مساحة المربع ABCD المجاور تساوي 36 وحدة مربعة ومساحة $△EBF$ تساوي 20 وحدة مربعة إذا كانت $\overline{EB}\perp \overline{BF}$ وطول $\overrightarrow{AE}$ يساوي وحدتين فأوجد طول $\overline{CF}$ .

مساحة المربع = 36 $\leftarrow$ طول ضلع المربع = 6 وحدات باستخدام فيثاغورث.

$$\begin{gathered} \mathrm{△}\mathrm{ABE} \\ \mathrm{EB} =\sqrt{36 + 4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \end{gathered}$$

مساحة المثلث = 20.

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\times \mathbf{BF}\times 2\sqrt{10}=20\\ \\ \mathrm{BF}=\frac{20}{\sqrt{10}}\\ \\ \mathrm{BF}=2\sqrt{10}\end{array}$

باستخدام فيثاغورث.

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta BCF}\\ \\ {\mathrm{CF}}^2=(2\sqrt{10}{)}^2-6^2=4\\ \\ \mathrm{CF}=\sqrt{4}=2\end{array}$

مسائل مهارات التفكير العليا

37) اكتشف الخطأ: في الشكل الرباعي SRQP المبين جانباً قال محمد: إن الشكل مربع بينما قال ابراهيم: أنه معين هل أي منهما على صواب؟ وضح تبريرك.

الحل:

كلاهما خطأ؛ بما أنهما لا يعلمان أن أضلاع لشكل الرباعي متطابقة فلا يمكن استنتاج أن الشكل مربع أو معين.

38) تبريرك: حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أم خطأ؟ ثم اكتب عكسها ومعكوسها ومعاكسها الايجابي وحدد قيمة الصواب لكل منها وضح تبريرك.

إذا كان الشكل الرباعي مربعاً فإنه مستطيل.

الحل:

صحيحة؛ بما أن المستطيل شكل رباعي وزواياه الأربع قائمة والمربع مستطيل ومعين فإن المربع يكون مستطيلاً دائماً.

العكس: إذا كان شكل رباعي مستطيلاً فإنه مربع خطأ المستطيل شكل رباعي زواياه الأربع قوائم وأضلاعه المتقابلة متطابقة وليست جميع أضلاعه متطابقة بالضرورة.

إذن فهو ليس مربعاً بالضرورة.

المعكوس: اذا كان الشكل الرباعي ليس مربعاً فإنه ليس مستطيلاً وخطأ الشكل الرباعي الذي زواياه الأربع قائمة وأضلاع المتقابلة ليس مربعاً ولكنه مستطيل.

المعاكس الإيجابي: إذا كان شكل رباعي ليس مستطيلاً فإنه ليس مربعاً صحيحة؛ إذا كان شكل رباعي ليس مستطيلاً فإنه ليس مربعاً حسب التعريف.

39) تحدٍ: مساحة المربع ABCD المجاور تساوي 36 وحدة مربعة ومساحة $△EBF$ تساوي 20 وحدة مربعة إذا كانت $\overline{EB}\perp \overline{BF}$ وطول $\overrightarrow{AE}$ يساوي وحدتين فأوجد طول $\overline{CF}$.

الحل:

مساحة المربع = 36 $\leftarrow$طول ضلع المربع = 6 وحدات باستخدام فيثاغورث.

$$\begin{gathered} \mathrm{△}\mathrm{ABE} \\ \mathrm{EB} =\sqrt{36 + 4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \end{gathered}$$

مساحة المثلث = 20.

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\times \mathbf{BF}\times 2\sqrt{10}=20\\ \\ \mathrm{BF}=\frac{20}{\sqrt{10}}\\ \\ \mathrm{BF}=2\sqrt{10}\end{array}$

باستخدام فيثاغورث.

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta BCF}\\ \\ {\mathrm{CF}}^2=(2\sqrt{10}{)}^2-6^2=4\\ \\ \mathrm{CF}=\sqrt{4}=2\end{array}$

40) مساحة مفتوحة: أوجد إحداثيات رؤوس مربع قطراه محتويان في المستقيمين y = x , y = −x + 6 وضح تبريرك.

الحل:

$؛(0,0),(6,0),(0,6),(6,6)$ القطران متعامدان لذا فإن أي أربع نقاط تبعد البعد نفسه عن نقطة تقاطع القطرين تشكل رؤوس مربع.

41) اكتب: قارن بين جميع خصائص الأشكال الرباعية الآتية: متوازي الأضلاع، المستطيل، المعين، المربع.

الحل:

متوازي الأضلاع: الأضلاع المتقابلة لمتوازي الأضلاع متوازية ومتطابقة والزوايا المتقابلة متطابقة وقطرا ينصف كل منهما الآخر وكل قطر يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين.

• المستطيل: للمستطيل جميع خصائص متوازي الأضلاع وزواياه الأربع قائمة وقطراه متطابقان.
• المعين: للمعين جميع خصائص متوازي الأضلاع وجميع أضلاعه متطابقة وقظراه متعامدان وينصفان زوايا المعين.
• المربع: للمربع جميع خصائص متوازي الأضلاع وخصائص المستطيل وخصائص المعين.

42) في المعين JKLM إذا كان JK = 10,CK = 8 فأوجد JC.

• 4
• 6
• 8
• 10

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{B}:6\\ \\ (\mathrm{JK}{)}^2=(\mathrm{CK}{)}^2+(\mathrm{JC}{)}^2\\ \\ (10{)}^2=(8{)}^2+(\mathrm{JC}{)}^2\\ \\ (\mathrm{JC}{)}^2=100-64=36\\ \\ \mathrm{JC}=6\end{array}$

43) جبر: ما قيمة كل من x,y بحيث يكون abcd متوازي أضلاع؟

الحل:

$\begin{array}{l}H:x=2,y=3\\ \\ 13=5x+y\to y=13-5x\\ \\ 17=13x-3y\\ \\ 17=13x-3(13-5x)\\ \\ 17=13x-39+15x\\ \\ 17+39=28x\\ \\ 28x=56\\ \\ x=2\\ \\ y=13-5x\\ \\ y=13-10=3\end{array}$