حلول الأسئلة

السؤال

مثل كل دالة نظام مما يأتي بيانياً، ثم حدد رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة المعطاة في هذه المنطقة.

الحل

$\begin{aligned} x + 4 y \geq 2 \\ 2 x + 4 y \leq 24 \\ 2 \leq x \leq 6 \\ f (x, y) = 6 x + 7 y \end{aligned}$

القيمة العظمى هي 57 عند النقطة (3, 6).
القيمة الصغرى هي 12 عند النقطة (0 و2).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

البرمجة الخطية والحل الأمثل

تدرب وحل المسائل

مثل كل دالة نظام مما يأتي بيانياً، ثم حدد رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة المعطاة في هذه المنطقة.

8)

$\begin{aligned} - 8 \leq y \leq - 2 \\ y \leq x \\ y \leq - 3 x + 10 \\ f (x, y) = 5 x + 14 y \end{aligned}$

$(6, - 8), (4, - 2), (- 2, - 2) and (- 8, - 8)$

القيمة العظمى هي -8 عند النقطة (-2 , 4).
القيمة الصغرى هي 152- عند النقطة (8- , 8-).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

9)

$\begin{aligned} 2 & \geq x \geq - 3 \\ y & \geq - 2 x - 6 \\ 4 y & \leq 2 x + 32 \\ f & (x, y) = - 4 x - 9 y \\ (2, - 10), & (- 3, 0), (- 3, 6 .5), (2, 9) \end{aligned}$

القيمة العظمى هي 82 عند النقطة (10 - , 2).
القيمة الصغرى هي 89 - عند النقطة (9 , 2).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

10)

$\begin{aligned} x + 4 y \geq 2 \\ 2 x + 4 y \leq 24 \\ 2 \leq x \leq 6 \\ f (x, y) = 6 x + 7 y \end{aligned}$

القيمة العظمى هي 57 عند النقطة (3, 6).
القيمة الصغرى هي 12 عند النقطة (0 و2).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

11)

$\begin{aligned} x \geq - 6 \\ y + x \leq - 1 \\ 2 x + 3 y \geq - 9 \\ f (x, y) = - 10 x - 12 y \\ (- 6, 1), (6, - 7), (- 6, 5) \end{aligned}$

القيمة العظمى هي 48 عند النقطة (1 , -6).
القيمة الصغرى هي 0 عند النقطة (5 , 6-).

التمثيل باجدول

التمثيل البياني

12)

$\begin{aligned} x \geq - 8 \\ 3 x + 6 y \leq 36 \\ 2 y + 12 \geq 3 x \\ f (x, y) = 10 x - 6 y \end{aligned}$

$(6, 3), (- 8, 10), (- 8, - 18)$

القيمة العظمى هي 42 عند النقطة (3 , 6)
القيمة الصغرى هي -140 عند النقطة (10 , -8).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

13)

$\begin{aligned} y \geq | x - 2 | \\ y \leq 8 \\ 8 y + 5 x \leq 49 \\ f (x, y) = - 5 x - 15 y \\ (2, 0), (5, 3), (- 3, 8), (- 6, 8) \end{aligned}$

القيمة العظمى هي - 10 عند النقطة (0 , 2).
القيمة الصغرى هي -105 عند النقطة (8 , -3).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

14)

$\begin{aligned} y \leq x + 4 \\ y \geq x - 4 \\ y \leq - x + 10 \\ f (x, y) = - 10 x + 9 y \end{aligned}$

$(3, 7), (7, 3), (- 3, - 7), (- 7, - 3)$

القيمة العظمى هي 43 عند النقطة (-3 , -7).
القيمة الصغرى هي -43 عند النقطة (3 , 7).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

15)

$\begin{aligned} - 4 \leq x \leq 8 \\ - 8 \leq y \leq 6 \\ y \geq x - 6 \\ f (x, y) = 12 x + 8 y \end{aligned}$

$(5, - 1), (1, 6), (- 2, - 8), (- 4, - 8), (- 4, 6)$

القيمة العظمى هي 60 عند النقطة (6 , 1)
القيمة الصغرى هي -112 عند النقطة (-8 , -4)

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

16)

$\begin{aligned} y \geq | x + 1 | - 2 \\ 0 \leq y \leq 6 \\ - 6 \leq x \leq 2 \\ x + 3 y \leq 14 \\ f (x, y) = 5 x + 4 y \end{aligned}$

$(- 4, 6), (2, 4), (2, 1), (1, 0), (- 3, 0), (- 6, 3), (- 6, 6)$

القيمة العظمى هي 26 عند النقطة (4 , 2).
القيمة الصغرى هي -18 عند النقطة (3 , -6).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

