حلول الأسئلة

السؤال

حل كل معادلة مما يأتي واذكر عدد جذورها ونوعها.

الحل

$\begin{array}{r} 4 x^{2} + 1 = 0 \\ x^{2} = - \frac{1}{4} \\ x^{2} = - \frac{1}{4} \\ x = \pm \sqrt{- \frac{1}{4}} \\ x = \pm \frac{1}{2} i \end{array}$

للمعادلة جذران تخيليان.

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي واذكر عدد جذورها ونوعها.

13)

$\begin{array}{r} 4 x^{2} + 1 = 0 \\ x^{2} = - \frac{1}{4} \\ x^{2} = - \frac{1}{4} \\ x = \pm \sqrt{- \frac{1}{4}} \\ x = \pm \frac{1}{2} i \end{array}$

للمعادلة جذران تخيليان.

14)

$\begin{matrix} 2 x^{2} - 5 x + 14 = 0 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 (2) (14)}}{2 (2)} \\ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 112}}{4} \\ x = \frac{5 \pm \sqrt{- 87}}{4} \end{matrix}$

15)

$\begin{array}{r} - 3 x^{2} - 5 x + 8 = 0 \\ - 3 x^{2} + 3 x - 8 x + 8 = 0 \\ (- 3 x^{2} + 3 x) + (- 8 x + 8) = 0 \\ - 3 x (x - 1) - 8 (x - 1) = 0 \\ (- 3 x - 8) (x - 1) = 0 \end{array}$

$(- 3 x - 8) = 0 (x - 1) = 0$

$x = - \frac{8}{3} x = 1$

للمعادلة جذران تخيليان.

16)

$\begin{array}{r} 8 x^{3} - 27 = 0 \\ (2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (2 x - 3) = 0 & (4 x^{2} + 6 x + 9) = 0 \\ 2 x = 3 & x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 (4) (9)}}{2 (4)} \end{array}$

$x = \frac{3}{2} x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{8}$

$\begin{aligned} x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{8} \\ x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8} \\ x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4} \end{aligned}$

للمعادلة جذر حقيقي واحد وجذران تخيليان.

17)

$\begin{array}{r} 16 x^{4} - 625 = 0 \\ (2 x)^{4} - (5)^{4} = 0 \\ {((2 x)^{2})}^{2} - {((5)^{2})}^{2} = 0 \\ ((2 x)^{2} - (5)^{2}) ((2 x)^{2} + (5)^{2}) = 0 \\ (2 x - 5) (2 x + 5) ((2 x)^{2} + (5)^{2}) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rrr} (2 x + 5) = 0 & (2 x - 5) = 0 & ((2 x)^{2} + (5)^{2}) = 0 \\ x = - \frac{5}{2} & x = \frac{5}{2} & x^{2} = - \frac{25}{4} \end{array}$

$x = \pm \frac{5}{2} i$

18)

$\begin{array}{r} x^{3} - 6 x^{2} + 7 x = 0 \\ x (x^{2} - 6 x + 7) = 0 \\ (x^{2} - 6 x + 7) = 0 \\ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (1) (7)}}{2 (1)} \\ x = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} \\ x = 3 \pm \sqrt{2} \end{array}$

للمعادلة ثلاث جذور حقيقية.

19)

$\begin{array}{r} x^{5} - 8 x^{3} + 16 x = 0 \\ x (x^{4} - 8 x^{2} + 16) = 0 \\ x {(x^{2} - 4)}^{2} = 0 \\ x [(x + 2) (x - 2)]^{2} = 0 \\ x (x + 2)^{2} (x - 2)^{2} = 0 \\ x (x + 2) (x + 2) (x - 2) (x - 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{lllll} x = - 2 & x = - 2 & x = 2 & x = 2 & x = 0 \end{array}$

للمعادلة خمسة جذور حقيقية.

