اكتب برهاناً احداثياً للعبارة الآتية: إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع فإن أضلاعه المتقابلة متطابقة.

المعطيات: ABCD متوازي أضلاع.

المطلوب: AB=CD , AD = BC

برهان احداثي:

$\begin{array}{l}\mathrm{AB}=\sqrt{\left((a-0{)}^2+(0-0{)}^2\right)}=\mathrm{a}\\ \\ \mathrm{DC}=\sqrt{\left((\mathrm{b}+\mathrm{a}-\mathrm{b}{)}^2+(\mathrm{c}-\mathrm{c}{)}^2\right)}=\mathrm{a}\\ \\ \mathrm{AD}=\sqrt{\left((\mathrm{c}-0{)}^2+(\mathrm{b}-0{)}^2\right)}=\sqrt{\left({\mathrm{c}}^2+{\mathrm{b}}^2\right)}\\ \\ \mathrm{BC}=\sqrt{\left(\right(\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{a}){)}^2+(\mathrm{c}-0{)}^2}=\sqrt{\left({\mathrm{c}}^2+{\mathrm{b}}^2\right)}\\ \end{array}$

بما أن AB = DC وAD =BC فإن AB = DC وAD = BC.

تحقق من فهمك

1A)

الحل:

نعم؛ لأن كل ضلعين متقابلين فيه متطابقان.

B2)

الحل:

لا؛ لأنه يحقق أي واحد من اختبارات متوازي الأضلاع.

2) لوحات: عد إلى فقرة "لماذا"؟ بداية الدرس وضح لماذا يكون خطي القص أعلى وأسفل شريحة متوازيين.

الحل:

بما أن كل ضلعين متقابلين في الشكل الرباعي ABCD متطابقان فإن ABCD متوازي أضلاع إذن $AB \parallel DC$.

أوجد قمتي x,y في كل مما يأتي بحيث يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع.

3A)

الحل:

كل زاويتين متقابلتين متطابقين.

$\begin{array}{l}7x=56\\ \\ x=8\\ \\ 5y-26=4y+4\\ \\ y=4+26=30\end{array}$

3B)

الحل:

$\begin{array}{l}4y-9=2y+5\\ \\ 4y-2y=5+9\\ \\ 2y=14\\ \\ y=7\\ \\ 3x+4=5x-2\\ \\ 3x-5x=-2-4\\ \\ -2x=-6\\ \\ x=3\end{array}$

مثل في المستوي الإحداثي الشكل الرباعي الذي أعطيت إحداثيات رؤوسه فيما يأتي وحدد ما إذا كان متوازي أضلاع أم لا برر إجابتك باستعمال الطريقة المحددة في السؤال:

4A) $A(3,3),B(8,2),C(6,-1),D(1,0)$ صيغة المسافة.

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{A},\mathrm{B}=(3,3),(8,2)\\ \\ \mathrm{AB}=\sqrt{(3-2{)}^2+(3-8{)}^2}\\ \\ \mathrm{AB}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}\\ \\ \mathrm{C},\mathrm{D}=(6,-1),(1,0)\\ \\ \mathrm{CD}=\sqrt{(-1-0{)}^2+(6-1{)}^2}\\ \\ \mathrm{CD}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}\\ \\ \mathrm{B},\mathrm{C}=(8,2),(6,-1)\\ \\ \mathrm{BC}=\sqrt{(2+1{)}^2+(8-6{)}^2}\\ \\ \mathrm{BC}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\\ \\ \mathrm{A},\mathrm{D}=(3,3),(1,0)\\ \\ \mathrm{AD}=\sqrt{(3-0{)}^2+(3-1{)}^2}\\ \\ \mathrm{AD}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\end{array}$

إذا كانت الأضلاع المتقابلة لشكل رباعي متطابقة فإنه متوازي أضلاع.

$.\mathrm{AD}=\sqrt{13}؛\mathrm{BC}=\sqrt{13}؛\mathrm{DC}=\sqrt{26}؛\mathrm{AB}=\sqrt{26}$

حيث أن المسافة بين نقطتين $\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2}=$

بما أن $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}\text{و }\mathrm{AB}=\mathrm{DC}\text{ فِإن }\mathrm{AD}=\mathrm{BC}و\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ لذلك فالشكل الرباعي ABCD متوازي أضلاع حسب النظرية 5.9

4B) $F(-2,4),G(4,2),H(4,-2),J(-2,-1)$ صيغة نقطة المنتصف.

الحل:

إذا كان قطرا شكل رباعي ينصف كل منهما الآخر فإنه متوازي أضلاع وينصف قطرا شكل رباعي كل منهما الآخر إذا كانت نقطتا منتصفيهما متطابقتين.

نقطة منتصف القطر $\overline{FH}$ هي (1 , 1) ونقطة منتصف القطر $\overline{GJ}$ هي (5, 0, 1).

حيث أن نقطة المنتصف $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=$.

وبما أن نقطتي منتصفي القطرين $\overline{FH}$ و $\overline{GJ}$ ليس لهما الإحداثيات نفسها فإن الشكل الرباعي FGHJ ليس متوازي أضلاع.

5) اكتب برهاناً احداثياً للعبارة الآتية: إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع فإن أضلاعه المتقابلة متطابقة.

الحل:

المعطيات: ABCD متوازي أضلاع.

المطلوب: AB=CD , AD = BC

برهان احداثي:

$\begin{array}{l}\mathrm{AB}=\sqrt{\left((a-0{)}^2+(0-0{)}^2\right)}=\mathrm{a}\\ \\ \mathrm{DC}=\sqrt{\left((\mathrm{b}+\mathrm{a}-\mathrm{b}{)}^2+(\mathrm{c}-\mathrm{c}{)}^2\right)}=\mathrm{a}\\ \\ \mathrm{AD}=\sqrt{\left((\mathrm{c}-0{)}^2+(\mathrm{b}-0{)}^2\right)}=\sqrt{\left({\mathrm{c}}^2+{\mathrm{b}}^2\right)}\\ \\ \mathrm{BC}=\sqrt{\left(\right(\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{a}){)}^2+(\mathrm{c}-0{)}^2}=\sqrt{\left({\mathrm{c}}^2+{\mathrm{b}}^2\right)}\\ \end{array}$

بما أن AB = DC وAD =BC فإن AB = DC وAD = BC.