$\mathrm{Q}(-5 , 2) , \mathrm{R}(-3 ,-6) , \mathrm{S}(2 , 2) ,\mathrm{T}(-1 , 6)$ صيغة الميل.

$\begin{array}{r}\frac{-1}{4}=\frac{-2}{8}=\frac{-5+3}{2+6}:\overline{\mathrm{QR}} \mathrm{ميل}\\ \\ \frac{5}{8}=\frac{-5}{-8}=\frac{-3-2}{-6-2}:\overline{\mathrm{RS}} \mathrm{ميل}\\ \\ \frac{3}{-4}=\frac{2+1}{2-6}:\overline{\mathrm{ST}} \mathrm{ميل}\\ \\ \frac{-1}{5}=\frac{-2+1}{4+1}:\overline{\mathrm{OT}} \mathrm{ميل}\\ \end{array}$

بما أن ميل $\overline{QR}$ لا يساوي مبل $\overline{ST}$ ,فإن QRST ليس متوازي أضلاع.

اختبار منتصف الفصل

أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية في كل من المضلعات المحدبة الآتية: (الدرس 1-1).

1) الخماسي:

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{n}=5\\ (\mathrm{n}-2)\cdot 180=(5-2)\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }\end{array}$

2) السباعي:

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{n}=7\\ (\mathrm{n}-2)\cdot 180=(7-2)\cdot {180}^{\circ }={900}^{\circ }\end{array}$

3) ذو 18 ضلعاً:

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{n}=18\\ (\mathrm{n}-2)\cdot 180=(18-2)\cdot {180}^{\circ }={2880}^{\circ }\end{array}$

4) ذو 23 ضلعاً:

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{n}=23\\ (\mathrm{n}-2)\cdot 180=(23-2)\cdot {180}^{\circ }={3780}^{\circ }\end{array}$

أوجد قياسات جميع الزوايا في كل من المضلعين الآتيين: (الدرس 1-1).

5)

الحل:

$\begin{array}{l}(4x-26+x+x+2x+18)={360}^{\circ }\\ \\ 8x-8=360\\ \\ x=46\\ \\ m\mathrm{\angle }A=4\times 46-26={158}^{\circ }\\ \\ m\mathrm{\angle }C=2\times 46+18={110}^{\circ }\\ \\ m\mathrm{\angle }B={46}^{\circ }\\ \\ m\mathrm{\angle }D={46}^{\circ }\end{array}$

6)

الحل:

$\begin{array}{l}(2\mathrm{x}-16+2\mathrm{x}+\mathrm{x}+\mathrm{x}+10)={360}^{\circ }\\ \\ 6\mathrm{x}-6=360\\ \\ \mathrm{x}=61\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{Q}=2\mathrm{x}-16=2\times 61-16={106}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{R}=2\times 61={122}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{P}={61}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{S}=\mathrm{x}+10=61+10={71}^{\circ }\end{array}$

أوجد عدد أضلاع المضلع المنتظم المعطى مجموع قياسات زواياه الداخلية في كل مما يأتي:

7) 720º

الحل:

$\begin{array}{l}720=(n-2)\cdot 180\\ \\ 720=180n-360\\ \\ 720+360=180n\\ \\ n=6\end{array}$

8) 1260º

الحل:

$\begin{array}{l}1260=(n-2)\cdot 180\\ \\ 1260=180n-360\\ \\ 1260+360=180n\\ \\ n=9\end{array}$

9) 1800º

الحل:

$\begin{array}{l}1800=(n-2)\cdot 180\\ \\ 1800=180n-360\\ \\ 1800+360=180n\\ \\ n=12\end{array}$

10) 4500º

الحل:

$\begin{array}{l}4500=(n-2)\cdot 180\\ \\ 4500=180n-360\\ \\ 4500+360=180n\\ \\ n=27\end{array}$

أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين:

11)

الحل:

$\begin{array}{l}(x+15)+106+(x-10)+(2x-35)=360\\ \\ 4x+76=360\\ \\ x=71\end{array}$

12)

الحل:

$\begin{array}{l}(x+4)+56+(x+10)+(x-6)+x=360\\ \\ 4x+64=360\\ \\ x=74\end{array}$

استعمل $▱WXYZ$ لإيجاد كل مما يأتي:

13) $m\angle WZY$

الحل:

$\begin{array}{l}{105}^{\circ }+\mathrm{\angle }WZY={180}^{\circ }\\ \\ \mathrm{\angle }WZY={180}^{\circ }-{105}^{\circ }\\ \\ \mathrm{\angle }WZY={75}^{\circ }\end{array}$

14) WZ

الحل:

WZ = XY =24

15) $m\angle XYZ$

الحل:

$\angle XYZ = \angle ZWX = 105°$

16) إنارة: استعمل مقبض الانارة العلوي الذي يشكل متوازي أضلاع في إيجاد $m\angle p$ في $▱PQRS$.