17) مصنع: ينتج مصنع نوعين من وحدات الإنارة، يباع النوع الأول بسعر 25 ريال، أما النوع الثاني فيباع بسعر 35 ريالاً، فإذا كانت الطاقة الإنتاجية للتصنيع لاتزيد عن 450 وحدة إنارة يومياً، وكان على المصنع أن ينتج ما لا يقل عن 100 وحدة إنارة من النوع الأول وما لا يزيد عن 200 وحدة إنارة من النوع الثاني، فما عدد وحدات الإنارة اللازم إنتاجها من كل نوع ليكون دخل المصنع اليومي أكبر ما يمكن.

نفرض x و y يمثلان النوع الأول والثاني.

$\begin{aligned} f (x, y) = 35 x + 25 y \\ 200 y + 100 x \leq 450 \end{aligned}$

250 من النوع الأول.

200 من النوع الثاني.

التمثيل البياني

18) طلاء: إذا كان الوقت المتاح لمعاذ لطلاء 45 جدار وسقفاً متساوون في المساحة في أحد المباني هو 20 يوماً، ويستطيع معاذ طلاء 2.5 جدار، أو سقفين في اليوم الواحد.

a) أكتب نظام متباينات خطية تمثل هذا الموقف.

$\begin{aligned} a \geq 0 \\ b \geq 0 \\ a + b \leq 45 \\ 4 a + 5 b \leq 200 \end{aligned}$

b) مثل نظام المتباينات بيانياً، وحدد منطقة الحل و إحداثيات رؤوسها.

التمثيل البياني

c) إذا كان معاذ يتقاضى 26 ريالاً عن طلاء الجدار، و 30 ريال عن طلاء السقف، فاكتب دالة تمثل المبلغ الكلي الذي سيتقاضاه.

$f (a, b) = 26 a + 30 b$

d) ماعدد الأسقف والجدران والأسقف ليتقاضى أكبر مبلغ؟ وما هو هذا المبلغ؟

25 جداراً.

20 سقفاً.

1250 ريالاً.

التمثيل البياني

19) شحن: يشحن مزارع منتجاته بالتعاون مع شركة شحن مختصة، وذلك في حاويات مبردة حمولة الواحدة منها 4200kg وحجم الحيز الذي توضع فيه البضائع بداخلها $480 f t^{3}$ وتوضع المنتجات في أثناء الشحن في صناديق بمقاسين ,صغيرة حجمها $3 f t^{3}$ وتزن 25kg وكبيرة حجمها $5 f t^{3}$ وتزن 50kg وأجرة شركة الشحن هي 5 ريال عن كل صندوق من المقاس الصغير، و 8 ريالات عن كل صندوق من المقاس الكبير.

a) جد عدد الصناديق المشحونة من كلا النوعين لتكون الأجرة أكبر ما يمكن.

$\begin{aligned} 25 x + 50 y \leq 4200 \\ 3 x + 5 y \leq 480 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ f (x, y) = 5 x + 8 y \end{aligned}$

إحداثيات الرؤوس.

$(0, 0), (0, 84), (160, 0), (120, 24)$

160 صندوق صغير.

0 صندوق كبير.

جدول

التمثيل البياني

b) ما أكبر أجرة ممكنة لحاوية الشحن؟

800 ريال.

20) إعادة تدوير: قوم مصنع بإعادة تدوير ما يزيد على 1200 طن من البلاستيك شهرياً لصنع الحاويات بمقاسين صغير وكبير، وعلى المصنع أن يستعمل ما لا يقل عن 300 طن في صنع الحاويات الصغيرة وما لا يقل عن 450 طناً في صنع الحاويات الكبيرة. إذا كان المصنع يحقق ربحاً قدره 175 ريالاً لكل طن بلاستيك تم استعماله لصنع الحاويات الصغيرة، و200 ريال لكل طن تم استعماله لصنع الحاويات الكبيرة. فما أكبر ربح يمكن تحقيقه؟ وما عدد الأطنان المستعملة لكل نوع من الحاويات لتحقيق ذلك الربح؟

$\begin{aligned} f (x, y) = 175 x + 200 y \\ x + y \leq 1200 \\ x \geq 300 \\ y \geq 450 \end{aligned}$

رؤوس الإحداثيات.

$(750, 450), (300, 450), (300, 900)$

أكبر ربح 232500.

300 طن من الحاويات الصغيرة.

900 طن لصنع الحاويات الكبيرة.

