حلول الأسئلة

السؤال

رسمت كوثر قطري كل من القطع الصفراء فوجدت أنهما متعامدان هل يمكنها استنتاج أن كل قطعة صفراء معين؟وضح إجابتك.

الحل

لا، لا يمكن التوصل لهذا الاستنتاج إلا إذا علمت أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع.

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تحقق من فهمك

المعين والمربع

تحقق من فهمك

استعن بالمعين FGHJ أعلاه.
1A) إذا كان FK = 5, FG = 13 فأوجد KJ.

الحل:

شكل 1

من خصائص المعين قطراه متعامدان وينصف كلاً منهما الآخر إذن قائم الزاوية.

وباستخدام فيثاغورث:

${(F G)}^{2} = {(G K)}^{2} + {(F K)}^{2} {(13)}^{2} = {(G K)}^{2} + {(5)}^{2} {(G K)}^{2} = {(13)}^{2} - {(5)}^{2} = 144 G K = 12 J K = G K = 12$

1B) جبر: إذا كان $s m ∠ J F K = (6 y + 7)^{\circ}, m ∠ K F G = (9 y - 5)^{\circ}$ , فأوجد قيمة y.

الحل: من خصائص المعين أن الأقطار تنصف الزوايا.

$∠ K F G = ∠ J F K 9 y - 5 = 6 y + 7 9 y - 6 y = 7 + 5 3 y = 12 y = 4$

2) اكتب برهاناً حراً.

.

المعطيات: $\bar{S Q}$ عمود منصف ل $\bar{P R}$

$\bar{P R}$ عمود منصف ل $\bar{S Q}$

$△ R M S$ متطابق الضلعين.

المطلوب: PQRS مربع.

الحل:

المعطيات: $\bar{S Q}$ عمود منصف ل $\bar{P R}, \bar{P R}$ عمود منصف ل $\bar{S Q}$

$△ R M S$ متطابق الضلعين.

المطلوب: $P Q R S$ مربع.

برهان حر: بما أن $\bar{S Q}$ عمود منصف ل $\bar{P R}$ فإن $\bar{M P} ≅ \bar{M R} و \bar{S Q} ⊥ \bar{P R}$ حسب التعريف.

وبما أن $\bar{P R}$ عمود منصف ل $\bar{S Q}$ , فإن $\bar{M S} ≅ \bar{Q M}$

وبما أن $△ R M S$ متطابق الضعلين فإن $\bar{M S} = \bar{M R}$ حسب التعريف.

وبالتعويض تكون $\bar{M S} = \bar{M P}$ إذن وبحسب تعريف التطابق وخاصية التعدي يكون MS = MP = QM = MR ومن مسلمة جمع القطع المستقيمة.

ينتج أن: $M P + M R = P R و M S + M Q = S Q$

وبالتعويض يكون $، M S + M S = P R و M S + M S = S Q$

إذن SQ = PR

لذلك وحسب تعريف التطابق يكون $\bar{S Q} = \bar{P R}$

ولأن قطري PQRS ينصف كل منهما الآخر فإن PQRS مستطيل.

ولأن القطرين متعامدين فإن PQRS معين ولأن PQRS مستطيل ومعين فإنه مربع.

3) خياطة: خاطت كوثر غطاء طاولة باستعمال قطع ملونة من القماش كما في الرسم المجاور.

تحقق 3

A) رسمت كوثر قطري كل من القطع الصفراء فوجدت أنهما متعامدان هل يمكنها استنتاج أن كل قطعة صفراء معين؟ وضح إجابتك.

الحل:

لا، لا يمكن التوصل لهذا الاستنتاج إلا إذا علمت أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع.

B) إذا كانت الزوايا الأربع للقطعة الخضراء متساوية القياس والضلعان الأيسر والسفلي متساويي الطول فهل يمكنها استنتاج أن القطعة الخضراء مربع؟ وضح إجابتك.

الحل:

نعم؛ إذا كانت الزوايا الأربع متطابقة فسيكون قياس كل واحدة منها 4÷ 360 أو 90 وعليه تكون الزوايا المتقابلة متطابقة وتكون القطعة متوازي أضلاع.

