اكتب برهاناً ذا عمودين لإثبات أنه إذا كان SBCD معيناً وكان قطراً فيه فإن $\overline{AP}\cong \overline{CP}$

المعطيات: ABCD معين فيه $\overline{BD}$ قطر

المطلوب: $\overline{AP}\cong \overline{CP}$

البرهان: العبارات (المبررات).

1) ABCD معين فيه $\overline{BD}$ قطر (معطى).

2) $\angle ABP \cong \angle CBP$ (قطرا المعين ينصفان زواياه).

3) $\overline{PB}\cong \overline{PB}$ (خاصية الانعكاس).

4) $\overline{AB}\cong \overline{CB}$ (تعريف المعين).

5) $△APB \cong △CPB$ (SAS).

6) $\overline{AP}\cong \overline{CP}$ (العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة).

تأكد

جبر: استعن بالمعين ABCD المبين جانباً.

1) إذا كان $m\angle BCD = 114°$ فأوجد $m\angle BAC$

الحل:

$\angle BCD = \angle BAD =114°$ الزوايا المتناظرة متطابقة.

AC ينصف $\angle BAD$

$\angle BAC = \frac{114}{2}=57°$

2) إذا كان AB = 2x + 3, BC = x + 7 فأوجد CD.

الحل:

بما أن الشكل معين إذن جميع أضلاعه متطابقة.

$\begin{array}{l}\mathrm{BC}=\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{AD}\\ \\ \mathrm{x}+7=2\mathrm{x}+3\\ \\ 2\mathrm{x}-\mathrm{x}=7-3\\ \\ \mathrm{x}=4\\ \\ \mathrm{AD}=\mathrm{x}+7\\ \\ \mathrm{AD}=4+7\\ \\ \mathrm{AD}=11\end{array}$

3) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين لإثبات أنه إذا كان SBCD معيناً وكان قطراً فيه فإن $\overline{AP}\cong \overline{CP}$

الحل:

المعطيات: ABCD معين فيه $\overline{BD}$ قطر

المطلوب: $\overline{AP}\cong \overline{CP}$

البرهان: العبارات (المبررات).

1) ABCD معين فيه $\overline{BD}$ قطر (معطى).

2) $\angle ABP \cong \angle CBP$ (قطرا المعين ينصفان زواياه).

3) $\overline{PB}\cong \overline{PB}$ (خاصية الانعكاس).

4) $\overline{AB}\cong \overline{CB}$ (تعريف المعين).

5) $△APB \cong △CPB$ (SAS).

6) $\overline{AP}\cong \overline{CP}$ (العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة).

4) بلاط: تتكون الأرضية أدناه من 64 بلاطة مربعة متطابقة استعمل هذه المعطيات لإثبات أن الأرضية نفسها مربعة.

الحل:

بما أن جميع بلاط الأرضية متطابق إذن الشكل متوازي أضلاع وبما أن الأضلاع المتتالية متطابقة إذن الشكل معين وبحسب النظرية 5.20 فإن الشكل مربع.

هندسة إحداثية: حدد ما إذا كان $▱QRST$ المعطاة إحداثيات رؤوسه في كل مما يأتي معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه وضح اجابتك.

5) Q(1,2), R(-2,-1), S(1,-4), T(4,-1)

الحل:

اولاً: استعمل صيغة المسافة بين نقطتين للمقارنة بين طولي القطرين.

$\begin{array}{r}\mathrm{QS}=\sqrt{(1-1{)}^2+(2+4{)}^2}=\sqrt{36}=6\\ \\ \mathrm{RT}=\sqrt{(-2-4{)}^2+(-1+1{)}^2}=\sqrt{36}=6\end{array}$

بما أن القطران $RT , QS$ متساويان إذن هما متطابقان إذن الشكل مستطيل.

ثانياً: استعمل صيغة الميل لتحديد ما إذا كان القطران متعامدان.

$\begin{array}{r}\frac{0}{6}=\frac{1-1}{4+2}=\frac{8+6}{-11+3}=\overline{\mathrm{QS}} \mathrm{ميل}\\ \\ \frac{-6}{0}=\frac{-2-4}{-1+1}=\overline{\mathrm{RT}} \mathrm{ميل} \end{array}$

بما أن حاصل ضرب الميلين =1- فإن القطرين متعامدان لذا فإن QRST معين.

إذن الشكل مستطيل ومعين ومربع لأن الضلعين المتتالين متطابقان ومتعامدان.

6) Q(-2,-1), R(-1,2), S(4,1), T(3,-2)

الحل:

لا شيء؛ لأن قطريه غير متعامدين وغير متطابقين.

اولاً: استعمل صيغة المسافة بين نقطتين للمقارنة بين طولي القطرين.

$\begin{array}{r}\mathrm{QS}=\sqrt{(-2-4{)}^2+(-1-1{)}^2}=\sqrt{40}\\ \\ \mathrm{RT}=\sqrt{(-1-3{)}^2+(2+2{)}^2}=\sqrt{32}\end{array}$

بما أن القطران $RT , QS$ ليس متساويان إذن هما غير متطابقان إذن الشكل ليس مستطيل وبما أنه ليس مستطيل إذن الشكل ليس مربع.

ثانياً: استعمل صيغة الميل لتحديد ما إذا كان القطران متعامدان.

$\begin{array}{c}3=\frac{-6}{-2}=\frac{-2-4}{-1-1}=\frac{8+6}{-11+3}=\overline{\mathrm{QS}} \mathrm{ميل} \\ \\ -1=\frac{-4}{4}=\frac{-1-3}{2+2}=\overline{\mathrm{RT}} \mathrm{ميل} \end{array}$

بما أن حاصل ضرب الميلين $\ne$1- فإن القطرين متعامدان لذا فإن ليس معين.

إذن الشكل QRST ليس مستطيل ولا معين ولا مربع.