إذا كانت: $\underset{\_}{A}= \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{rr}-3& -4\\ 8& 6\end{array}& \end{array}\right] , \underset{\_}{B}= \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{rr}5& -1\\ 2& -4\end{array}& \end{array}\right] , 3\underset{\_}{A}-\underset{\_}{4B}+6\underset{\_}{C}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{rr}13& 22\\ 10& 4\end{array}& \end{array}\right]$​​​​​​​

فأوجد عناصر المجموعة C.

نفرض أن $\underset{\_}{C}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}{c}_1& c_2\\ c_3& c_4\end{array}& \end{array}\right]$

$\begin{array}{r}3\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-3& -4\\ 8& 6\end{array}& \end{array}\right]-4\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}5& -1\\ 2& -4\end{array}& \end{array}\right]+6\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}{c}_1& c_2\\ c_3& c_4\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}13& 22\\ 10& 4\end{array}& \end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-9& -12\\ 24& 18\end{array}& \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}20& -4\\ 8& -16\end{array}& \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}6c_1& 6c_2\\ 6c_3& 6c_4\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}13& 22\\ 10& 4\end{array}& \end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-9-20+6c_1& -12-(-4)+6c_2\\ 24-8+6c_3& 18-(-16)+6c_4\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}13& 22\\ 10& 4\end{array}& \end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}-29+6c_1& -8+6c_2\\ 16+6c_3& 34+6c_4\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}13& 22\\ 10& 4\end{array}& \end{array}\right]\end{array}$

المصفوفتان متساويتان فقط إذا كانت عناصرهما المتناظرة متساوية.

$\begin{array}{lllll}{c}_1=7& \leftarrow & 6c_1=42& \leftarrow -29+6c_1=13& \\ c_2=5& \leftarrow & 6c_2=30& \leftarrow & -8+6c_2=22\\ c_3=-1& \leftarrow & 6c_3=-6& \leftarrow & 16+6c_3=10\\ c_4=-5& \leftarrow & 6c_4=30& \leftarrow & 34+6c_4=4\end{array}$

$\underset{\_}{C}=\left[\begin{array}{cc}7& 5\\ -1& -5\end{array}\right]$

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

26) برهان: برهن على أن عملية جمع المصفوفات من النوع 2 × 2 تبديلية.

أفرض أن $\underset{\_}{A}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}& \end{array}\right] , \underset{\_}{B}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}e& f\\ g& h\end{array}& \end{array}\right]$ لتوضيح أن خاصية الإبدال لجمع المصفوفات صحيحة للمصفوفة من النوع 2×2.

بين أن $\underset{\_}{\mathit{A}}+\underset{\_}{\mathit{B}}=\underset{\_}{\mathit{B}}+\underset{\_}{\mathit{A}}$

البرهان:

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}& \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}e& f\\ g& h\end{array}& \end{array}\right]=\underset{\_}{A}+\underset{\_}{B}$ بالتعويض.

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}a+e& b+f\\ c+g& d+h\end{array}& \end{array}\right]=$ تعريف الجمع على المصفوفات.

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}e+a& f+b\\ g+c& h+d\end{array}& \end{array}\right]=$ خاصية الإبدال على جمع الأعداد الحقيقية.

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}e& f\\ g& h\end{array}& \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}& \end{array}\right]=$ تعريف الجمع على المصفوفات.

$\underset{\_}{\mathit{B}}+\underset{\_}{\mathit{A}}=$ بالتعويض

27) برهان: برهن على أن عملية جمع المصفوفات من النوع 2 × 2 تجميعية.

أفترض أن $\underset{\_}{A}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}& \end{array}\right],\underset{\_}{B}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}e& f\\ g& h\end{array}& \end{array}\right],\underset{\_}{C}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}j& k\\ m& n\end{array}& \end{array}\right]$ لإثبات أن خاصية التجميع صحيحة على جميع المصفوفات من النوع 2 × 2

بين أن $(\underset{\_}{A}+\underset{\_}{B})+\underset{\_}{C}=\underset{\_}{A}+(\underset{\_}{B}+\underset{\_}{C})$

$\left(\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}& \end{array}\right]+& \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}e& f\\ g& h\end{array}& \end{array}\right]\end{array}\right)+\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}j& k\\ m& n\end{array}& \end{array}\right]=(\underset{\_}{A}+\underset{\_}{B})+\underset{\_}{C}$ بالتعويض.

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}a+e& b+f\\ c+g& d+h\end{array}& \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}j& k\\ m& n\end{array}& \end{array}\right]=$ تعريف الجمع على المصفوفات.

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}a+e+j& b+f+k\\ c+g+m& d+h+n\end{array}& \end{array}\right]=$ تعريف الجمع على المصفوفات.

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}a+(e+j)& b+(f+k)\\ c+(g+m)& d+(h+n)\end{array}& \end{array}\right]=$ خاصية التجميع على الأعداد الحقيقية.

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}& \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}e+j& f+k\\ g+m& h+n\end{array}& \end{array}\right]=$ تعريف الجمع على المصفوفات.

