حلول الأسئلة

السؤال

اكتب دالة كثيرة حدود درجتها أقل ما يمكن ومعاملات حدودها أعداد صحيحة إذا كانت الأعداد المعطاة في كل مما يأتي من أصفارها:

الحل

-4, 4+i

عوامل كثيرة الحدود $(x + 4) (x - 4 - i) (x - 4 + i)$

$\begin{array}{r} P (x) = (x + 4) [(x - 4 - i) (x - 4 + i)] \\ = (x + 4) [((x - 4) - i) ((x - 4) + i)] \\ = (x + 4) [(x - 4)^{2} - i^{2}] \\ = (x + 4) [x^{2} - 8 x + 16 - i^{2}] \\ = (x + 4) [x^{2} - 8 x + 16 + 1] \\ = (x + 4) [x^{2} - 8 x + 17] \\ = x^{3} - 8 x^{2} + 17 x + 4 x^{2} - 32 x + 68 \\ = x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 68 \end{array}$

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة تأكد

تأكد

حَل كل معادلة مما يأتي واذكر عدد جذورها ونوعها:

1)

$\begin{array}{r} x^{2} - 3 x - 10 = 0 \\ (x - 5) (x + 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (x - 5) = 0 & (x + 2) = 0 \\ x = 5 & x = - 2 \end{array}$

للمعادلة جذران حقيقيان.

2)

$\begin{array}{r} x^{3} + 12 x^{2} + 32 x = 0 \\ x (x^{2} + 12 x + 32) = 0 \\ x (x + 4) (x + 8) = 0 \\ x = 0 x = - 4 x = - 8 \end{array}$

للمعادلة ثلاث جذور حقيقية.

3)

$\begin{array}{r} 16 x^{4} - 81 = 0 \\ (4 x^{2} - 9) (4 x^{2} + 9) = 0 \\ (2 x - 3) (2 x + 3) (4 x^{2} + 9) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rrr} (2 x - 3) = 0 & (2 x + 3) = 0 & (4 x^{2} + 9) = 0 \\ x = \frac{3}{2} & x = - \frac{3}{2} & x^{2} = \frac{- 9}{4} \\ x = \pm \frac{3}{2} i \end{array}$

4)

$\begin{array}{r} 0 = x^{3} - 8 \\ 0 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 (1) (4)}}{2 (1)} \end{array}$

$\begin{aligned} x = & \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2} \\ x = & \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2} \\ x = & - 1 \pm i \sqrt{3} \end{aligned}$

$x = - 1 - i \sqrt{3}, x = - 1 + i \sqrt{3}, x = 2$

اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة والحقيقية السالبة والتخيلية لكل دالة مما يأتي:

5)

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 6$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x) هي 3 أو 1

$f (- x) = (- x)^{3} - 2 (- x)^{2} + 2 (- x) - 6$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(-x) هي 0

جدول الأصفار

6)

$f (x) = 6 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} - 5 x - 7$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x) هي 1

$f (- x) = 6 (- x)^{4} + 4 (- x)^{3} - (- x)^{2} - 5 (- x) - 7$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(-x) هي 3 أو 1

جدول الأصفار

7)

$f (x) = 3 x^{5} - 8 x^{3} + 2 x - 4$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x) هي 3 أو 1

$f (- x) = 3 (- x)^{5} - 8 (- x)^{3} + 2 (- x) - 4$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(-x) هي 2 أو 0

جدول

8)

$f (x) = - 2 x^{4} - 3 x^{3} - 2 x - 5$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x) هي 0

$f (- x) = - 2 (- x)^{4} - 3 (- x)^{3} - 2 (- x) - 5$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x-) هي 2 أو 0

جدول الأصفار

اكتب دالة كثيرة حدود درجتها أقل ما يمكن ومعاملات حدودها أعداد صحيحة إذا كانت الأعداد المعطاة في كل مما يأتي من أصفارها:

9)

4, -1, 6

عوامل كثيرة الحدود $(x - 4) (x + 1) (x - 6)$

$\begin{array}{r} P (x) = (x^{2} + x - 4 x - 4) (x - 6) \\ = (x^{2} - 3 x - 4) (x - 6) \\ = x^{3} - 3 x^{2} - 4 x - 6 x^{2} + 18 x + 24 \\ = x^{3} - 9 x^{2} + 14 x + 24 \end{array}$

10)

2, 1, -1, 3

عوامل كثيرة الحدود $(x - 3) (x + 1) (x - 1) (x - 2)$

$\begin{array}{r} p (x) = (x - 3) (x - 2) (x^{2} - 1) \\ = (x^{2} - 5 x + 6) (x^{2} - 1) \\ = x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} - x^{2} + 5 x - 6 \\ = x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6 \end{array}$

11)

