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1+cos\theta }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\frac{-1}{\sqrt{5}}}{2}}=\pm \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}& \\ sin\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-cos\theta }{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{5}}}{2}}=\pm \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{10}& \end{array}$

أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

8) $\sin \frac{\pi }{8}$

$sin\frac{\pi }{8}=\sqrt{\frac{1-cos\frac{\pi }{4}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

9) cos 15°

$cos15=\sqrt{\frac{1+cos30}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$

10) sin 75°

$sin75=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$

11) tan 165°

$sin165=\sqrt{3}-2$

12) $\tan \frac{5\pi }{12}$

$sin165=2+\sqrt{3}$

13) كرة قدم: ركل لاعب كرة قدم كرة بزاوية قياسها °37 مع سطح الأرض، وبسرعة ابتدائية متجهة مقدارها ft/s 52، إذا كانت المسافة الأفقية d التي تقطعها الكرة تعطى بالصيغة $d=\frac{2v^2\sin \theta \cos \theta }{\mathrm{g}}$. حيث g تسارع الجاذبية الأرضية ويساوي 32ft/s²، و v تمثل السرعة الابتدائية المتجهة.

a) بسط الصيغة مستعملاً المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية.

$d=\frac{V^2\sin 2\theta }{g}$

b) ما المسافة الأفقية d التي تقطعها الكرة باستعمال الصيغة المبسطة؟

d=81ft تقريباً.

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

14) $\tan \theta =\frac{1-\cos 2\theta }{\sin 2\theta }$

$\begin{array}{c}\frac{1-cos2\theta }{sin2\theta }=\frac{1-(1-2si{n}^2\theta )}{2sin\theta cos\theta }=\frac{2si{n}^2\theta }{2sin\theta cos\theta }\\ =\frac{sin\theta }{cos\theta }=tan\theta \end{array}$

15) $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$

$tan\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-cos\theta }{1+cos\theta }}=\frac{1-cos\theta }{1+cos\theta }=\frac{sin\theta }{1+cos\theta }$

16) $\tan 2\theta =\frac{2}{\cot \theta -\tan \theta }$

$\begin{array}{c}\frac{2}{cot\theta -tan\theta }=\frac{2}{cot\theta -tan\theta }\times \frac{tan\theta }{tan\theta }=\frac{2tan\theta }{cot\theta tan\theta -ta{n}^2\theta }\\ =\frac{2tan\theta }{1-ta{n}^2\theta }=tan\theta \end{array}$

17) $\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{2}$

$sin\frac{\theta }{2}cos\frac{\theta }{2}=\frac{2sin\frac{\theta }{2}cos\frac{\theta }{2}}{2}=\frac{sin2\left(\frac{\theta }{2}\right)}{2}=\frac{sin\theta }{2}$

18) عدد ماخ: ترتبط زاوية رأس المخروط الذي تشكله الأمواج الصوتية الناتجة عن اختراق الطائرة لحاجز الصوت بعدد ماخ M (نسبة إلى عالم الفيزياء النمساوي ماخ) وفق العلاقة $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{1}{M}$.

a) عبر عن قيمة العدد M بدلالة دالة جيب التمام.

$\frac{1}{M}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$

b) إذا كان $\cos \theta =\frac{17}{18}$، فاستعمل العبارة التي أوجدتها في a حساب قيمة عدد ماخ.

M=6

19) إلكترونيات: يمر تيار متردد في دائرة كهربائية، إذا كانت شدة التيار الكهربائي I بالأمبير عند الزمن t ثانية هيI₀sin tθ، فإن القدرة P المرتبطة بالمقاومة R تعطى بالصيغة $P=I_0^{2}R{\sin }^{2}t\theta$ عبر عن القدرة بدلالة cos 2tθ.

$P=I_{\circ }^{2}R{\sin }^{2}t\theta =\frac{1}{2}{I}_{\circ }^{2}R-\frac{1}{2}{I}_{\circ }^{2}R\cos 2t\theta$

20) كرة قدم: ركل حسن كرة قدم عدة مرات بسرعة متجهة ابتدائية مقدارها ft/s 95، برهن أن المسافة الأفقية التي قطعتها الكرة متساوية لكل من الزاويتين $\theta ={45}^{\circ }+A,\theta ={45}^{\circ }-A$. استعمل الصيغة المعطاة في التمرين 13.

إذا كانت θ=45+a

$\begin{array}{rl}& d=\frac{v^2\sin 2(45+\alpha )}{g}=\frac{v^2\sin (90+2\alpha )}{g}\\ =& \frac{v^2(\sin 90\cos \alpha +\cos 90\sin \alpha )}{g}=\frac{v^2\cos 2\alpha }{g}\end{array}$

إذا كانت θ=45-a

$\begin{array}{rl}& d=\frac{v^2\sin 2(45-\alpha )}{g}=\frac{v^2\sin (90-2\alpha )}{g}\\ =& \frac{v^2(\sin 90\cos \alpha -\cos 90\sin \alpha )}{g}=\frac{v^2\cos 2\alpha }{g}\end{array}$

أوجد القيم الدقيقة لكل من sin2θ, cos2θ , tan2θ، إذا كان:

21) $\cos \theta =\frac{4}{5};0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$