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

مثل كل دالة نظام مما يأتي بيانياً، ثم حدد رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة المعطاة في هذه المنطقة.

الحل

$\begin{aligned} x + 4 y \geq 2 \\ 2 x + 4 y \leq 24 \\ 2 \leq x \leq 6 \\ f (x, y) = 6 x + 7 y \end{aligned}$

القيمة العظمى هي 57 عند النقطة (3, 6).
القيمة الصغرى هي 12 عند النقطة (0 و2).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

البرمجة الخطية والحل الأمثل

تدرب وحل المسائل

مثل كل دالة نظام مما يأتي بيانياً، ثم حدد رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة المعطاة في هذه المنطقة.

8)

$\begin{aligned} - 8 \leq y \leq - 2 \\ y \leq x \\ y \leq - 3 x + 10 \\ f (x, y) = 5 x + 14 y \end{aligned}$

$(6, - 8), (4, - 2), (- 2, - 2) and (- 8, - 8)$

القيمة العظمى هي -8 عند النقطة (-2 , 4).
القيمة الصغرى هي 152- عند النقطة (8- , 8-).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

9)

$\begin{aligned} 2 & \geq x \geq - 3 \\ y & \geq - 2 x - 6 \\ 4 y & \leq 2 x + 32 \\ f & (x, y) = - 4 x - 9 y \\ (2, - 10), & (- 3, 0), (- 3, 6 .5), (2, 9) \end{aligned}$

القيمة العظمى هي 82 عند النقطة (10 - , 2).
القيمة الصغرى هي 89 - عند النقطة (9 , 2).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

10)

$\begin{aligned} x + 4 y \geq 2 \\ 2 x + 4 y \leq 24 \\ 2 \leq x \leq 6 \\ f (x, y) = 6 x + 7 y \end{aligned}$

القيمة العظمى هي 57 عند النقطة (3, 6).
القيمة الصغرى هي 12 عند النقطة (0 و2).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

11)

$\begin{aligned} x \geq - 6 \\ y + x \leq - 1 \\ 2 x + 3 y \geq - 9 \\ f (x, y) = - 10 x - 12 y \\ (- 6, 1), (6, - 7), (- 6, 5) \end{aligned}$

القيمة العظمى هي 48 عند النقطة (1 , -6).
القيمة الصغرى هي 0 عند النقطة (5 , 6-).

التمثيل باجدول

التمثيل البياني

12)

$\begin{aligned} x \geq - 8 \\ 3 x + 6 y \leq 36 \\ 2 y + 12 \geq 3 x \\ f (x, y) = 10 x - 6 y \end{aligned}$

$(6, 3), (- 8, 10), (- 8, - 18)$

القيمة العظمى هي 42 عند النقطة (3 , 6)
القيمة الصغرى هي -140 عند النقطة (10 , -8).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

13)

$\begin{aligned} y \geq | x - 2 | \\ y \leq 8 \\ 8 y + 5 x \leq 49 \\ f (x, y) = - 5 x - 15 y \\ (2, 0), (5, 3), (- 3, 8), (- 6, 8) \end{aligned}$

القيمة العظمى هي - 10 عند النقطة (0 , 2).
القيمة الصغرى هي -105 عند النقطة (8 , -3).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

14)

$\begin{aligned} y \leq x + 4 \\ y \geq x - 4 \\ y \leq - x + 10 \\ f (x, y) = - 10 x + 9 y \end{aligned}$

$(3, 7), (7, 3), (- 3, - 7), (- 7, - 3)$

القيمة العظمى هي 43 عند النقطة (-3 , -7).
القيمة الصغرى هي -43 عند النقطة (3 , 7).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

15)

$\begin{aligned} - 4 \leq x \leq 8 \\ - 8 \leq y \leq 6 \\ y \geq x - 6 \\ f (x, y) = 12 x + 8 y \end{aligned}$

$(5, - 1), (1, 6), (- 2, - 8), (- 4, - 8), (- 4, 6)$

القيمة العظمى هي 60 عند النقطة (6 , 1)
القيمة الصغرى هي -112 عند النقطة (-8 , -4)

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

16)

$\begin{aligned} y \geq | x + 1 | - 2 \\ 0 \leq y \leq 6 \\ - 6 \leq x \leq 2 \\ x + 3 y \leq 14 \\ f (x, y) = 5 x + 4 y \end{aligned}$

$(- 4, 6), (2, 4), (2, 1), (1, 0), (- 3, 0), (- 6, 3), (- 6, 6)$

القيمة العظمى هي 26 عند النقطة (4 , 2).
القيمة الصغرى هي -18 عند النقطة (3 , -6).