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}& \end{array}\right]+\left(\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}e& f\\ g& h\end{array}& \end{array}\right]+& \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}j& k\\ m& n\end{array}& \end{array}\right]\end{array}\right)=$ تعريف الجمع على المصفوفات.

$\underset{\_}{A}+(\underset{\_}{B}+\underset{\_}{C})=$ بالتعويض

28) تحد: إذا كانت:

$\underset{\_}{A}= \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{rr}-3& -4\\ 8& 6\end{array}& \end{array}\right] , \underset{\_}{B}= \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{rr}5& -1\\ 2& -4\end{array}& \end{array}\right] , 3\underset{\_}{A}-\underset{\_}{4B}+6\underset{\_}{C}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{rr}13& 22\\ 10& 4\end{array}& \end{array}\right]$

فأوجد عناصر المجموعة C.

نفرض أن $\underset{\_}{C}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}{c}_1& c_2\\ c_3& c_4\end{array}& \end{array}\right]$

$\begin{array}{r}3\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-3& -4\\ 8& 6\end{array}& \end{array}\right]-4\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}5& -1\\ 2& -4\end{array}& \end{array}\right]+6\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}{c}_1& c_2\\ c_3& c_4\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}13& 22\\ 10& 4\end{array}& \end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-9& -12\\ 24& 18\end{array}& \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}20& -4\\ 8& -16\end{array}& \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}6c_1& 6c_2\\ 6c_3& 6c_4\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}13& 22\\ 10& 4\end{array}& \end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-9-20+6c_1& -12-(-4)+6c_2\\ 24-8+6c_3& 18-(-16)+6c_4\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}13& 22\\ 10& 4\end{array}& \end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}-29+6c_1& -8+6c_2\\ 16+6c_3& 34+6c_4\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}13& 22\\ 10& 4\end{array}& \end{array}\right]\end{array}$

المصفوفتان متساويتان فقط إذا كانت عناصرهما المتناظرة متساوية.

$\begin{array}{lllll}{c}_1=7& \leftarrow & 6c_1=42& \leftarrow -29+6c_1=13& \\ c_2=5& \leftarrow & 6c_2=30& \leftarrow & -8+6c_2=22\\ c_3=-1& \leftarrow & 6c_3=-6& \leftarrow & 16+6c_3=10\\ c_4=-5& \leftarrow & 6c_4=30& \leftarrow & 34+6c_4=4\end{array}$

$\underset{\_}{C}=\left[\begin{array}{cc}7& 5\\ -1& -5\end{array}\right]$

29) تبرير: حدد إذا كانت كل جملة مما يأتي صحيحة أحياناً أو صحيحة دائماً أو غير صحيحة أبداً للمصفوفتين B، A ثم فسر إجابتك.

a) إذا كانت B + A معرفة فإن B - A معرفة.

دائماً إذا كانت A + B معرفة فإن A وB لهما نفس الرتبة وإذا كانت A وB لهما نفس الرتبة فإن A - B معرفة.

b) إذا كان k عدداً حقيقياً فإن kA وkB معرفتان.

دائماً.

c) فإن kA و kB غير معرفة فإن A - B غير معرفة.

دائماً يجب أن يكون للمصفوفتين الرتبة نفسها حتى يمكن إجراء عملية الجمع عليهما.

d) إذا كانت A وB لهما عدد العناصر نفسه فإن B + A معرفة.

أحياناً , يجب أن يكون للمصفوفتين الرتبة نفسها حتى يمكن إجراء عملية الجمع عليهما .

e ) إذا كانت kA و kB معرفتين . فإن kB + kA معرفة .

أحياناً يجب أن يكون للمصفوفتين الرتبة نفسها حتى يمكن إجراء عملية الجمع عليهما.

30) مسألة مفتوحة: أعط مثال على مصفوفتين A وB على أن تكون $.4\underset{\_}{B}-3\underset{\_}{A}=\left[\begin{array}{rr}-6& 5\\ -2& -1\end{array}\right]$

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}6& 1\\ 6& 3\end{array}& \end{array}\right]=\underset{\_}{A}\\ & \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}3& 2\\ 4& 2\end{array}& \end{array}\right]=\underset{\_}{B}\end{array}$

31) اكتب: اشرح كيف تجد 3C - 4D لأي مصفوفتين D، C لهما الرتبة نفسها.

أولاً: نضرب كل عنصر في D × 4.

ثانياً: نضرب كل عنصر في C × 3.

نطرح عناصر 3C من العناصر المناظرة في 4D.

النتيجة هي المصفوفة المكافئة 4D - 3C .

32) حل النظام الآتي:

$\begin{array}{rl}0.06p+4q& =0.88\\ p-q& =-2.25\end{array}$

• $(-0.912,-1.338)$
• $(0.912,-3.162)$
• $(-2,0.25)$
• $(-2,-4.25)$

33) رتبة المصفوفة: إذا كانت B، A مصفوفتين من الرتبة 3 × 5 فإن رتبة المصفوفة B - A هي:

• 5×3
• 3×5
• 2×3
• 3×3