20)

$\begin{array}{r} x^{5} + 2 x^{3} + x = 0 \\ x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0 \\ x {(x^{2} + 1)}^{2} = 0 \\ x (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) = 0 \end{array}$

$\begin{aligned} (x^{2} + 1) & = 0 & (x^{2} + 1) & = 0 & x = 0 \\ x^{2} & = - 1 & x^{2} & = - 1 \\ x & = \pm i & x & = \pm i \end{aligned}$

اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة والحقيقية السالبة والتخيلية لكل دالة مما يأتي:

21)

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 7$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x) هي 2 أو 0

$f (- x) = (- x)^{4} - 5 (- x)^{3} + 2 (- x)^{2} + 5 (- x) + 7$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(-x) هي 2 أو 0

جدول الأصفار

22)

$f (x) = 2 x^{3} - 7 x^{2} - 2 x + 12$

0 أو 2

23)

$f (x) = - 3 x^{5} + 5 x^{4} + 4 x^{2} - 8$

0 أو 2

2 أو 4

24)

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 5 x + 19$

0 أو 2

0 أو 2 أو 4

25)

$f (x) = 4 x^{6} - 5 x^{4} - x^{2} + 24$

0 أو 2

2 أو 4 أو 6

26)

$f (x) = - x^{5} + 14 x^{3} + 18 x - 36$

0 أو 2

2 أو 4

اكتب دالة كثيرة حدود درجتها أقل ما يمكن ومعاملات حدودها أعداد صحيحة إذا كانت الأعداد المعطاة في كل مما يأتي من أصفارها:

27)

$\begin{matrix} 5, - 2, - 1 \\ y = x^{3} - 2 x^{2} - 13 x - 10 \end{matrix}$

28)

$\begin{matrix} - 4, - 3, 5 \\ y = x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 60 \end{matrix}$

29)

$\begin{matrix} - 1, - 1, 2 i \\ y = x^{4} + 2 x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4 \end{matrix}$

30)

$- 3, 1, - 3 i$

$y = x^{4} + 2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 27$

31)

$0, - 5, 3 + i$

$y = x^{4} - x^{3} - 20 x^{2} + 50 x$

32)

$\begin{array}{r} - 2, - 3, 4 - 3 i \\ y = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 77 x + 150 \end{array}$

اكتب بجانب التمثيل البياني للدالة الرمز الذي يمثل أصفارها في كل مما يأتي:

33)

$- 4, 3, i, - 1$

التمثيل البياني

34)

$- 4, 3$

التمثيل البياني

35)

$- 3, 4, i, - i$

التمثيل البياني

حدد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة، والحقيقية السالبة، والتخيلية لكل من الدالتين الممثلتين بيانياً فيما يأتي وضح إجابتك.

36)

التمثيل البياني

الدرجة 3

ليس هنالك جذور حقيقية موجبة هنالك جذر حقيقي سالب وهنالك جذران تخيليان لأن التمثيل البياني لا يقطع الجزء الموجب من المحور x ويقطعه مرة واحدة فقط في الجزء السالب

ولأن درجة كثيرة الحدود 3 فإن للدالة صفرين تخيليين.

37)

التمثيل البياني

الدرجة 5

هنالك جذر حقيقي موجب وجذران حقيقيان سالبان وجذران تخيليان لأن التمثيل البياني يقطع الجزء الموجب من المحور x مرة واحدة ويقطعه مرتان في الجزء السالب ولأن درجة كثيرة الحدود 5 فإن للدالة صفرين تخيليين.

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

حل كل معادلة مما يأتي واذكر عدد جذورها ونوعها.

الحل

$\begin{array}{r} 4 x^{2} + 1 = 0 \\ x^{2} = - \frac{1}{4} \\ x^{2} = - \frac{1}{4} \\ x = \pm \sqrt{- \frac{1}{4}} \\ x = \pm \frac{1}{2} i \end{array}$

للمعادلة جذران تخيليان.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي واذكر عدد جذورها ونوعها.

13)

$\begin{array}{r} 4 x^{2} + 1 = 0 \\ x^{2} = - \frac{1}{4} \\ x^{2} = - \frac{1}{4} \\ x = \pm \sqrt{- \frac{1}{4}} \\ x = \pm \frac{1}{2} i \end{array}$

للمعادلة جذران تخيليان.

14)

15)

$\begin{array}{r} - 3 x^{2} - 5 x + 8 = 0 \\ - 3 x^{2} + 3 x - 8 x + 8 = 0 \\ (- 3 x^{2} + 3 x) + (- 8 x + 8) = 0 \\ - 3 x (x - 1) - 8 (x - 1) = 0 \\ (- 3 x - 8) (x - 1) = 0 \end{array}$

$(- 3 x - 8) = 0 (x - 1) = 0$

$x = - \frac{8}{3} x = 1$

للمعادلة جذران تخيليان.

