أضاف زيد رفاً جديداً لمكتبة ودعائم معدنية متقاطعة كما في الشكل المجاور كم يجب أن يكون طول كل من الدعائم المعدنية بحيث تكون الرفوف عمودية على الجانبين؟ وضح اجابتك. (إرشاد: $12 in = 1 ft$ ).

حتى تكون الزوايا قوائم يجب أن تكون أطوال الدعائم الحديدية متساوية وبما أن طول الرف معلوم والمسافة بين الرفوف معلومة فيمكن استعمال نظرية فيثاغورث لإيجاد طول الدعامة الحديدية وقد وجد أن طول الدعامة 3 أقدام و3 بوصات.

$\begin{array}{l}(\mathrm{NP}{)}^2={15}^2+(3\times 12{)}^2\\ \\ (\mathrm{NP}{)}^2={15}^2+(3\times 12{)}^2\\ \\ (\mathrm{NP}{)}^2=225+1296=1521\\ \\ \mathrm{NP}=39\mathrm{in}=\frac{39}{12}\approx 3\mathrm{ft}\end{array}$

تدرب وحل المسائل

سياج: سياج مستطيل الشكل تستعمل فيه دعائم متقاطعة السياج.

إذا كان $AB=6\mathrm{ft}, AC=2\mathrm{ft}, m\mathrm{\angle }CAE={65}^{\circ }$ فأوجد كلا مما يأتي:

10) BD

الحل:

BD = AC = 2ft

11) CB

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{BD}=\mathrm{AC}=2\mathrm{ft}\\ \\ (\mathrm{CB}{)}^2=(\mathrm{AB}{)}^2+(\mathrm{AC}{)}^2\\ \\ (\mathrm{CB}{)}^2=(6{)}^2+(2{)}^2\\ \\ (\mathrm{CB}{)}^2=36+4\\ \\ \mathrm{CB}\approx 6.3\mathrm{ft}\end{array}$

12) $m\angle DEB$

الحل: قطرا المستطيل متطابقان وينصف كل منهما الآخر.

$\begin{array}{l}\mathrm{AE}=\mathrm{CE}\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{CAE}=\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ACE}={65}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{AEC}={180}^{\circ }-\left({65}^{\circ }+{65}^{\circ }\right)\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{AEC}={50}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{AEC}=\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{DEB}={50}^{\circ }\end{array}$

13) $m\angle BCD$

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ACE}={65}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ECD}={90}^{\circ }-{65}^{\circ }={25}^{\circ }\end{array}$

جبر: استعن بالمستطيل WXYZ المبين جانباً.

14) إذا كان ZY = 2x + 3 WX = x + 4 فأوجد WX.

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{ZY}=\mathrm{WX}\\ \\ 2\mathrm{x}+3=\mathrm{x}+4\\ \\ 2\mathrm{X}-\mathrm{x}=4-3\\ \\ \mathrm{x}=1\\ \\ \mathrm{WX}=\mathrm{x}+4\\ \\ \mathrm{WX}=5\end{array}$

15) إذا كان PY = 3x – 5 , WP = 2x + 11 فأوجد ZP.

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{PY}=\mathrm{WP}\\ \\ 3\mathrm{x}-5=2\mathrm{x}+11\\ \\ \mathrm{x}=11+5\\ \\ \mathrm{x}=16\\ \\ \mathrm{WY}=\mathrm{WP}+\mathrm{PY}\\ \\ \mathrm{WY}=3\mathrm{x}-5+2\mathrm{x}+11\\ \\ \mathrm{WY}=5\mathrm{x}+6\\ \\ \mathrm{WY}=5\times 16+6=86\\ \\ \mathrm{ZX}=\mathrm{WY}=86\\ \\ \mathrm{ZX}=\mathrm{ZP}+\mathrm{PX}\\ \\ \mathrm{ZP}=\mathrm{PX}\\ \\ \mathrm{ZX}=2\mathrm{ZP}\\ \\ 86=2\mathrm{ZP}\\ \\ \mathrm{ZP}=43\end{array}$

16) إذا $m\mathrm{\angle }ZYW=(2x-7{)}^{\circ },m\mathrm{\angle }WYX=(2x+5{)}^{\circ }$ فأوجد $m\angle ZYW$.