-3i، 5, -2

عوامل كثيرة الحدود $(x + 2) (x - 5) (x + 3 i) (x - 3 i)$

$\begin{array}{r} P (x) = (x + 2) (x - 5) (x + 3 i) (x - 3 i) \\ = (x^{2} - 5 x + 2 x - 10) (x + 3 i) (x - 3 i) \\ = (x^{2} - 3 x - 10) [(x + 3 i) (x - 3 i)] \\ = (x^{2} - 3 x - 10) [x^{2} - (3 i)^{2}] \\ = (x^{2} - 3 x - 10) [x^{2} - 9 i^{2}] \\ = (x^{2} - 3 x - 10) (x^{2} + 9) \\ = x^{4} - 3 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x^{2} - 27 x - 90 \\ = x^{4} - 3 x^{3} - x^{2} - 27 x - 90 \end{array}$

12)

-4, 4+i

عوامل كثيرة الحدود $(x + 4) (x - 4 - i) (x - 4 + i)$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

اكتب دالة كثيرة حدود درجتها أقل ما يمكن ومعاملات حدودها أعداد صحيحة إذا كانت الأعداد المعطاة في كل مما يأتي من أصفارها:

الحل

-4, 4+i

عوامل كثيرة الحدود $(x + 4) (x - 4 - i) (x - 4 + i)$

حل أسئلة تأكد

تأكد

حَل كل معادلة مما يأتي واذكر عدد جذورها ونوعها:

1)

$\begin{array}{r} x^{2} - 3 x - 10 = 0 \\ (x - 5) (x + 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (x - 5) = 0 & (x + 2) = 0 \\ x = 5 & x = - 2 \end{array}$

للمعادلة جذران حقيقيان.

2)

$\begin{array}{r} x^{3} + 12 x^{2} + 32 x = 0 \\ x (x^{2} + 12 x + 32) = 0 \\ x (x + 4) (x + 8) = 0 \\ x = 0 x = - 4 x = - 8 \end{array}$

للمعادلة ثلاث جذور حقيقية.

3)

$\begin{array}{r} 16 x^{4} - 81 = 0 \\ (4 x^{2} - 9) (4 x^{2} + 9) = 0 \\ (2 x - 3) (2 x + 3) (4 x^{2} + 9) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rrr} (2 x - 3) = 0 & (2 x + 3) = 0 & (4 x^{2} + 9) = 0 \\ x = \frac{3}{2} & x = - \frac{3}{2} & x^{2} = \frac{- 9}{4} \\ x = \pm \frac{3}{2} i \end{array}$

4)

$\begin{array}{r} 0 = x^{3} - 8 \\ 0 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 (1) (4)}}{2 (1)} \end{array}$

$\begin{aligned} x = & \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2} \\ x = & \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2} \\ x = & - 1 \pm i \sqrt{3} \end{aligned}$

$x = - 1 - i \sqrt{3}, x = - 1 + i \sqrt{3}, x = 2$

اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة والحقيقية السالبة والتخيلية لكل دالة مما يأتي:

5)

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 6$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x) هي 3 أو 1

$f (- x) = (- x)^{3} - 2 (- x)^{2} + 2 (- x) - 6$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(-x) هي 0

جدول الأصفار

6)

$f (x) = 6 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} - 5 x - 7$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x) هي 1

$f (- x) = 6 (- x)^{4} + 4 (- x)^{3} - (- x)^{2} - 5 (- x) - 7$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(-x) هي 3 أو 1

جدول الأصفار

7)

$f (x) = 3 x^{5} - 8 x^{3} + 2 x - 4$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x) هي 3 أو 1

$f (- x) = 3 (- x)^{5} - 8 (- x)^{3} + 2 (- x) - 4$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(-x) هي 2 أو 0

جدول

8)

$f (x) = - 2 x^{4} - 3 x^{3} - 2 x - 5$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x) هي 0

$f (- x) = - 2 (- x)^{4} - 3 (- x)^{3} - 2 (- x) - 5$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x-) هي 2 أو 0

جدول الأصفار

اكتب دالة كثيرة حدود درجتها أقل ما يمكن ومعاملات حدودها أعداد صحيحة إذا كانت الأعداد المعطاة في كل مما يأتي من أصفارها:

9)

4, -1, 6

عوامل كثيرة الحدود $(x - 4) (x + 1) (x - 6)$

$\begin{array}{r} P (x) = (x^{2} + x - 4 x - 4) (x - 6) \\ = (x^{2} - 3 x - 4) (x - 6) \\ = x^{3} - 3 x^{2} - 4 x - 6 x^{2} + 18 x + 24 \\ = x^{3} - 9 x^{2} + 14 x + 24 \end{array}$

10)

2, 1, -1, 3

عوامل كثيرة الحدود $(x - 3) (x + 1) (x - 1) (x - 2)$

$\begin{array}{r} p (x) = (x - 3) (x - 2) (x^{2} - 1) \\ = (x^{2} - 5 x + 6) (x^{2} - 1) \\ = x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} - x^{2} + 5 x - 6 \\ = x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6 \end{array}$

11)

-3i، 5, -2

عوامل كثيرة الحدود $(x + 2) (x - 5) (x + 3 i) (x - 3 i)$

12)

-4, 4+i

عوامل كثيرة الحدود $(x + 4) (x - 4 - i) (x - 4 + i)$