حدد ما اذا كان $\overleftrightarrow{CD} ,\overleftrightarrow{AB}$ متوازيين او متعامدين او غير ذلك في كل مما يأتي:

A(-8,-7),B(4,-4),C(-2,-5),D(1,7)

الحل :

$\begin{array}{c}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ \\ \frac{1}{4}=\frac{3}{12}=\frac{-4+7}{4+8}:\overleftrightarrow{AB }\text{ ميل }\\ \\ 4=\frac{12}{3}=\frac{7+5}{1+2}:\overleftrightarrow{CD }\text{ميل}\end{array}$

بما أن ميل كل من $\overleftrightarrow{CD} ,\overleftrightarrow{AB}$ غير متساويين فهما غير متوازيين وليس حاصل ضربهم =-1 اذا فهمت غير ذلك

التهيئة للفصل الأول

أجب عن الاختبار الآتي انظر المراجعة السريعة قبل الإجابة عن الاختبار.

أوجد قيم x,y في كل مما يأتي مقرباً إلى أقرب عشر:

1)

الحل:

الزاوية الخارجية عن المثلث = مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين.

$\begin{array}{r}4x=83+x\\ \\ 4x-x=83\\ \\ 3x=83\\ \\ x=27.7\end{array}$

2)

الحل:

بما أن المثلث جميع أضلاعه متطابقة إذاً:

$\begin{array}{r}9x=4x+5\\ \\ 9x-4x=5\\ \\ 5x=5\\ \\ x=1\end{array}$

بما أن المثلث جميع أضلاعه متطابقة إذاً: جميع زواياه متطابقة و = $60°$.

$$\begin{gathered} y = 180 -60 \\ y = 120° \end{gathered}$$

3) مدن: تمثل مواقع كل من الرياض وجدة وأبها رؤوس مثلث كما في الشكل أدناه إذا كان محيط هذا المثلث 2198km فأوجد المسافة الجوية بين كل من المدن الثلاث.

الحل:

محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه.

$$\begin{gathered} = \left(53.4 x + 80 x + 90 + 88.5 x\right) = 2198 \\ \left(221.9 x\right) = 90 - 2198 \\ \left(221.9 x\right) = 2108 \\ x = 9.5 \end{gathered}$$

• المسافة بين الرياض وجدة = $90 + \mathrm{x}80 = 90 +5.9 \times 80 =850$.
• المسافة بين الرياض وأبها = $x5.88 =5.9 \times 5.88 = 8.840$.
• المسافة بين جدة وأبها = $x4.53 = 5.9 \times 4.53 = 3.507$.

حدد ما إذا كان $\overleftrightarrow{CD} ,\overleftrightarrow{AB}$ متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك في كل مما يأتي:

.A(3,3),B(8,2),C(6, -1),D(1,0) (4

:الحل

$\begin{array}{r}\mathrm{m}=\frac{{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1}\\ \\ \frac{-1}{5}=\frac{2-3}{8-3} : \overrightarrow{\mathrm{AB} }\mathrm{ميل} \\ \\ \frac{1}{-5}=\frac{0+1}{1-6} :\overleftrightarrow{ \mathrm{CD}}\text{ ميل }\end{array}$

.بما أن ميل كل $\overleftrightarrow{CD} ,\overleftrightarrow{AB}$ متساويين إذاً فهما متوازيين

.A(4,2),B(1,-3),C(-3,5),D(2,2) (5

:الحل

$\begin{array}{c}\mathrm{m}=\frac{{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1}\\ \\ \frac{5}{3}=\frac{-5}{-3}=\frac{-3-2}{1-4}: \overleftrightarrow{\mathrm{AB} }\mathrm{ميل} \\ \\ \frac{-3}{5}=\frac{2-5}{2-(-3)} : \overleftrightarrow{\mathrm{CD} }\mathrm{ميل} \end{array}$

.بما أن ميل كل من $\overleftrightarrow{CD} ,\overleftrightarrow{AB}$ حاصل ضربهم = -1 إذاً فهما متعامدان