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ZYW}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{WYX}={90}^{\circ }\\ \\ 2\mathrm{x}+5+2\mathrm{x}-7=90\\ \\ 4\mathrm{x}-2=90\\ \\ 4\mathrm{x}=92\\ \\ \mathrm{x}=23\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ZYW}=2\mathrm{x}-7=2\times 23-7\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ZYW}={39}^{\circ }\end{array}$

17) إذا كان ZP = 4x – 9 , PY = 2x + 5 فأوجد ZX.

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{ZP}=\mathrm{PY}\\ \\ 4\mathrm{x}-9=2\mathrm{x}+5\\ \\ 4\mathrm{x}-2\mathrm{x}=5+9\\ \\ 2\mathrm{x}=14\\ \\ \mathrm{x}=7\\ \\ \mathrm{ZP}=\mathrm{PX}\\ \\ \mathrm{ZX}=\mathrm{ZP}+\mathrm{PX}\\ \\ \mathrm{ZX}=2\mathrm{ZP}\\ \\ \mathrm{ZX}=2(4\mathrm{x}-9)\\ \\ \mathrm{ZX}=2(28-9)\\ \\ \mathrm{ZX}=38\end{array}$

18) $m\mathrm{\angle }YXZ\mathrm{فأوجد}\text{ ، }m\mathrm{\angle }XZY=(3x+6)°,m\mathrm{\angle }XZW=(5x-12{)}^{\circ }$

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{XZY}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{XZW}=90\\ \\ 5\mathrm{x}-12=3\mathrm{x}+6\\ \\ 2\mathrm{x}=18\\ \\ \mathrm{x}=9\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{XZY}=3\mathrm{x}+6\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{XZY}=3\times 9+6={33}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ZXW}=33\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ZXY}=90-33={57}^{\circ }\end{array}$

19) $m\mathrm{\angle }ZXW\mathrm{فأوجد}\text{ ، }m\mathrm{\angle }ZXW=(x-11)°,m\mathrm{\angle }WZX=(x-9{)}^{\circ }$

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{WZX}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ZXW}={90}^{\circ }\\ \\ \mathrm{x}-9+\mathrm{x}-11=90\\ \\ 2\mathrm{x}-20=90\\ \\ 2\mathrm{x}=110\\ \\ \mathrm{x}=55\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ZXW}=\mathrm{x}-11=55-11=44\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ZXY}=90-{44}^{\circ }={46}^{\circ }\end{array}$

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين كل مما يأتي:

20) المعطيات: ABCD مستطيل.

المطلوب: $△ADC \cong △BCD$

الحل:

البرهان: العبارات (المبررات):

1) ABCD مستطيل (معطى).

2) ABCD متوازي أضلاع (تعريف المستطيل).

3) $\overline{AD} \cong \overline{BC}$ (الأضلاع المتقابلة لمتوازي الأضلاع متطابقة).

4) $\overline{DC } \cong \overline{ CD}$ ( خاصية الانعكاس).

5) $\overline{AC}\cong \overline{BD}$ ( قطرا المستطيل متطابقان).

6) $△ADC \cong △BCD$ (SSS)

21) المعطيات: QTVW مستطيل.

$\overline{QR}\cong \overline{ST}$

المطلوب: $△SWQ \cong △RVT$

الحل:

البرهان: العبارات (المبررات):

1) $WVTQ\mathit{ }\mathit{مستطيل}\mathit{ }؛\mathit{ }\overline{ST\mathit{ }}\mathit{\cong }\overline{\mathit{ }QR}\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{\left(}\mathit{معطيات}\mathit{\right)}$

$$\begin{gathered} 2) \mathrm{QTVW} \mathrm{متوازي} \mathrm{اضلاع} . (\mathrm{تعريف} \mathrm{المستطيل}\left) \\ 3\right) \overline{\mathrm{VT}}\cong \overline{\mathrm{WQ}} (\mathrm{الاضلاع} \mathrm{المتقابلة} \mathrm{لمتوازي} \mathrm{الاضلاع} \mathrm{متطابقة}) \end{gathered}$$

4)$\angle T و\angle Q$ قائمتان. (تعريف المستطيل).

