أوجد الناتج في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكناً:

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-1& 0\\ 5& 2\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}6& -3\\ 7& -2\end{array}& \end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}(-1)6+0\left(7\right)& (-1)(-3)+0(-2)\\ 5\left(6\right)+2\left(7\right)& 5(-3)+2(-2)\end{array}& \end{array}\right]=\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-6& 3\\ 44& -19\end{array}& \end{array}\right]=\end{array}$

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد إذا كانت عملية الضرب معرفة في كل مما يأتي أم لا؟ وإن كانت معرفة فأوجد رتبة المصفوفة الناتجة:

15) ${\underset{\_}{P}}_{2\times 3}\cdot {\underset{\_}{Q}}_{3\times 4}$

معرفة 4 $\times$2

16) ${\underset{\_}{A}}_{5\times 5}\cdot {\underset{\_}{B}}_{5\times 5}$

معرفة 5 $\times$ 5

17) ${\underset{\_}{M}}_{3\times 1}\cdot {\underset{\_}{N}}_{2\times 3}$

غير معرفة.

18) ${\underset{\_}{X}}_{2\times 6}\cdot {\underset{\_}{Y}}_{6\times 3}$

معرفة 3 $\times$ 2

19) ${\underset{\_}{J}}_{2\times 1}\cdot {\underset{\_}{K}}_{2\times 1}$

غير معرفة.

20) ${\underset{\_}{S}}_{5\times 2}\cdot {\underset{\_}{T}}_{2\times 4}$

معرفة 4 $\times$ 5

أوجد الناتج في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكناً:

21)

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ll}1& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-10\\ 6\end{array}& \end{array}\right]\\ \left[1\right(-10)+6(6\left)\right]=\\ \left[26\right]=\end{array}$

22)

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}6\\ -3\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ll}2& -7\end{array}\right]\\ & \\ & \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}6\left(2\right)& 6(-7)\\ (-3)\left(2\right)& (-3)(-7)\end{array}& \end{array}\right]=\\ & \\ & \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}12& -42\\ -6& 21\end{array}& \end{array}\right]=\end{array}$

23)

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}-3& -7\\ -2& -1\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}4& 4\\ 9& -3\end{array}& \end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}(-3)4+(-7)9& (-3)4+(-7)(-3)\\ (-2)4+(-1)9& (-2)4+(-1)(-2)\end{array}& \end{array}\right]=\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-75& 9\\ -17& -5\end{array}& \end{array}\right]=\end{array}$

24)

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-1& 0\\ 5& 2\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}6& -3\\ 7& -2\end{array}& \end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}(-1)6+0\left(7\right)& (-1)(-3)+0(-2)\\ 5\left(6\right)+2\left(7\right)& 5(-3)+2(-2)\end{array}& \end{array}\right]=\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-6& 3\\ 44& -19\end{array}& \end{array}\right]=\end{array}$

25)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}-1& 0& 6\\ -4& -10& 4\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}5& -7\\ -2& -9\end{array}& \end{array}\right]$

غير معرفة.

26)

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}-6& 4& -9\\ 2& 8& 7\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{l}7\\ 2\\ 4\end{array}& \end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}6\left(7\right)+4\left(2\right)+(-9)4\\ 2\left(7\right)+8\left(2\right)+7\left(4\right)\end{array}& \end{array}\right]=\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-70\\ 58\end{array}& \end{array}\right]=\end{array}$

27)

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}2& 9& -3\\ 4& -1& 0\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}4& 2\\ -6& 7\\ -2& 1\end{array}& \end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}2\left(4\right)+9(-6)+(-3)(-2)& 2\left(2\right)+9\left(7\right)+(-3)\left(1\right)\\ 4\left(4\right)+(-1)(-6)+0(-2)& 4\left(2\right)+(-1)7+0\left(1\right)\end{array}& \end{array}\right]=\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-40& 64\\ 22& 1\end{array}& \end{array}\right]=\end{array}$

