أيهما أكبر مساحة: مثلث قاعدته ١٠٠ سم وارتفاعه ١٠٠ سم أم دائرة قطرها ١٠٠ سم؟ علل إجابتك.

مساحة المثلث = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ق ع

مساحة المثلث = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٠٠ × ١٠٠

= ٥٠٠٠ سم^٢

مساحة الدائرة = ط نق^٢ ، ق = ١٠٠، إذن نق = ١٠٠ ÷ ٢ = ٥٠ سم

= ٣,١٣ × (٥٠)^٢

= ٧٨٥٠ سم^٢

إذاً مساحة الدائرة أكبر من مساحة المثلث.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

احسب مساحة كل من الدوائر الآتية وقرب الناتج إلى أقرب عشر:

٦-

نق = ٨ سم.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × ^٢٨

م = ٢٠١ سم^٢

٧-

نق = ٣ م.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × ^٢٣

م = ٢٨,٣ سم^٢

٨-

ق = ١١ سم.

نق = ٥,٥ سم.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × (٥,٥)^٢

م = ٩٥ سم^٢

٩-

ق = ١٧ سم.

نق = ٨,٥ سم.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × (٨,٥)^٢

م = ٢٢٦,٩ سم^٢

١٠-

نق = ٢,٤ م.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × (٢,٤)^٢

م = ١٨,١ م^٢

١١-

نق = ٣,٢ ملم.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × (٣,٢)^٢

م = ٣٢,٢ ملم^٢

١٢- القطر = ٨,٤ م

القطر = ٨,٤ م

نق = ٤,٢ م

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × (٤,٢)^٢

م = ٥٥,٤ م^٢

١٣- القطر = ١٢,٦ سم.

القطر = ١٢,٦ سم.

نق = ٦,٣ سم.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × (٦,٣)^٢

م = ١٢٤,٦ سم^٢

١٤- نصف القطر = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٤}$ سم.

القطر = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٤}$ سم.

نق = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}$ سم.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × ($\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}$)^٢

م = ٦٣,٦ سم^٢

١٥- نصف القطر = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٣}$ م.

نصف القطر = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٣}$ م

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × ($\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٤}}$)^٢

م = ٤٤,٢ م^٢

١٦- القطر = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٩}$ كلم.

القطر = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٩}$ كلم.

ق = $\frac{\mathrm{١٩}}{\mathrm{٢}}$ = ٩,٥

نق = ٩,٤ ÷ ٢ = ٤,٧٥ كلم.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × (٤,٧٥)^٢ = ٧٠,٨ كلم^٢

١٧- القطر = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢٠}$ م.

القطر = $\frac{\mathrm{٨٣}}{\mathrm{٤}}$ = ٢٠,٧٥

نق = ٢٠,٧٥ ÷ ٢ = ١٠,٤ م

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × (١٠,٤)^٢

م = ٣٣٧,٤ م^٢

١٨- أدوات زراعية: تستعمل الرشاشات الدائرية لري المزروعات إذا علمت أن المنطقة التي يرويها أحد الرشاشات على شكل دائرة نصف قطرها ٩ م فاحسب مساحة المنطقة إلى أقرب عشر.

• مساحة المنطقة = ط نق^٢
• مساحة المنطقة = ٣,١٤ × ^٢٩
• مساحة المنطقة = ٢٥٤,٣ م^٢

١٩- قياس احسب مساحة غرفة اجتماعية دائرية الشكل نصف قطرها ٧ م.

• مساحة الغرفة = ط نق^٢
• مساحة الغرفة = ٣,١٤ × ^٢٧
• مساحة الغرفة = ١٥٣,٩ م^٢

تقدير: قدر لتجد مساحة تقريبية لكل دائرة مما يلي:

٢٠-

القطر = ٨ سم.

نق = ٤ سم.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × ^٢٤

م = ٥٠,٢ سم^٢

٢١-

نق = ٥,٩ م

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × (٥,٩)^٢

م = ١٠٩,٣ م^٢

٢٢-

ق = ١٣,٨ ملم.

نق = ١٣,٨ ÷ ٢ = ٦,٩ ملم

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × (٦,٩)^٢

م = ١٤٩,٥ ملم^٢

استعمل الفرجار لرسم الدائرة المبينة جانباً ثم حل الأسئلة ٢٣ - ٢٦:

٢٣- عد المربعات التي تقع بأكملها داخل الدائرة ثم عد المربعات التي تقع كلياً أو جزئياً داخل الدائرة.

عدد المربعات كلها = ٦٠ مربع.

المربعات التي توجد بأكملها داخل الدائرة = ٣٢ مربع.

المربعات التي توجد جزئياً داخل الدائرة = ٢٨ مربع.

٢٤- احسب مساحة الدائرة بأخذ معدل القيمتين اللتين حصلت عليهما في السؤال (٢٣).

معدل القيم لمساحة الدائرة = ٤٦ سم^٢

٢٥- احسب المساحة باستعمال صيغة مساحة الدائرة.

بالنظر إلى الدائرة ق = ٨ مربعات.

أي أن نق = ٤ سم.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × ^٢٤

م = ٥٠,٢ سم^٢

٢٦- قارن القيمتين اللتين حصلت عليهما في السؤالين ٢٤، ٢٥.

القيمتين قريبتين من بعضهما.

٢٧- احسب مساحة نصف الدائرة في الشكل المجاور وقرب الناتج إلى أقرب عشر.