5) $\angle T \cong \angle Q$ (جميع الزوايا القائمة متطابقة).

6) QR = ST (تعريف تطابق القطع المستقيمة).

7) $\overline{RS}\cong \overline{RS}$ (خاصية الانعكاس).

8) RS = RS (تعريف تطابق القطع المستقيمة).

9) QR + RS = RS + ST (خاصية الإضافة).

10) QS = QR + RS , RT = RS + ST (مسلمة جمع القطع المستقيمة).

11) QS = RT (بالتعويض).

12) $\overline{QR }\cong \overline{ ST}$ ( تعريف تطابق القطع المستقيمة).

13) $△SWQ \cong △RVT$ (SAS)

هندسة إحداثية: مثل في المستوى الإحداثي الشكل الرباعي المعطاة إحداثيات رؤوسه في كل مما يأتي وحدد ما إذا كان مستطيلاً أم لا برر إجابتك باستعمال الطريقة المحددة في السؤال.

22) W(-2, 4), X(5, 5), Y(6, -2), Z(-1, -3) صيغة الميل.

الحل:

$\begin{array}{r}7=\frac{-2-5}{4-5}=\overline{\mathrm{WX}} \mathrm{ميل}\\ \\ 7=\frac{6+1}{-2+3}=\overline{\mathrm{YZ}} \mathrm{ميل}\\ \\ \frac{-1}{7}=\frac{5-6}{5+2}=\overline{\mathrm{XY}} \mathrm{ميل} \\ \\ \frac{-1}{7}=\frac{-2+1}{4+3}=\overline{\mathrm{ZW}} \mathrm{ميل}\end{array}$

نعم؛ بما أن ميل $\overline{WX}$يساوي ميل $\overline{YZ}$ ويساوي 7, وميل $\overline{XY}$ يساوي ميل $\overline{ZW}$ ويساوي$\frac{-1}{7}$فإن WXYZ متوازي أضلاع وبما أن حاصل ضرب ميلي كل ضلعين متجاورين يساوي 1-فإن الأضلاع المتجاورة متعامدة وتشكل زوايا قائمة لذلك فالشكل WXYZ مستطيل.

23) J(3,3), K(-5,2), L(-4,-4), M(4,-3), صيغة المسافة بين نقطتين.

الحل:

$\begin{array}{r}\mathbf{MJ}=\sqrt{(4-3{)}^2+(-3-3{)}^2}=\sqrt{37}\\ \\ \mathbf{KL}=\sqrt{(-5+4{)}^2+(2+4{)}^2}=\sqrt{37}\\ \\ \mathbf{LM}=\sqrt{(-4-4{)}^2+(-4+3{)}^2}=\sqrt{65}\\ \\ \mathbf{JK}=\sqrt{(3+5{)}^2+(3-2{)}^2}=\sqrt{65}\end{array}$

بما أن JK = LM , KL = MJ فإن QRST متوازي أضلاع.

وبما أن $QS =\sqrt{65} =RT$ فإن القطرين متطابقان إذن فالشكل QRST مستطيل.

24) Q (-2,2), R(0,-2), S(6,1), T(4,5) صيغة المسافة بين نقطتين.

الحل:

$\begin{array}{r}\mathrm{TQ}=\sqrt{(-2-4{)}^2+(2-5{)}^2}=\sqrt{45}\\ \\ \mathrm{RS}=\sqrt{(0-6{)}^2+(-2-1{)}^2}=\sqrt{45}\\ \\ \mathrm{QR}=\sqrt{(-2-0{)}^2+(2+2{)}^2}=\sqrt{20}\\ \\ \mathrm{ST}=\sqrt{(6-4{)}^2+(1-5{)}^2}=\sqrt{20}\end{array}$

بما أن QR = ST, RS = TQ فإن QRST متوازي أضلاع.

وبما أن $QS =\sqrt{65}=RT$ فإن القطرين متطابقان إذن فالشكل QRST مستطيل.

25) G(1,8), H(-7,7), J(-6,1), K(2,2) صيغة الميل.