28)

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-4\\ 8\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ll}-3& -1\end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}(-4)(-3)& (-4)(-3)\\ 8(-3)& 8(-1)\end{array}& \end{array}\right]=\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}12& 4\\ -24& -8\end{array}& \end{array}\right]=\end{array}$

29) أجنحة فندقية: لدى مؤسسة للأجنحة الفندقية 3 مبان للإيجار ويبين الجدول المجاور عدد الغرف في كل مبنى فإذا كانت الأجرة اليومية للغرفة التي تحوي سرير 220 ريال وللغرفة التي تحوي سريرين 250 ريال وللغرفة التي تحوي ثلاثة أسرة 360 ريال.

a) اكتب مصفوفة تمثل عدد الغرف ثم اكتب مصفوفة أسعار الغرف.

$\underset{\_}{I}=\left[\begin{array}{lll}3& 2& 2\\ 2& 3& 1\\ 4& 3& 0\end{array}\right],\underset{\_}{C}=\left[\begin{array}{c}220\\ 250\\ 360\end{array}\right]$

b) اكتب مصفوفة تمثل الدخل اليومي للمؤسسة على فرض أن جميع الغرف تم تأجيرها.

$\left[\begin{array}{l}3\left(220\right)+2\left(250\right)+2\left(360\right)\\ 2\left(220\right)+3\left(250\right)+1\left(360\right)\\ 4\left(220\right)+3\left(250\right)+0\left(360\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1880\\ 1550\\ 1630\end{array}\right] \mathrm{ريالاً}$

c) ما مقدار الدخل اليومي الكلي على فرض أن جميع الغرف تم تأجيرها.

1630+1550+1880=5060 ريالاً.

إذا كانت $\underset{\_}{P}=\left[\begin{array}{rr}4& -1\\ 1& 2\end{array}\right],\underset{\_}{Q}=\left[\begin{array}{rr}6& 4\\ -2& -5\end{array}\right],\underset{\_}{R}=\left[\begin{array}{rr}4& 6\\ -6& 4\end{array}\right],k=2$، فحدد ما إذا كانت المعادلات الآتية صحيحة للمصفوفات المعطاة أم لا:

30) $k\left(\underset{\_}{P}\underset{\_}{Q}\right)=\underset{\_}{P}\left(k\underset{\_}{Q}\right)$

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}52& 42\\ 4& -12\end{array}\right]=k\left(\underset{\_}{PQ}\right)\\ & \left[\begin{array}{cc}52& 42\\ 4& -12\end{array}\right]=\underset{\_}{P}\left(k\underset{\_}{Q}\right)\end{array}$

صحيحة.

31) $\underset{\_}{PQR}=\underset{\_}{R}\underset{\_}{Q}\underset{\_}{P}$

$\begin{array}{ll}& \left[\begin{array}{cc}26& 21\\ 2& -6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4\left(6\right)+(-1)(-2)& 4\left(4\right)+(-1)(-5)\\ 1\left(6\right)+2(-2)& 1\left(4\right)+2(-5)\end{array}\right]=\underset{\_}{P}\underset{\_}{Q}\\ & \left[\begin{array}{cc}-22& 240\\ 44& -12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}26\left(4\right)+21(-6)& 26\left(6\right)+21\left(4\right)\\ 2\left(4\right)+(-6)(-6)& 2\left(6\right)+(-6)4\end{array}\right]=\underset{\_}{P}\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}\\ & \left[\begin{array}{cc}12& -14\\ -44& -44\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4\left(6\right)+6(-2)& 4\left(4\right)+6(-5)\\ (-6)6+4(-2)& (-6)4+4(-5)\end{array}\right]=\underset{\_}{R}\underset{\_}{Q}\\ & \left[\begin{array}{cc}34& -40\\ -220& -44\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}12\left(4\right)+(-14)\left(1\right)& 12(-1)+(-14)2\\ (-44)4+(-44)\left(1\right)& (-44)(-1)+(-44)2\end{array}\right]=\underset{\_}{R}\underset{\_}{P}\underset{\_}{Q}\end{array}$

غير صحيحة.