ق = ٨,٦ م

مساحة نص الدائرة = مساحة الدائرتين ÷ ٢

ق = ٨,٦ ، إذاً نق = ٨,٦ ÷ ٢ = ٤,٣

مساحة نصف الدائرة = ط نق^٢ ÷ ٢

= ٣,١٤ × (٤,٣)^٢ ÷ ٢

= ٢٩ م^٢

٢٨- أيهما أكبر مساحة: مثلث قاعدته ١٠٠ سم وارتفاعه ١٠٠ سم أم دائرة قطرها ١٠٠ سم؟ علل إجابتك.

مساحة المثلث = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ق ع

مساحة المثلث = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٠٠ × ١٠٠

= ٥٠٠٠ سم^٢

مساحة الدائرة = ط نق^٢ ، ق = ١٠٠، إذن نق = ١٠٠ ÷ ٢ = ٥٠ سم

= ٣,١٣ × (٥٠)^٢

= ٧٨٥٠ سم^٢

إذاً مساحة الدائرة أكبر من مساحة المثلث.

٢٩- تغطي إذاعة منطقة دائرية نصف قطرها ١٢٨ كلم أوجد المساحة التقريبية للمنطقة بالكيلومترات المربعة التي تتلقى إشارة الإذاعة المذكورة.

• مساحة المنطقة = ط نق^٢
• مساحة المنطقة = ٣,١٤ × (١٢٨)^٢
• مساحة المنطقة = ٥١٤٤٥,٨ كلم^٢

٣ ٠- تبرير: إذا تضاعف نصف قطر دائرة ثلاثة أضعاف فهل تتضاعف المساحة ثلاثة أضعاف؟ وضح إجابتك.

لا، مساحة الدائرة تصبح ٩ أمثالها.

مثلث نق = ٢ سم.

م = ط نق٢

م = ٣,١٤ × ^٢٢

م = ١٢,٦ سم^٢

مثلث نق = ٦ سم.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × ^٢٦

م = ١١٣ سم^٢

تحد: احسب مساحة المنطقة المظللة في الأشكال الآتية وقرب الناتج إلى أقرب عشر:

٣١-

مساحة الدائرة الكبيرة.

م = ط نق٢

م = ٣,١٤ × ^٢٦

م = ١١٣ م^٢

مساحة الدائرة الصغيرة.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × ^٢٤

م = ٥٠,٢ م^٢

مساحة المنطقة المظللة = ١١٣ - ٥٠,٢ = ٦٢,٨ م^٢

٣٢-

مساحة المربع.

م = الطول × العرض.

م = ٥,٢٥ × ٥,٢٥

م = ٢٧,٦ ملم^٢

مساحة الدائرة.

م = ط نق٢

م = ٣,١٤ × (٢,٦)^٢

مساحة المنطقة المظللة = ٢٧,٦ - ٢١,٢ = ٦,٤ ملم^٢

٣٣-

مساحة الدائرة الكبيرة.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × (٦,٣)^٢

م = ١٢٤,٦ سم^٢

مساحة الدائرة صغيرة.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × (١,٨)^٢

م = ١٠,٢ سم^٢

مساحة الدائرتان الصغيرتان متساوية لأن لهم نفس نصف القطر.

مساحة المنطقة المظللة = ١٢٤,٦ - (١٠,٢ × ٢)

= ١٢٤,٦ - ٢٠,٣

= ١٠٤,٣ سم^٢

٣٤- اكتشف الخطأ: يحاول كل من مشعل وسعود حساب مساحة دائرة قطرها ١٦ سم أيهما على صواب؟ وضح إجابتك.

إجابة مشعل صحيحة، إجابة سعود خطأ لأنه استعمل طول القطر مكان نصف القطر في قانون مساحة الدائرة.

٣٥- اكتب: مسألة من واقع الحياة يكون حلها عن طريق إيجاد مساحة دائرة.

م = ط نق^٢

م = ٣,١٤ × ^٢٢٢

م = ١٥١٩,٨ م^٢

٣٦- أي المقادير الآتية يمثل مساحة دائرة قطرها ١٤ سم؟

أ. ٧ ط سم^٢

ب. ٤٩ ط سم^٢

جـ. ١٤ ط سم^٢

د. ٢٨٨ ط سم^٢

م = ط نق^٢ = ط × ^٢٧ = ٤٩ ط سم^٢

٣٧- ما المساحة التقريبية للجزء المظلل في الشكل أدناه؟

أ. ٦ سم^٢

ب. ١٢ سم^٢

جـ. ١٤ سم^٢

د. ٢٨ سم^٢

مساحة الجزء المظلل = نصف مساحة دائرة نصف قطرها ١,٩٥

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ط نق^٢

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$ × (١,٩٥)^٢ = ٦ سم^٢

٣٨- في أي شكلين مما يأتي ظللت المساحة نفسها؟

أ. في الشكلين ١، ٤

ب. في الشكلين ١، ٢

جـ. في الشكلين ٢، ٤

د. في الشكلين ٢، ٣

الاختيار الصحي ح: أ

١) مساحة المستطيل = الطول × العرض,

= ٨ × ١٢ = ٩٦ م^٢

٢) مساحة المثلث = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ القاعدة × الارتفاع,

= ٠,٥ × ١٢ × ٧,٥ = ٤٥ م^٢

٣) مساحة نصف الدائرة = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ط نق٢

= ٠,٥ × ٣,١٤ × ^٢٦ = ٥٦,٥ م^٢

٤) مساحة شبه المنحرف = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ مجموع القاعدتين × الارتفاع,

= ٠,٥ × (١٠ + ٦) × ١٢ = ٩٦ م^٢