الحل:

$\angle S و \angle P$ زاويتان متكاملتان.

$\angle P = 180 -64 =116°$

جبر: أوجد قيم المتغيرات في كل من متوازيي الأضلاع الآتيين: (الدرس 2-1).

17)

الحل:

$\begin{array}{l}\mathrm{s}-7=6\\ \\ \mathrm{s}=6+7\\ \\ \mathrm{s}=13\\ \\ 2\mathrm{t}-6=8\\ \\ 2\mathrm{t}=6+8\\ \\ \mathrm{t}=7\end{array}$

18)

الحل:

$\begin{array}{l}3f-6=2f+8\\ \\ 3f-2f=8+6\\ \\ f=14\\ \\ 56+(3d-2)=180\\ \\ 54+3d=180\\ \\ 3d=180-54\\ \\ 3d=126\\ \\ d=42\end{array}$

19) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين.

• المعطيات: $▱GFBA , ▱HACD$
• المطلوب: $\angle F \cong \angle D$

الحل:

البرهان: العبارات (المبررات):

1) متوازيا الأضلاع GFBA، HACD (معطيات).

2) $\angle F \cong \angle A , \angle A \cong \angle D$ (الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة).

3) $\angle F \cong \angle D$ (خاصية التعدي).

أوجد قيمتي x,y في كل مما يأتي بحيث يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع:

20)

الحل:

$\begin{array}{l}x+5=2x+2\\ \\ 2x-x=5-2\\ \\ x=3\\ \\ y+10=2y+5\\ \\ y=10-5\\ \\ y=5\end{array}$

21)

الحل:

$\begin{array}{l}3x-2=2x+6\\ \\ 3x-2x=6+2\\ \\ x=8\\ \\ 4y+6=6y-8\\ \\ 6y-4y=6+8\\ \\ 2y=14\\ \\ y=7\end{array}$

22) طاولات: لماذا يبقى سطح طاولة كي الثياب في الصورة أدناه موازياً لأرضية الغرفة دائماً؟

الحل:

عمل الساقان بحيث ينصف كل منهما الآخر اذن فالشكل الرباعي المتكون من أطراف الساقين يكون دائماً متوازي الأضلاع، لذلك فسطح الطاولة العلوي يبقى موازياً لسطح الأرض.

23) اختيار من متعدد: أي الاشكال الرباعية الآتية ليس متوازي أضلاع؟

الحل:

هندسة إحداثية: حدد ما إذا كان الشكل الرباعي المعطاة إحداثيات رؤوسه في كل مما يأتي متوازي أضلاع. برر إجابتك باستعمال الطريقة المحددة في السؤال.

24) $\mathrm{A}(-6 , -5) , \mathrm{B}(-1 , -4), \mathrm{C}(0 , -1), \mathrm{D}(-5 , -2)$ صيغة المسافة بين نقطتين.

الحل:

نعم، يجب ان يكون كل ضلعين متقابلين متطابقين.

• المسافة بين A وB تساوي $\sqrt{26}$. والمسافة بين B وC تساوي $\sqrt{10}$
• المسافة بين C وD تساوي $\sqrt{26}$. والمسافة بين D وA تساوي $\sqrt{10}$

بما أن المسافة بين نقطتين تحسب من خلال $\sqrt{{\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)}^2+{\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)}^2}$

25) $\mathrm{Q}(-5 , 2) , \mathrm{R}(-3 ,-6) , \mathrm{S}(2 , 2) ,\mathrm{T}(-1 , 6)$ صيغة الميل.

الحل:

$\begin{array}{r}\frac{-1}{4}=\frac{-2}{8}=\frac{-5+3}{2+6}:\overline{\mathrm{QR}} \mathrm{ميل}\\ \\ \frac{5}{8}=\frac{-5}{-8}=\frac{-3-2}{-6-2}:\overline{\mathrm{RS}} \mathrm{ميل}\\ \\ \frac{3}{-4}=\frac{2+1}{2-6}:\overline{\mathrm{ST}} \mathrm{ميل}\\ \\ \frac{-1}{5}=\frac{-2+1}{4+1}:\overline{\mathrm{OT}} \mathrm{ميل}\\ \end{array}$

بما أن ميل $\overline{QR}$ لا يساوي مبل $\overline{ST}$ ,فإن QRST ليس متوازي أضلاع.