وإذا كانت كل زاوية 90º فإن للشكل الرباعي أربع زوايا قوائم وعليه تكون القطعة مستطيلاً وإذا كان الضلعان المتتاليان متطابقين فستكون أيضاً مربعاً.

4) حدد ما إذا كان JKLM $▱$ الذي إحداثيات رؤوسه ( 3-,J(5,0), K(8,-11), L(-3,-14), M(-6 معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً؟ اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه وضح إجابتك.

الحل:

أولاً: استعمل صيغة المسافة بين نقطتين للمقارنة بين طولي القطرين.

$\begin{aligned} KM = \sqrt{(8 + 6)^{2} + (- 11 + 3)^{2}} = 2 \sqrt{65} \\ JL = \sqrt{(5 + 3)^{2} + (0 + 14)^{2}} = 2 \sqrt{65} \end{aligned}$

بما ن القطران JL, KM متساويان إذن هما متطابقان إذن الشكل مستطيل.

ثانياً: استعمل صيغة الميل لتحديد ما إذا كان القطران متعامدان.

$\begin{matrix} \frac{- 7}{4} = \frac{14}{- 8} = \frac{8 + 6}{- 11 + 3} = \bar{KM} ميل \\ \frac{4}{7} = \frac{8}{14} = \frac{3 + 5}{0 + 14} = \bar{JL} ميل \end{matrix}$

بما أن حاصل ضرب الميلين =1- فإن القطرين متعامدان فإن JKLM معين.

تحقق:

$\begin{aligned} JK = \sqrt{(5 - 8)^{2} + (0 + 11)^{2}} = \sqrt{130} \\ KL = \sqrt{(8 + 3)^{2} + (- 11 + 14)^{2}} = \sqrt{130} \end{aligned}$

لذا فإن JKLM معين.

$\begin{matrix} \frac{- 3}{11} = \frac{8 - 5}{11 + 0} = \bar{JK} ميل \\ \frac{11}{3} = \frac{3 + 8}{- 11 + 14} = \bar{KL} ميل \end{matrix}$

بما أن حاصل ضرب الميلين =1- فإن الضلعين المتتالين $\bar{K L} و \bar{J K}$ متعامدان لذا فإن JKLM مربع.

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تحقق من فهمك

المعين والمربع

تحقق من فهمك

استعن بالمعين FGHJ أعلاه.
1A) إذا كان FK = 5, FG = 13 فأوجد KJ.

الحل:

شكل 1

من خصائص المعين قطراه متعامدان وينصف كلاً منهما الآخر إذن قائم الزاوية.

وباستخدام فيثاغورث:

${(F G)}^{2} = {(G K)}^{2} + {(F K)}^{2} {(13)}^{2} = {(G K)}^{2} + {(5)}^{2} {(G K)}^{2} = {(13)}^{2} - {(5)}^{2} = 144 G K = 12 J K = G K = 12$

1B) جبر: إذا كان $s m ∠ J F K = (6 y + 7)^{\circ}, m ∠ K F G = (9 y - 5)^{\circ}$ , فأوجد قيمة y.

الحل: من خصائص المعين أن الأقطار تنصف الزوايا.

$∠ K F G = ∠ J F K 9 y - 5 = 6 y + 7 9 y - 6 y = 7 + 5 3 y = 12 y = 4$

2) اكتب برهاناً حراً.

.

المعطيات: $\bar{S Q}$ عمود منصف ل $\bar{P R}$

$\bar{P R}$ عمود منصف ل $\bar{S Q}$

$△ R M S$ متطابق الضلعين.

المطلوب: PQRS مربع.

الحل:

المعطيات: $\bar{S Q}$ عمود منصف ل $\bar{P R}, \bar{P R}$ عمود منصف ل $\bar{S Q}$

$△ R M S$ متطابق الضلعين.

المطلوب: $P Q R S$ مربع.

برهان حر: بما أن $\bar{S Q}$ عمود منصف ل $\bar{P R}$ فإن $\bar{M P} ≅ \bar{M R} و \bar{S Q} ⊥ \bar{P R}$ حسب التعريف.