.A(-8,-7),B(4,-4),C(-2,-5),D(1,7) (6

:الحل

$\begin{array}{c}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ \\ \frac{1}{4}=\frac{3}{12}=\frac{-4+7}{4+8}:\overleftrightarrow{AB }\text{ ميل }\\ \\ 4=\frac{12}{3}=\frac{7+5}{1+2}:\overleftrightarrow{CD }\text{ميل}\end{array}$

.بما أن ميل كل من $\overleftrightarrow{CD} ,\overleftrightarrow{AB}$ غير متساويين فهما غير متوازيين وليس حاصل ضربهم =-1 إذا فهمت غير ذلك

7) حدائق: صمم مهندس رسماً لحديقة رباعية الشكل إحداثيات رؤوسها: A(-2,1),B(3,-3),C(5,7),D(-3 ,4) إذا رسم ممرين يقطعانها $\overleftrightarrow{AC} ,\overleftrightarrow{BD}$, فهل الممران متعامدان؟ فسر اجابتك.

الحل:

$\begin{array}{r}\mathrm{m}=\frac{{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1}\\ \\ \frac{-7}{6}=\frac{-3-4}{3+3}: \overleftrightarrow{\mathrm{BD}} \mathrm{ميل} \\ \\ \frac{6}{7}=\frac{7-1}{5+2}: \overleftrightarrow{\mathrm{AC}} \mathrm{ميل}\end{array}$

بما أن ميل كل من $\overleftrightarrow{ACِِ} ,\overleftrightarrow{BD}$ حاصل ضربهم = -1 إذاً فهما متعامدان.

أوجد المسافة بين كل نقطتين ثم أوجد احداثيات نقطة منتصف القطعة الواصلة بينهما في كل مما يأتي:

.J(-6,2),K(-1,3) (8

:الحل

$\begin{array}{r}\mathrm{JK}=\sqrt{{\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)}^2+{\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)}^2}\\ \\ \mathrm{JK}=\sqrt{(-1+6{)}^2+(3-2{)}^2}\\ \\ \mathrm{JK}=\sqrt{(-1+6{)}^2+(3-2{)}^2}=\sqrt{26}\end{array}$

.R(2,5),S(8,4) (9

:الحل

$\begin{array}{r}\mathbf{RS}=\sqrt{{\left({\mathbf{x}}_2-{\mathbf{x}}_1\right)}^2+{\left({\mathbf{y}}_2-{\mathbf{y}}_1\right)}^2}\\ \\ \mathbf{RS}=\sqrt{(\mathbf{8}-\mathbf{2}{)}^2+(\mathbf{4}-\mathbf{5}{)}^2}\\ \\ \mathbf{RS}=\sqrt{(\mathbf{6}{)}^2+(-\mathbf{1}{)}^2}=\sqrt{37}\end{array}$

10) مسافات: وقف شخص على النقطة (20,80)T من مستوى احداثي ورغب في الانتقال الى كل من (60,20)U و(85,110)V فما أقصر مسافة يمكن أن يقطعها الشخص؟ فسر اجابتك.

الحل:

$\begin{array}{r}\mathbf{TU}=\sqrt{{\left({\mathbf{x}}_2-{\mathbf{x}}_1\right)}^2+{\left({\mathbf{y}}_2-{\mathbf{y}}_1\right)}^2}\\ \\ \mathbf{TU}=\sqrt{(\mathbf{20}-\mathbf{80}{)}^2+(\mathbf{60}-\mathbf{20}{)}^2}\\ \\ \mathbf{TU}=\sqrt{(-\mathbf{60}{)}^2+(\mathbf{40}{)}^2}=20\sqrt{13}=72.11\\ \\ \mathbf{TV}=\sqrt{{\left({\mathbf{x}}_2-{\mathbf{x}}_1\right)}^2+{\left({\mathbf{y}}_2-{\mathbf{y}}_1\right)}^2}\\ \\ \mathbf{TV}=\sqrt{(\mathbf{110}-\mathbf{80}{)}^2+(\mathbf{85}-\mathbf{20}{)}^2}\\ \\ \mathbf{TV}=\sqrt{(\mathbf{30}{)}^2+(\mathbf{65}{)}^2}=\mathbf{5}\sqrt{\mathbf{205}}=71.6\end{array}$

أقصر مسافة يقطعها الشخص هي من النقطة T إلى U >.