اكتب دالة كثيرة حدود درجتها أقل ما يمكن ومعاملات حدودها أعداد صحيحة إذا كان العددان 2i + 1, -1 من أصفارها.

$\begin{array}{r}P\left(x\right)=(x+1)\left[\right(x-1)+2i]\left[\right(x-1)-2i]\\ =(x+1)\left[\right(x-1{)}^2+4]\\ =(x+1)[x^2-2x+1+4]\\ =(x+1)[x^2-2x+5]\\ =x^3-2x^2+5x+x^2-2x+5\\ =x^3-x^2+3x+5\end{array}$

حل أسئلة تحقق من فهمك

حل كل معادلة مما يأتي واذكر عدد جذورها ونوعها.

1A)

$\begin{array}{rl}& x^3+2x=0\\ & x(x^2+2)=0\end{array}$

$\begin{array}{ll}{x}^2=-2& x=0\\ x=\pm i\sqrt{2}& \end{array}$

للمعادلة جذر حقيقي واحد وجذران تخيليان.

1B)

$\begin{array}{r}{x}^4-16=0\\ (x^2-4)(x^2+4)=0\\ (x-2)(x+2)(x^2+4)=0\end{array}$

$\begin{array}{rrr}(x-2)=0& (x+2)=0& (x^2+4)=0\\ x=2& x=-2& x^2=-4\\ & x=\pm 2i& \end{array}$

للمعادلة جذران حقيقيان وجذران تخيليان.

1C)

$\begin{array}{r}3x^3-x^2+9x-3=0\\ 3x(x^2+3)-(x^2+3)=0\\ (3x-1)(x^2+3)=0\end{array}$

$\begin{array}{rr}(3x-1)=0& (x^2+3)=0\\ 3x=1& x^2=-3\\ x=\frac{1}{3}& x=\pm i\sqrt{3}\end{array}$

للمعادلة جذر حقيقي واحد وجذران تخيليان.

2) اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة، والحقيقية السالبة، والتخيلية للدالة.

$h\left(x\right)=2x^5+x^4+3x^3-4x^2-x+9$

عدد مرات تغيرات إشارات معاملات الدالة h (x) هي 2 أو 0

$h(-x)=2(-x{)}^5+(-x{)}^4+3(-x{)}^3-4(-x{)}^2-(-x)+9$

عدد مرات تغير إشارات معاملات الدالة h (-x) هي 3 أو 1

3) اكتب دالة كثيرة حدود درجتها أقل ما يمكن ومعاملات حدودها أعداد صحيحة إذا كان العددان 2i + 1, -1 من أصفارها.

$\begin{array}{r}P\left(x\right)=(x+1)\left[\right(x-1)+2i]\left[\right(x-1)-2i]\\ =(x+1)\left[\right(x-1{)}^2+4]\\ =(x+1)[x^2-2x+1+4]\\ =(x+1)[x^2-2x+5]\\ =x^3-2x^2+5x+x^2-2x+5\\ =x^3-x^2+3x+5\end{array}$