حل المعادلة 4sin2θ + 4cos2θ-8sinθ cosθ = 0، إذا كانت $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$.

$\begin{array}{c}{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta =0\\ {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta =0\\ {\sin }^2\theta (1-{\sin }^2\theta )+2\sin \theta \cos \theta =0\\ 2\sin \theta \cos \theta =1\\ \sin \theta =\frac{1}{2}\cdot \cos \theta =\frac{1}{2}\\ \theta =30\theta =60\end{array}$

حل أسئلة تحقق من فهمك

1A) حل المعادلة cos x sin x = 3cos x، إذا كانت $0\le x\le 2\pi$.

$\begin{array}{c}\cos x\sin x=3\cos x\\ \therefore \cos x\sin x-3\cos x=0\\ \therefore \cos x\sin x-3\cos x=0\\ \therefore \cos x(\sin x-3)=0\\ \therefore \cos \theta =0(\sin \theta -3)=0\\ \therefore \theta =\frac{\pi }{2}\cdot \frac{3\pi }{2}\\ \therefore \theta =\{\frac{\pi }{2}\cdot \frac{3\pi }{2}\}\end{array}$

1B) حل المعادلة 4sin2θ + 4cos2θ-8sinθ cosθ = 0، إذا كانت $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$.

$\begin{array}{c}{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta =0\\ {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta =0\\ {\sin }^2\theta (1-{\sin }^2\theta )+2\sin \theta \cos \theta =0\\ 2\sin \theta \cos \theta =1\\ \sin \theta =\frac{1}{2}\cdot \cos \theta =\frac{1}{2}\\ \theta =30\theta =60\end{array}$

2A) حل المعادلة $4\sin x=2\sin x+\sqrt{2}$.

$\begin{array}{c}4sinx=2sin+\sqrt{2}\\ \therefore 4sinx-2sinx=\sqrt{2}\\ \therefore sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x=45\end{array}$

2B) حل المعادلة $2\sin \theta =-1$ لقيم $\theta$ جميعها، إذا كان قياس θ بالراديان.

$\begin{array}{c}2\sin \theta =-1\\ \therefore \sin \theta =-\frac{1}{2}\\ \therefore \theta =\left\{\frac{7\pi }{6}+2k\pi \cdot \frac{11\pi }{6}+2k\pi \right\}\end{array}$

3) كم من الوقت تحتاج من بداية دوران العجلة، ليكون ارتفاع مقعدك 41 متراً فوق سطح الأرض للمرة الأولى؟

$\begin{array}{c}h=21-20\cos 3\pi t\\ \therefore 41=21-20\cos 3\pi t\\ \therefore 20\cos 3\pi t=-20\\ \therefore \cos 3\pi t=-1\\ \therefore 3\pi t=(2k+1)\pi \\ \therefore t=\frac{2}{3}k+\frac{1}{3}\\ \therefore t=20s\end{array}$

4) حل المعادلة ${\cos }^2\theta +3=4-{\sin }^2\theta$.

متطابقة ولها عدد لا نهائي من الحلول.

$\begin{array}{c}co{s}^2\theta +3=4-si{n}^2\theta \\ co{s}^2\theta +3=(1-si{n}^2\theta )+3=4-sin\theta \end{array}$

حل كل معادلة مما يأتي، لقيم θ جميعها، إذا كان قياس θ بالدرجات:

5A) $\sin \theta \cot \theta -{\cos }^2\theta =0$

لا يوجد لها حل حيث.

$\begin{array}{c}sin\theta cot\theta -co{s}^2\theta =0\\ \therefore sin\theta \frac{cos\theta }{sin\theta }-co{s}^2\theta =0\\ \therefore cos\theta -o{s}^2\theta =0\\ \therefore cos\theta (1-cos\theta )=0\\ \therefore cos\theta =0 وأcos\theta =1\\ \therefore \theta =\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$

5B) $\frac{\cos \theta }{\cot \theta }+2{\sin }^2\theta =0$

$\begin{array}{c}\frac{cos\theta }{cot\theta }+2si{n}^2\theta =0\\ \therefore \frac{cos\theta }{\frac{cos\theta }{sin\theta }}+si{n}^2\theta =0\\ \therefore sin\theta +si{n}^2\theta =0\\ \therefore sin\theta (1+sin\theta )=0\\ \therefore sin\theta =0 وأsin\theta =-1\\ \therefore \theta =\frac{7\pi }{6}+k\pi وأ\theta =\frac{11\pi }{6}+2k\pi \end{array}$