الحل:

$\begin{array}{r}\frac{-1}{6}=\frac{1-2}{8-2}=\overline{\mathrm{KG}} \mathrm{ميل}\\ \frac{-1}{6}=\frac{-7+6}{7-1}=\overline{\mathrm{HJ}} \mathrm{ميل}\\ 8=\frac{-8}{-1}=\frac{-6-2}{1-2}=\overline{\mathrm{JK}} \mathrm{ميل}\\ 8=\frac{8}{1}=\frac{1+7}{8-7}=\overline{\mathrm{GH}} \mathrm{ميل}\end{array}$

نعم؛ بما أن ميل $\overline{KG}$ يساوي ميل $\overline{HJ}$ ويساوي $\frac{-1}{6}$ وميل $\overline{JK}$ يساوي ميل $\overline{GH}$ ويساوي 8 فإن GHJK متوازي أضلاع وبما أن حاصل ضرب ميلي كل ضلعين متجاورين لا يساوي 1- فإن الأضلاع المتجاورة ليست متعامدة ولا تشكل زوايا قائمة لذلك فالشكل WXYZ ليس مستطيل.

في المستطيل ABCD إذا كان $m\angle 2 =40°$

فأوجد كلا مما يأتي:

26) $m\angle 1$

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{\angle }1+\mathrm{\angle }2={90}^{\circ }\\ \\ \mathrm{\angle }1+{40}^{\circ }={90}^{\circ }\\ \\ \mathrm{\angle }1={90}^{\circ }-{40}^{\circ }\\ \\ \mathrm{\angle }1={50}^{\circ }\end{array}$

27) $m\angle 7$

الحل:

$\angle 7 = \angle ACB = 40° ً\mathrm{داخليا} \mathrm{بالتبادل}$

28) $m\angle 3$

الحل:

$\angle 3 = \angle 2 = 40° ً\mathrm{داخليا} \mathrm{بالتبادل}$

29) $m\angle 5$

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{\angle }4={90}^{\circ }-\mathrm{\angle }3\\ \\ \mathrm{\angle }4={90}^{\circ }-{40}^{\circ }={50}^{\circ }\\ \\ \mathrm{\angle }6=\mathrm{\angle }4={50}^{\circ }\\ \\ \mathrm{\angle }5=180-(50+50)={80}^{\circ }\end{array}$

30) $m\angle 6$

الحل:

مثلث متطابق الضلعين $\angle 6 = \angle 4 \angle 40°$

31) $m\angle 8$

الحل:

$\angle 5 \mathrm{مكملة} \angle 8$

$\angle 8 = 180 - 80 = 100°$

32) مكتبات: أضاف زيد رفاً جديداً لمكتبة ودعائم معدنية متقاطعة كما في الشكل المجاور كم يجب أن يكون طول كل من الدعائم المعدنية بحيث تكون الرفوف عمودية على الجانبين؟ وضح اجابتك. (إرشاد: $12 in = 1 ft$).

الحل:

حتى تكون الزوايا قوائم يجب أن تكون أطوال الدعائم الحديدية متساوية وبما أن طول الرف معلوم والمسافة بين الرفوف معلومة فيمكن استعمال نظرية فيثاغورث لإيجاد طول الدعامة الحديدية وقد وجد أن طول الدعامة 3 أقدام و3 بوصات.

$\begin{array}{l}(\mathrm{NP}{)}^2={15}^2+(3\times 12{)}^2\\ \\ (\mathrm{NP}{)}^2={15}^2+(3\times 12{)}^2\\ \\ (\mathrm{NP}{)}^2=225+1296=1521\\ \\ \mathrm{NP}=39\mathrm{in}=\frac{39}{12}\approx 3\mathrm{ft}\end{array}$

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين لإثبات النظيرة في كل من السؤالين الآتيين:

33) النظرية 1.13

الحل:

المعطيات: WXYZ مستطيل قطراه $\overline{WY}$ و $\overline{XZ}$

المطلوب: $\overline{WY}\cong \overline{XZ}$

البرهان:

1) WXYZ مستطيل قطراه XZ وWY (معطيات).

2) $\overline{WY}\cong \overline{XZ}$ (الأضلاع المتقابلة للمستطيل متطابقة).