$\begin{array}{c}\therefore cos\theta =\frac{4}{5}،\therefore co{s}^2\theta =\frac{16}{25}،\therefore si{n}^2\theta =\frac{9}{25},\therefore sin\theta =\frac{3}{5},\\ \therefore tan\theta =\frac{3}{4}\\ cos2\theta =1-2si{n}^2\theta =1-2\times \frac{9}{25}=\frac{7}{25}\\ sin2\theta =2sin\theta cos\theta =2\times \frac{3}{5}\times \frac{4}{5}=\frac{24}{25}\\ tan2\theta =\frac{2tan\theta }{1-ta{n}^2\theta }=\frac{2\times \frac{3}{4}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{24}{7}\end{array}$

22) $\sin \theta =\frac{1}{3};0<\theta <\frac{\pi }{2}$

$\begin{array}{c}\therefore sin\theta =\frac{1}{3}،\therefore si{n}^2\theta =\frac{1}{9}،\therefore co{s}^2\theta =\frac{8}{9}،\therefore cos\theta =\frac{2\sqrt{2}}{3},\\ \therefore tan\theta =\frac{\sqrt{2}}{4}\\ cos2\theta =1-2si{n}^2\theta =1-2\times \frac{1}{9}=\frac{7}{9}\\ sin2\theta =2sin\theta cos\theta =2\times \frac{1}{3}\times \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}\\ tan2\theta =\frac{2tan\theta }{1-ta{n}^2\theta }=\frac{2\times \frac{\sqrt{2}}{4}}{1-\frac{2}{16}}=\frac{4\sqrt{2}}{7}\end{array}$

23) $\tan \theta =-3;{90}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}\therefore sin\theta =\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot \therefore si{n}^2\theta =& \frac{9}{10}،\therefore cos\theta =-\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \therefore tan\theta =-3،\\ & cos2\theta =1-2si{n}^2\theta =1-2\times \frac{9}{10}=-\frac{4}{5}\\ sin2\theta =2sin\theta cos\theta =2\times \frac{3}{\sqrt{10}}\times \frac{-1}{\sqrt{10}}=-\frac{6}{10}=-\frac{3}{5}& \\ & tan2\theta =\frac{2tan\theta }{1-ta{n}^2\theta }=\frac{2\times (-3)}{1-9}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\end{array}$

24) $\sec \theta =-\frac{4}{3};{90}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}\therefore cos\theta =-\frac{3}{4},\therefore co{s}^2\theta =\frac{9}{16}& \therefore si{n}^2\theta =\frac{7}{16}،\therefore sin\theta =\frac{\sqrt{7}}{4},\\ tan\theta =-\frac{\sqrt{7}}{3}& \\ cos2\theta =1-2si{n}^2\theta =1-2\times \frac{7}{16}=\frac{1}{8}& \\ sin2\theta =2sin\theta cos\theta =2\times \frac{\sqrt{7}}{4}\times \frac{-3}{4}=\frac{-3\sqrt{7}}{8}& \\ tan2\theta =\frac{2tan\theta }{1-ta{n}^2\theta }=\frac{2\times \frac{-\sqrt{7}}{3}}{1-\frac{7}{9}}=-3\sqrt{7}& \end{array}$

25) $\cot \theta =\frac{3}{2};{180}^{\circ }<\theta <{270}^{\circ }$

$\begin{array}{r}\therefore sin\theta =-\frac{2}{\sqrt{13}}،\therefore si{n}^2\theta =\frac{4}{13}،\therefore cos\theta =-\frac{3}{\sqrt{13}}،\therefore tan\theta =\frac{2}{3}\\ cos2\theta =1-2si{n}^2\theta =1-2\times \frac{4}{13}=\frac{5}{13}\\ sin2\theta =2sin\theta cos\theta =2\times \frac{-2}{\sqrt{13}}\times \frac{-3}{\sqrt{13}}=\frac{12}{13}\\ tan2\theta =\frac{2tan\theta }{1-ta{n}^2\theta }=\frac{2\times \frac{2}{3}}{1-\frac{4}{9}}=\frac{12}{5}\end{array}$

26) تمثيلات متعددة: ستستكشف في هذه المسألة كيفية إيجاد متطابقة مثلثية اعتماداً على التمثيل البياني للدوال المثلثية.

a) بيانياً: استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل الدالة $f\left(\theta \right)=4(\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}-\cos \theta \sin \frac{\pi }{4})$ بيانياً في الفترة $-2\pi \le \theta \le 2\pi$.

b) تحليلياً: اعتمد على التمثيل البياني في (a) لتخمين دالة بدلالة الجيب تطابق f(θ). ثم أثبت صحتها جبرياً.

$4\sin \left(\theta -\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 4}}\right);4\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=4\left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}-\cos \theta \sin \frac{\pi }{4}\right)$

c) بيانياً: استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل الدالة $g\left(\theta \right)={\cos }^2(\theta -\frac{\pi }{3})-{\sin }^2(\theta -\frac{\pi }{3})$ بيانياً في الفترة $-2\pi \le \theta \le 2\pi$.

d) تحليلياً: اعتمد على التمثيل البياني في (c) لتخمين دالة بدلالة جيب التمام تطابق g(θ). ثم أثبت صحتها جبرياً.

$\begin{array}{c}\cos \left(2\theta -\frac{2\pi }{3}\right);\cos \left(2\theta -\frac{2\pi }{3}\right)=\cos \left[2\left(2\theta -\frac{2\pi }{3}\right)\right]\\ {\cos }^2\left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)-{\sin }^2\left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)\end{array}$