32) $\underset{\_}{P}\underset{\_}{R}+\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}=(\underset{\_}{P}+\underset{\_}{Q})\underset{\_}{R}$

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}22& 72\\ 14& -18\end{array}\right]=\underset{\_}{P}\underset{\_}{R}+\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}\\ & \left[\begin{array}{cc}22& 72\\ 14& -18\end{array}\right]=(\underset{\_}{P}+\underset{\_}{Q})\underset{\_}{R}\end{array}$

صحيحة.

33) $\underset{\_}{R}(\underset{\_}{P}+\underset{\_}{Q})=\underset{\_}{P}\underset{\_}{R}+\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}$

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}10& 3\\ -1& -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4+6& -1+4\\ 1+(-2)& 2+(-5)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& -1\\ 1& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}6& 4\\ -2& -5\end{array}\right]=P+Q\\ & \left[\begin{array}{cc}4\left(10\right)+6(-1)& 4\left(3\right)+6(-3)\\ (-6)10+4(-1)& (-6)3+4(-3)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 6\\ -6& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}10& 3\\ -1& -3\end{array}\right]=\underset{\_}{R}(\underset{\_}{P}+\underset{\_}{Q})\\ & \left[\begin{array}{cc}34& -6\\ -64& -20\end{array}\right]=\underset{\_}{R}(\underset{\_}{P}+\underset{\_}{Q})\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}4\left(4\right)+(-1)(-6)& 4\left(6\right)+(-1)4\\ 1\left(4\right)+2(-6)& 1\left(6\right)+2\left(4\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& -1\\ 1& 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}4& 6\\ -6& 4\end{array}\right]=PR\\ & \left[\begin{array}{rr}22& 20\\ -8& 14\end{array}\right]=\\ & \left[\begin{array}{cc}6\left(4\right)+4(-6)& 6\left(6\right)+4\left(4\right)\\ (-2)4+(-5)(-6)& (-2)6+(-5)4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 4\\ -2& -5\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}4& 9\\ -6& 4\end{array}\right]=\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}0& 52\\ 22& -32\end{array}\right]=\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}\\ & \left[\begin{array}{cc}22+0& 20+52\\ -8+22& 14+(-32)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}22& 20\\ -8& 14\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 52\\ 22& -32\end{array}\right]=\underset{\_}{P}\underset{\_}{R}+\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}\\ & \left[\begin{array}{cc}22& 72\\ 14& -18\end{array}\right]=\underset{\_}{P}\underset{\_}{R}+\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}\end{array}$

غير صحيحة.

34) تنسيق زهور: اشترى محل تنسيق زهور 200 زهرة جوري و150 زهرة نرجس و100 زهرة زنبق وسعر شراء الزهرة من كل نوع مبين في الجدول المجاور وكذلك سعر بيع الزهرة بعد تغليفها وتنسيقها في باقة.

a) استعمل ضرب المصفوفات لإيجاد المبلغ الكلي لشراء الزهور.

$525=\left[525\right]=\left[200\right(0.5)+150(1.5)+100(2\left)\right]=\left[\begin{array}{c}200\\ 150\\ 100\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}0.5\\ 1.5\\ 2\end{array}\right]$ ريالاً

b) استعمل ضرب المصفوفات لإيجاد المبلغ الكلي الذي حصل عليه صاحب المحل من بيع الزهور.

$2200=\left[2200\right]=\left[200\right(3)+150(6)+100(7\left)\right]=\left[\begin{array}{c}200\\ 150\\ 100\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{l}3\\ 6\\ 7\end{array}\right]$ ريالاً.

c) أوجد مقدار ربح المحل من بيع الزهور.