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني

17) مصنع: ينتج مصنع نوعين من وحدات الإنارة، يباع النوع الأول بسعر 25 ريال، أما النوع الثاني فيباع بسعر 35 ريالاً، فإذا كانت الطاقة الإنتاجية للتصنيع لاتزيد عن 450 وحدة إنارة يومياً، وكان على المصنع أن ينتج ما لا يقل عن 100 وحدة إنارة من النوع الأول وما لا يزيد عن 200 وحدة إنارة من النوع الثاني، فما عدد وحدات الإنارة اللازم إنتاجها من كل نوع ليكون دخل المصنع اليومي أكبر ما يمكن.

نفرض x و y يمثلان النوع الأول والثاني.

$\begin{aligned} f (x, y) = 35 x + 25 y \\ 200 y + 100 x \leq 450 \end{aligned}$

250 من النوع الأول.

200 من النوع الثاني.

التمثيل البياني

18) طلاء: إذا كان الوقت المتاح لمعاذ لطلاء 45 جدار وسقفاً متساوون في المساحة في أحد المباني هو 20 يوماً، ويستطيع معاذ طلاء 2.5 جدار، أو سقفين في اليوم الواحد.

a) أكتب نظام متباينات خطية تمثل هذا الموقف.

$\begin{aligned} a \geq 0 \\ b \geq 0 \\ a + b \leq 45 \\ 4 a + 5 b \leq 200 \end{aligned}$

b) مثل نظام المتباينات بيانياً، وحدد منطقة الحل و إحداثيات رؤوسها.

التمثيل البياني

c) إذا كان معاذ يتقاضى 26 ريالاً عن طلاء الجدار، و 30 ريال عن طلاء السقف، فاكتب دالة تمثل المبلغ الكلي الذي سيتقاضاه.

$f (a, b) = 26 a + 30 b$

d) ماعدد الأسقف والجدران والأسقف ليتقاضى أكبر مبلغ؟ وما هو هذا المبلغ؟

25 جداراً.

20 سقفاً.

1250 ريالاً.

التمثيل البياني

19) شحن: يشحن مزارع منتجاته بالتعاون مع شركة شحن مختصة، وذلك في حاويات مبردة حمولة الواحدة منها 4200kg وحجم الحيز الذي توضع فيه البضائع بداخلها $480 f t^{3}$ وتوضع المنتجات في أثناء الشحن في صناديق بمقاسين ,صغيرة حجمها $3 f t^{3}$ وتزن 25kg وكبيرة حجمها $5 f t^{3}$ وتزن 50kg وأجرة شركة الشحن هي 5 ريال عن كل صندوق من المقاس الصغير، و 8 ريالات عن كل صندوق من المقاس الكبير.

a) جد عدد الصناديق المشحونة من كلا النوعين لتكون الأجرة أكبر ما يمكن.

$\begin{aligned} 25 x + 50 y \leq 4200 \\ 3 x + 5 y \leq 480 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ f (x, y) = 5 x + 8 y \end{aligned}$

إحداثيات الرؤوس.

$(0, 0), (0, 84), (160, 0), (120, 24)$

160 صندوق صغير.

0 صندوق كبير.

جدول

التمثيل البياني

b) ما أكبر أجرة ممكنة لحاوية الشحن؟

800 ريال.

20) إعادة تدوير: قوم مصنع بإعادة تدوير ما يزيد على 1200 طن من البلاستيك شهرياً لصنع الحاويات بمقاسين صغير وكبير، وعلى المصنع أن يستعمل ما لا يقل عن 300 طن في صنع الحاويات الصغيرة وما لا يقل عن 450 طناً في صنع الحاويات الكبيرة. إذا كان المصنع يحقق ربحاً قدره 175 ريالاً لكل طن بلاستيك تم استعماله لصنع الحاويات الصغيرة، و200 ريال لكل طن تم استعماله لصنع الحاويات الكبيرة. فما أكبر ربح يمكن تحقيقه؟ وما عدد الأطنان المستعملة لكل نوع من الحاويات لتحقيق ذلك الربح؟

$\begin{aligned} f (x, y) = 175 x + 200 y \\ x + y \leq 1200 \\ x \geq 300 \\ y \geq 450 \end{aligned}$

رؤوس الإحداثيات.

$(750, 450), (300, 450), (300, 900)$

أكبر ربح 232500.

300 طن من الحاويات الصغيرة.

900 طن لصنع الحاويات الكبيرة.

التمثيل بالجدول

التمثيل البياني