تتكون الأرضية أدناه من 64 بلاطة مربعة متطابقة استعمل هذه المعطيات لإثبات أن الأرضية نفسها مربعة.

بما أن جميع بلاط الأرضية متطابق إذن الشكل متوازي أضلاع وبما أن الأضلاع المتتالية متطابقة إذن الشكل معين وبحسب النظرية 5.20 فإن الشكل مربع.

تأكد

جبر: استعن بالمعين ABCD المبين جانباً.

1) إذا كان $m\angle BCD = 114°$ فأوجد $m\angle BAC$

الحل:

$\angle BCD = \angle BAD =114°$ الزوايا المتناظرة متطابقة.

AC ينصف $\angle BAD$

$\angle BAC = \frac{114}{2}=57°$

2) إذا كان AB = 2x + 3, BC = x + 7 فأوجد CD.

الحل:

بما أن الشكل معين إذن جميع أضلاعه متطابقة.

$\begin{array}{l}\mathrm{BC}=\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{AD}\\ \\ \mathrm{x}+7=2\mathrm{x}+3\\ \\ 2\mathrm{x}-\mathrm{x}=7-3\\ \\ \mathrm{x}=4\\ \\ \mathrm{AD}=\mathrm{x}+7\\ \\ \mathrm{AD}=4+7\\ \\ \mathrm{AD}=11\end{array}$

3) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين لإثبات أنه إذا كان SBCD معيناً وكان قطراً فيه فإن $\overline{AP}\cong \overline{CP}$

الحل:

المعطيات: ABCD معين فيه $\overline{BD}$ قطر

المطلوب: $\overline{AP}\cong \overline{CP}$

البرهان: العبارات (المبررات).

1) ABCD معين فيه $\overline{BD}$ قطر (معطى).

2) $\angle ABP \cong \angle CBP$ (قطرا المعين ينصفان زواياه).

3) $\overline{PB}\cong \overline{PB}$ (خاصية الانعكاس).

4) $\overline{AB}\cong \overline{CB}$ (تعريف المعين).

5) $△APB \cong △CPB$ (SAS).

6) $\overline{AP}\cong \overline{CP}$ (العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة).

4) بلاط: تتكون الأرضية أدناه من 64 بلاطة مربعة متطابقة استعمل هذه المعطيات لإثبات أن الأرضية نفسها مربعة.

الحل:

بما أن جميع بلاط الأرضية متطابق إذن الشكل متوازي أضلاع وبما أن الأضلاع المتتالية متطابقة إذن الشكل معين وبحسب النظرية 5.20 فإن الشكل مربع.

هندسة إحداثية: حدد ما إذا كان $▱QRST$ المعطاة إحداثيات رؤوسه في كل مما يأتي معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه وضح اجابتك.

5) Q(1,2), R(-2,-1), S(1,-4), T(4,-1)

الحل:

اولاً: استعمل صيغة المسافة بين نقطتين للمقارنة بين طولي القطرين.

$\begin{array}{r}\mathrm{QS}=\sqrt{(1-1{)}^2+(2+4{)}^2}=\sqrt{36}=6\\ \\ \mathrm{RT}=\sqrt{(-2-4{)}^2+(-1+1{)}^2}=\sqrt{36}=6\end{array}$

بما أن القطران $RT , QS$ متساويان إذن هما متطابقان إذن الشكل مستطيل.

ثانياً: استعمل صيغة الميل لتحديد ما إذا كان القطران متعامدان.

$\begin{array}{r}\frac{0}{6}=\frac{1-1}{4+2}=\frac{8+6}{-11+3}=\overline{\mathrm{QS}} \mathrm{ميل}\\ \\ \frac{-6}{0}=\frac{-2-4}{-1+1}=\overline{\mathrm{RT}} \mathrm{ميل} \end{array}$

بما أن حاصل ضرب الميلين =1- فإن القطرين متعامدان لذا فإن QRST معين.

إذن الشكل مستطيل ومعين ومربع لأن الضلعين المتتالين متطابقان ومتعامدان.

6) Q(-2,-1), R(-1,2), S(4,1), T(3,-2)

الحل:

لا شيء؛ لأن قطريه غير متعامدين وغير متطابقين.

اولاً: استعمل صيغة المسافة بين نقطتين للمقارنة بين طولي القطرين.

$\begin{array}{r}\mathrm{QS}=\sqrt{(-2-4{)}^2+(-1-1{)}^2}=\sqrt{40}\\ \\ \mathrm{RT}=\sqrt{(-1-3{)}^2+(2+2{)}^2}=\sqrt{32}\end{array}$

بما أن القطران $RT , QS$ ليس متساويان إذن هما غير متطابقان إذن الشكل ليس مستطيل وبما أنه ليس مستطيل إذن الشكل ليس مربع.

ثانياً: استعمل صيغة الميل لتحديد ما إذا كان القطران متعامدان.

$\begin{array}{c}3=\frac{-6}{-2}=\frac{-2-4}{-1-1}=\frac{8+6}{-11+3}=\overline{\mathrm{QS}} \mathrm{ميل} \\ \\ -1=\frac{-4}{4}=\frac{-1-3}{2+2}=\overline{\mathrm{RT}} \mathrm{ميل} \end{array}$

بما أن حاصل ضرب الميلين $\ne$1- فإن القطرين متعامدان لذا فإن ليس معين.

إذن الشكل QRST ليس مستطيل ولا معين ولا مربع.