$1675=\left[525\right]-\left[2200\right]=\left[\begin{array}{l}200\\ 150\\ 100\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}0.5\\ 1.5\\ 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{l}200\\ 150\\ 100\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{l}3\\ 6\\ 7\end{array}\right]$ ريالاً.

استعمل المصفوفات $\underset{\_}{X}=\left[\begin{array}{rr}2& -6\\ 3y& -4.5\end{array}\right],\underset{\_}{Y}=\left[\begin{array}{rr}-5& -1.5\\ x+2& y\\ 13& 1.2\end{array}\right],\underset{\_}{Z}=\left[\begin{array}{r}-3\\ x+y\end{array}\right]$، لإيجاد ناتج الضرب في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكناً:

35) $\underset{\_}{X}\underset{\_}{Y}$

غير معرفة.

36) $\underset{\_}{\mathit{Y}}\underset{\_}{X}$

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}-5& -1.5\\ x+2& y\\ 13& 1.2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}2& -6\\ 3y& -4.5\end{array}\right]=\underset{\_}{Y}\underset{\_}{X}\\ \left[\begin{array}{cc}(-5)2+(-1.5)\left(3y\right)& (-5)(-6)+(-1.5)(-4.5)\\ (x+2)2+3\left(3y\right)& (x+2)(-6)+y(-4.5)\\ 13\left(2\right)+1.2\left(3y\right)& 13(-6)+1.2(-4.5)\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{cc}-10-4.5y& 36.75\\ 2x+4+9y^2& -6x-4.5y-12\\ 3.6y+26& -83.4\end{array}\right]=\end{array}$

37) $\underset{\_}{Z}\underset{\_}{Y}$

غير معرفة.

38) $\underset{\_}{Y}\underset{\_}{Z}$

$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}(-5)(-3)+(-1.5)(x+y)\\ (x+2)(-3)+y(x+y)\\ 13(-3)+1.2(x+y)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-5& -1.5\\ x+2& y\\ 13& 1.2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-3\\ x+y\end{array}\right]=\underset{\_}{Y}\underset{\_}{Z}& \\ & \left[\begin{array}{c}-1.5x-1.5y+15\\ y^2+xy-3x-6\\ 1.2x+1.2y-39\end{array}\right]=\end{array}$

39) $\left(\underset{\_}{Y}\underset{\_}{X}\right)\underset{\_}{Z}$

متروك للطالب.

40) $\left(\underset{\_}{X}\underset{\_}{Z}\right)\underset{\_}{X}$

غير معرفة.

41) $\underset{\_}{X}\left(\underset{\_}{Z}\underset{\_}{Z}\right)$

غير معرفة.

42) $\left(\underset{\_}{X}\underset{\_}{X}\right)\underset{\_}{Z}$

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}2& -6\\ 3y& -4.5\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}2& -6\\ 3y& -4.5\end{array}\right]=\underset{\_}{X}\underset{\_}{X}\\ \left[\begin{array}{cc}2\left(2\right)+(-6)3y& 2(-6)+(-6)(-4.5)\\ \left(3y\right)2+(-4.5)\left(3y\right)& \left(3y\right)(-6)+(-4.5)(-4.5)\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{cc}-18y+4& 15\\ -7.5y& -18y+20.25\end{array}\right]=\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}-18y+4& 15\\ -7.5y& -18y+20.25\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-3\\ x+y\end{array}\right]=\left(\underset{\_}{X}\underset{\_}{X}\right)\underset{\_}{Z}\\ & \left[\begin{array}{c}(-18y+4)(-3)+15(x+y)\\ (-7.5y)(-3)+(-18y+20.25)(x+y)\end{array}\right]=\end{array}$

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}45y-12+15x+15y\\ 22.5y+18xy-18y^2+20.25x+20.25y\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{c}15x+69y-12\\ -18y^2-18xy+20.25x+42.75y\end{array}\right]=\end{array}$