16)

$\begin{array}{r} 8 x^{3} - 27 = 0 \\ (2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (2 x - 3) = 0 & (4 x^{2} + 6 x + 9) = 0 \\ 2 x = 3 & x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 (4) (9)}}{2 (4)} \end{array}$

$x = \frac{3}{2} x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{8}$

$\begin{aligned} x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{8} \\ x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8} \\ x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4} \end{aligned}$

للمعادلة جذر حقيقي واحد وجذران تخيليان.

17)

$\begin{array}{rrr} (2 x + 5) = 0 & (2 x - 5) = 0 & ((2 x)^{2} + (5)^{2}) = 0 \\ x = - \frac{5}{2} & x = \frac{5}{2} & x^{2} = - \frac{25}{4} \end{array}$

$x = \pm \frac{5}{2} i$

18)

للمعادلة ثلاث جذور حقيقية.

19)

$\begin{array}{lllll} x = - 2 & x = - 2 & x = 2 & x = 2 & x = 0 \end{array}$

للمعادلة خمسة جذور حقيقية.

20)

$\begin{array}{r} x^{5} + 2 x^{3} + x = 0 \\ x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0 \\ x {(x^{2} + 1)}^{2} = 0 \\ x (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) = 0 \end{array}$

$\begin{aligned} (x^{2} + 1) & = 0 & (x^{2} + 1) & = 0 & x = 0 \\ x^{2} & = - 1 & x^{2} & = - 1 \\ x & = \pm i & x & = \pm i \end{aligned}$

اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة والحقيقية السالبة والتخيلية لكل دالة مما يأتي:

21)

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 7$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x) هي 2 أو 0

$f (- x) = (- x)^{4} - 5 (- x)^{3} + 2 (- x)^{2} + 5 (- x) + 7$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(-x) هي 2 أو 0

جدول الأصفار

22)

$f (x) = 2 x^{3} - 7 x^{2} - 2 x + 12$

0 أو 2

23)

$f (x) = - 3 x^{5} + 5 x^{4} + 4 x^{2} - 8$

0 أو 2

2 أو 4

24)

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 5 x + 19$

0 أو 2

0 أو 2 أو 4

25)

$f (x) = 4 x^{6} - 5 x^{4} - x^{2} + 24$

0 أو 2

2 أو 4 أو 6

26)

$f (x) = - x^{5} + 14 x^{3} + 18 x - 36$

0 أو 2

2 أو 4

اكتب دالة كثيرة حدود درجتها أقل ما يمكن ومعاملات حدودها أعداد صحيحة إذا كانت الأعداد المعطاة في كل مما يأتي من أصفارها:

27)

$\begin{matrix} 5, - 2, - 1 \\ y = x^{3} - 2 x^{2} - 13 x - 10 \end{matrix}$

28)

$\begin{matrix} - 4, - 3, 5 \\ y = x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 60 \end{matrix}$

29)

$\begin{matrix} - 1, - 1, 2 i \\ y = x^{4} + 2 x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4 \end{matrix}$

30)

$- 3, 1, - 3 i$

$y = x^{4} + 2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 27$

31)

$0, - 5, 3 + i$

$y = x^{4} - x^{3} - 20 x^{2} + 50 x$

32)

$\begin{array}{r} - 2, - 3, 4 - 3 i \\ y = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 77 x + 150 \end{array}$

اكتب بجانب التمثيل البياني للدالة الرمز الذي يمثل أصفارها في كل مما يأتي:

33)

$- 4, 3, i, - 1$

التمثيل البياني

34)

$- 4, 3$

التمثيل البياني

35)

$- 3, 4, i, - i$

التمثيل البياني

حدد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة، والحقيقية السالبة، والتخيلية لكل من الدالتين الممثلتين بيانياً فيما يأتي وضح إجابتك.

36)

التمثيل البياني

الدرجة 3

ولأن درجة كثيرة الحدود 3 فإن للدالة صفرين تخيليين.

37)

التمثيل البياني

الدرجة 5