3) $\overline{WZ}\cong \overline{WZ}$ (خاصية الانعكاس).

4) $\angle YZW , \angle XWZ$ قائمتان (تعريف المستطيل).

5) $\angle YZW \cong \angle XWZ$ (جميع الزوايا القائمة متطابقة).

6) $△XWZ = △YZW$ (SAS)

7) $\overline{WY}\cong \overline{XZ}$ (العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة).

34) النظرية 1.14

الحل:

المعطيات: WXYZ متوازي أضلاع و $\overline{WY} \cong \overline{XZ}$

المطلوب: WXYZ مستطيل.

البرهان:

1) WXYZ متوازي أضلاع و$\overline{WY}\cong \overline{XZ}$ (معطيات).

2) $\overline{\mathrm{WX}}\cong \overline{\mathrm{YZ}},\overline{\mathrm{XY}}\cong \overline{\mathrm{WZ}}$ (كل ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع متطابقان).

3) $△WZX \cong △XYW$

4) $△WZX \cong △XYW$ (العناصر المتناظرة في مثلثين متطابقين متطابقة).

5) $\angle WZX = \angle XYW$ (تعريف الزوايا المتطابقة).

6) $\angle WZX و \angle XYW$ متكاملتان (الزوايا المتحالفة في متوازي الأضلاع متكاملة).

7) $m\overline{AD}ZWX +$

$\mathrm{m}\sqrt{(0+1{)}^2+(6+4{)}^2}=\sqrt{1+100}=\sqrt{101}\mathrm{YXW}={180}^{\circ }$

(تعريف الزاويتين المتكاملتين).

8) $\angle XYZ , \angle WZY$ قائمتان (إذا كانت زاويتان متطابقتين ومتكاملتين فإن كلاً منهما قائمة).

9) $\angle XYZ , \angle WZY$ قائمتان (إذا كانت احدى زوايا متوازي أضلاع قائمة فإن زواياه الأربع قائمة).

10) WXYZ مستطيل (تعريف المستطيل).

35) رياضة: قام سلمان بعمل التخطيط الخارجي لملعب كرة قدم وضح كيف يمكنه التحقق من أن الملعب مستطيل الشكل باستعمال شريط القياس فقط.

الحل:

يجب أن يقيس قطري الملعب والأضلاع فإذا كان القطران متطابقين وكل ضلعين متقابلين متطابقين فإن الملعب مستطيل الشكل.

36) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة خصائص متوازيات أضلاع خاصة.
a) هندسياً: ارسم ثلاث متوازيات أضلاع كل منها أضلاعه الأربعة متطابقة وسمها ABCD, MNOP, WXYZ ثم ارسم قطري كل منها وسم نقطة تقاطعهما R.

الحل:

b) جدولياً: استعمل المنقلة لقياس الزوايا وأكمل الجدول الآتي.

c) لفظياً: اكتب تخميناً حول قطري متوازي الأضلاع المتطابق الأضلاع.

الحل:

إذا كانت الأضلاع الأربعة في متوازي الأضلاع متطابقة فإن قطريه متعامدان.

جبر: استعن بالمستطيل WXYZ المبيَّن جانباً.
37) إذا كان XW = 3, WZ = 4 فأوجد YW.

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{WY}=\mathrm{XZ}\\ \\ (\mathrm{XZ}{)}^2=(\mathrm{WX}{)}^2+(\mathrm{WZ}{)}^2\\ \\ (\mathrm{XZ}{)}^2=(3{)}^2+(4{)}^2\\ \\ \mathrm{XZ}=\mathrm{WY}=5\end{array}$
38) إذا كان ZY = 6, XY = 8 فأوجد W.

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{WY}=\mathrm{XZ}\\ \\ (\mathrm{XZ}{)}^2=(\mathrm{XY}{)}^2+(\mathrm{YZ}{)}^2\\ \\ (\mathrm{XZ}{)}^2=(8{)}^2+(6{)}^2\\ \\ (\mathrm{XZ}{)}^2=100\\ \\ \mathrm{XZ}=10\\ \\ \mathrm{XZ}=\mathrm{WY}=10\end{array}$