وبما أن $\bar{P R}$ عمود منصف ل $\bar{S Q}$ , فإن $\bar{M S} ≅ \bar{Q M}$

وبما أن $△ R M S$ متطابق الضعلين فإن $\bar{M S} = \bar{M R}$ حسب التعريف.

ينتج أن: $M P + M R = P R و M S + M Q = S Q$

وبالتعويض يكون $، M S + M S = P R و M S + M S = S Q$

إذن SQ = PR

لذلك وحسب تعريف التطابق يكون $\bar{S Q} = \bar{P R}$

ولأن قطري PQRS ينصف كل منهما الآخر فإن PQRS مستطيل.

ولأن القطرين متعامدين فإن PQRS معين ولأن PQRS مستطيل ومعين فإنه مربع.

3) خياطة: خاطت كوثر غطاء طاولة باستعمال قطع ملونة من القماش كما في الرسم المجاور.

تحقق 3

A) رسمت كوثر قطري كل من القطع الصفراء فوجدت أنهما متعامدان هل يمكنها استنتاج أن كل قطعة صفراء معين؟ وضح إجابتك.

الحل:

لا، لا يمكن التوصل لهذا الاستنتاج إلا إذا علمت أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع.

B) إذا كانت الزوايا الأربع للقطعة الخضراء متساوية القياس والضلعان الأيسر والسفلي متساويي الطول فهل يمكنها استنتاج أن القطعة الخضراء مربع؟ وضح إجابتك.

الحل:

4) حدد ما إذا كان JKLM $▱$ الذي إحداثيات رؤوسه ( 3-,J(5,0), K(8,-11), L(-3,-14), M(-6 معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً؟ اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه وضح إجابتك.

الحل:

أولاً: استعمل صيغة المسافة بين نقطتين للمقارنة بين طولي القطرين.

$\begin{aligned} KM = \sqrt{(8 + 6)^{2} + (- 11 + 3)^{2}} = 2 \sqrt{65} \\ JL = \sqrt{(5 + 3)^{2} + (0 + 14)^{2}} = 2 \sqrt{65} \end{aligned}$

بما ن القطران JL, KM متساويان إذن هما متطابقان إذن الشكل مستطيل.

ثانياً: استعمل صيغة الميل لتحديد ما إذا كان القطران متعامدان.

$\begin{matrix} \frac{- 7}{4} = \frac{14}{- 8} = \frac{8 + 6}{- 11 + 3} = \bar{KM} ميل \\ \frac{4}{7} = \frac{8}{14} = \frac{3 + 5}{0 + 14} = \bar{JL} ميل \end{matrix}$

بما أن حاصل ضرب الميلين =1- فإن القطرين متعامدان فإن JKLM معين.

تحقق:

$\begin{aligned} JK = \sqrt{(5 - 8)^{2} + (0 + 11)^{2}} = \sqrt{130} \\ KL = \sqrt{(8 + 3)^{2} + (- 11 + 14)^{2}} = \sqrt{130} \end{aligned}$

لذا فإن JKLM معين.

$\begin{matrix} \frac{- 3}{11} = \frac{8 - 5}{11 + 0} = \bar{JK} ميل \\ \frac{11}{3} = \frac{3 + 8}{- 11 + 14} = \bar{KL} ميل \end{matrix}$

بما أن حاصل ضرب الميلين =1- فإن الضلعين المتتالين $\bar{K L} و \bar{J K}$ متعامدان لذا فإن JKLM مربع.

حلول الأسئلة

رسمت كوثر قطري كل من القطع الصفراء فوجدت أنهما متعامدان هل يمكنها استنتاج أن كل قطعة صفراء معين؟وضح إجابتك.

مشاركة الحل

تحقق من فهمك

استعن بالمعين FGHJ أعلاه. 1A) إذا كان FK = 5, FG = 13 فأوجد KJ.

1B) جبر: إذا كان sm∠JFK=(6y+7)∘,m∠KFG=(9y−5)∘, فأوجد قيمة y.

