إذا كان ABDE مستطيلاً و$\overline{BC}\cong \overline{DC}$ فأثبت أن $\overline{AC}\cong \overline{BC}$ .

المعطيات: ABDE مستطيل، $\overline{ BC}=\overline{DC}$

• المطلوب: $\overline{AC}\cong \overline{EC}$
• البرهان: العبارات (المبررات):

1) ABDE مستطيل $\overline{ BC}=\overline{DC}$ (معطيات).

2) ABDE متوازي أضلاع (تعريف المستطيل).

3)$\overline{AB}\cong \overline{DE}$ (الأضلاع المتقاربة في متوازي الأضلاع متطابقة).

4) $\angle B$ و$\angle D$ قائمتان (تعريف المستطيل).

5) $\angle B$ $\cong$ $\angle D$ (جميع الزوايا القائمة متطابقان).

6) $△ABC \cong △EDC$ (SAS)

7) $\overline{AC}\cong \overline{EC}$ ( العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة).

تأكد

زراعة: الشكل المجاور يبين بوابة مخزن حبوب مستطيلة الشكل فيها الدعامتان المتقاطعتان تقويان دفة البوابة وتحفظانها من الالتواء مع مرور الزمن.

إذا كان $,PS=7\mathrm{ft} , ST=3\frac{13}{16}\mathrm{ft} , m\mathrm{\angle }PTQ=67°$ فأوجد كلا مما يأتي:

1) QR

الحل: (الضلعان المتقابلان في المستطيل متطابقان).

PS =QR=7ft

2) SQ

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{SQ}=(\mathrm{ST}+\mathrm{TQ})\\ \\ \mathrm{ST}=\mathrm{TQ}\\ \\ \mathrm{SQ}=2\mathrm{ST}\\ \\ \mathrm{SQ}=2\times 3\frac{13}{16}\\ \\ \mathrm{SQ}=2\times \frac{61}{16}\\ \\ \mathrm{SQ}=7\frac{5}{8}\mathrm{ft}\end{array}$

3) $m\angle TQR$

الحل:

$\begin{array}{l}\because \mathrm{\angle }\mathrm{PTQ}=67\\ \\ \because \mathrm{TQ}=\mathrm{PT}\\ \\ \therefore \mathrm{\angle }\mathrm{TPQ}=\mathrm{\angle }\mathrm{TQP}=\frac{180-67}{2}={56.5}^{\circ }\\ \\ \therefore \mathrm{\angle }\mathrm{TQR}={90}^{\circ }-{56.5}^{\circ }\\ \\ \therefore \mathrm{\angle }\mathrm{TQR}={33.5}^{\circ }\end{array}$

4) $m\angle TSR$

الحل:

$\begin{array}{l}\therefore \mathrm{\angle }\mathrm{STR}=\mathrm{\angle }\mathrm{PTQ}={67}^{\circ }\\ \\ \therefore \mathrm{\angle }\mathrm{TSR}=\frac{{180}^{\circ }-{67}^{\circ }}{2}\\ \\ \therefore \mathrm{\angle }\mathrm{TSR}={56.5}^{\circ }\end{array}$

جبر: استعن بالمستطيل DEFG المبين جانباً.

5) إذا كان $\mathrm{FD}=3\mathrm{x}-7,\mathrm{EG}=\mathrm{x}+5$ فأوجد EG.

الحل: قطرا المستطيل متطابقان.

$\begin{array}{l}\mathrm{EG}=\mathrm{FD}\\ \\ \mathrm{x}+5=3\mathrm{x}-7\\ \\ 3\mathrm{x}-\mathrm{x}=5+7\\ \\ 2\mathrm{x}=12\\ \\ \mathrm{x}=6\\ \\ \mathrm{EG}=\mathrm{x}+5=6+5=11\end{array}$

6) إذا كان $,m\mathrm{\angle }EFD=(2x-3{)}^{\circ }, m\mathrm{\angle }DFG=(x+12{)}^{\circ }$ فأوجد $m\angle EFD$

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{\angle }\mathrm{DFG}+\mathrm{\angle }\mathrm{DFE}={90}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+12)+(2\mathrm{x}-3)={90}^{\circ }\\ \\ 3\mathrm{x}+9=90\\ \\ 3\mathrm{x}=81\\ \\ \mathrm{x}=27\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{EFD}=2\mathrm{x}-3=2\times 27-3\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{EFD}={51}^{\circ }\end{array}$

7) برهان: إذا كان ABDE مستطيلاً و$\overline{BC}\cong \overline{DC}$ فأثبت أن $\overline{AC}\cong \overline{BC}$.

الحل:

• المعطيات: ABDE مستطيل، $\overline{ BC}=\overline{DC}$
• المطلوب: $\overline{AC}\cong \overline{EC}$
• البرهان: العبارات (المبررات):

1) ABDE مستطيل $\overline{ BC}=\overline{DC}$ (معطيات).

2) ABDE متوازي أضلاع (تعريف المستطيل).

3)$\overline{AB}\cong \overline{DE}$ (الأضلاع المتقاربة في متوازي الأضلاع متطابقة).

4) $\angle B$و$\angle D$ قائمتان (تعريف المستطيل).

5) $\angle B$$\cong$$\angle D$ (جميع الزوايا القائمة متطابقان).

6) $△ABC \cong △EDC$ (SAS)

7) $\overline{AC}\cong \overline{EC}$ ( العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة).

هندسة إحداثية: مثل في المستوى الإحداثي الشكل الرباعي المعطاة إحداثيات رؤوسه في كل من السؤالين الآتيين وحدد ما إذا كان مستطيلاً أم لا برر إجابتك باستعمال الطريقة المحددة في السؤال.

8) $W(-4,3), X(1,5), Y(3,1), Z(-2,-2)$ , صيغة الميل.

الحل:

$\begin{array}{r}\frac{5}{2}=\frac{-5}{-2}=\frac{-4-1}{3-5}:\overline{\mathrm{WX}} \mathrm{ميل}\\ \frac{5}{3}=\frac{3+2}{1+2}:\overline{\mathrm{YZ}} \mathrm{ميل}\end{array}$

بما أن ميل $\overline{\mathrm{WX}}$ لا يساوي ميل $\overline{YZ}$ أي انهما غير متوازيان إذن WXYZ ليس متوازي أضلاع لذلك WXYZ ليس مستطيل.

9) $A(4,3), B(4,-2), C(-4,-2), D(-4,3)$ صيغة المسافة.

الحل:

$\begin{array}{r}\mathrm{AB}=\sqrt{(4-4{)}^2(3+2{)}^2}=\sqrt{25}=5\\ \\ \mathrm{BC}=\sqrt{(4+4{)}^2(-2+2{)}^2}=\sqrt{64}=8\\ \\ \mathrm{CD}=\sqrt{(-4+4{)}^2(-2-3{)}^2}=\sqrt{25}=5\\ \\ \mathrm{AD}=\sqrt{(4+4{)}^2(3-3{)}^2}=\sqrt{64}=8\end{array}$

بما أن AB = 5 = CD, BC = 8 = AD فإن ABCD متوازية أضلاع وبما أن $BD = \sqrt{89} = AC$ فإن القطرين متطابقان لذلك فالشكل ABCD مستطيل.