جميع دوال كثيرات الحدود التي تزيد درجتها على 2 لها على الأقل صفر حقيقي سالب.

$f\left(x\right)=x^4+4x^2+4$

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

38) مسألة مفتوحة: في كل مما يأتي مثل بيانياً دالة كثيرة الحدود بحيث يكون لها:

a) ثلاث أصفار حقيقية وصفران تخيليان.

b) أربعة أصفار حقيقية.

c) صفران تخيليان.

39) تحدٍ: اكتب معادلة على صورة حاصل ضرب عوامل دالة كثيرة حدود من الدرجة الخامسة لها صفران تخيليان وصفر غير صحيح وصفران غير نسبيين ووضح إجابتك.

$f\left(x\right)=(x+2i)(x-2i)(3x+5)(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$

استعمل المرافقات للتخيلي.

40) حدد أي المعادلات الآتية تختلف عن الأخريات ووضح إجابتك:

$r^4+1=0$ جميع حلول هذه المعادلة أعداد تخيلية أما المعادلات البقية فلها حلول حقيقية.

41) تبرير: أكتب مثالاً مضاداً لكل تعبير مما يأتي:

a) جميع دوال كثيرات الحدود التي تزيد درجتها على 2 لها على الأقل صفر حقيقي سالب.

$f\left(x\right)=x^4+4x^2+4$

b) جميع دوال كثيرات الحدود التي تزيد درجتها على 2 لها على الأقل صفر حقيقي موجب.

$f\left(x\right)=x^3+6x^2+9x$

42) اكتب: وضح لزميلك كيف تستعمل قانون ديكارت للإشارات لتحديد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة الممكنة لدالة كثيرة الحدود : $f\left(x\right)=x^4-2x^3+6x^2+5x-12$

لكي تقرر عدد الجذور الحقيقية الموجبة نقرر عدد مرات تغير إشارات الحدود أثناء التحرك من اليسار إلى اليمين وفي هذه الحالة هنالك 3 تغيرات في الإشارة لذا فإن هنالك 3 جذور حقيقية موجبة أو جذر واحد حقيقي موجب.

ولتقرر عدد الجذور الحقيقية السالبة أوجد الدالة f(-x) ثم أبحث عن عدد مرات التغير في إشارتها أثناء التحرك من اليسار إلى اليمين وفي هذه الحالة تجد أن هنالك تغير واحد ولذا تستنتج وجود جذر حقيقي واحد سالب.

43) استعمل التمثيل البياني للدالة: $f\left(x\right)=x^5+x^4-3x^3-3x^2-4x-4$ وحدد أياً مما يأتي لا يعد عاملاً لكثيرة الحدود: $x^5+x^4-3x^3-3x^2-4x-4$ ؟

الاختيار الصحيح B.