2) اكتب برهاناً حراً.

.

المعطيات: SQ¯ عمود منصف ل PR¯

PR¯ عمود منصف ل SQ¯

△RMS متطابق الضلعين.

المطلوب: PQRS مربع.

3) خياطة: خاطت كوثر غطاء طاولة باستعمال قطع ملونة من القماش كما في الرسم المجاور.

A) رسمت كوثر قطري كل من القطع الصفراء فوجدت أنهما متعامدان هل يمكنها استنتاج أن كل قطعة صفراء معين؟ وضح إجابتك.

B) إذا كانت الزوايا الأربع للقطعة الخضراء متساوية القياس والضلعان الأيسر والسفلي متساويي الطول فهل يمكنها استنتاج أن القطعة الخضراء مربع؟ وضح إجابتك.

4) حدد ما إذا كان JKLM ▱ الذي إحداثيات رؤوسه ( 3-,J(5,0), K(8,-11), L(-3,-14), M(-6 معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً؟ اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه وضح إجابتك.

مشاركة الدرس

رسمت كوثر قطري كل من القطع الصفراء فوجدت أنهما متعامدان هل يمكنها استنتاج أن كل قطعة صفراء معين؟وضح إجابتك.

تحقق من فهمك

استعن بالمعين FGHJ أعلاه. 1A) إذا كان FK = 5, FG = 13 فأوجد KJ.

1B) جبر: إذا كان sm∠JFK=(6y+7)∘,m∠KFG=(9y−5)∘, فأوجد قيمة y.

2) اكتب برهاناً حراً.

.

المعطيات: SQ¯ عمود منصف ل PR¯

PR¯ عمود منصف ل SQ¯

△RMS متطابق الضلعين.

المطلوب: PQRS مربع.

3) خياطة: خاطت كوثر غطاء طاولة باستعمال قطع ملونة من القماش كما في الرسم المجاور.

A) رسمت كوثر قطري كل من القطع الصفراء فوجدت أنهما متعامدان هل يمكنها استنتاج أن كل قطعة صفراء معين؟ وضح إجابتك.

B) إذا كانت الزوايا الأربع للقطعة الخضراء متساوية القياس والضلعان الأيسر والسفلي متساويي الطول فهل يمكنها استنتاج أن القطعة الخضراء مربع؟ وضح إجابتك.

4) حدد ما إذا كان JKLM ▱ الذي إحداثيات رؤوسه ( 3-,J(5,0), K(8,-11), L(-3,-14), M(-6 معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً؟ اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه وضح إجابتك.

استعن بالمعين FGHJ أعلاه.
1A) إذا كان FK = 5, FG = 13 فأوجد KJ.

1B) جبر: إذا كان $s m ∠ J F K = (6 y + 7)^{\circ}, m ∠ K F G = (9 y - 5)^{\circ}$ , فأوجد قيمة y.

المعطيات: $\bar{S Q}$ عمود منصف ل $\bar{P R}$

$\bar{P R}$ عمود منصف ل $\bar{S Q}$

$△ R M S$ متطابق الضلعين.

4) حدد ما إذا كان JKLM $▱$ الذي إحداثيات رؤوسه ( 3-,J(5,0), K(8,-11), L(-3,-14), M(-6 معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً؟ اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه وضح إجابتك.

استعن بالمعين FGHJ أعلاه.
1A) إذا كان FK = 5, FG = 13 فأوجد KJ.

1B) جبر: إذا كان $s m ∠ J F K = (6 y + 7)^{\circ}, m ∠ K F G = (9 y - 5)^{\circ}$ , فأوجد قيمة y.

المعطيات: $\bar{S Q}$ عمود منصف ل $\bar{P R}$

$\bar{P R}$ عمود منصف ل $\bar{S Q}$

$△ R M S$ متطابق الضلعين.

4) حدد ما إذا كان JKLM $▱$ الذي إحداثيات رؤوسه ( 3-,J(5,0), K(8,-11), L(-3,-14), M(-6 معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً؟ اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه وضح إجابتك.