لدى مؤسسة للأجنحة الفندقية 3 مبان للإيجار ويبين الجدول المجاور عدد الغرف في كل مبنى فإذا كانت الأجرة اليومية للغرفة التي تحوي سرير 220 ريال وللغرفة التي تحوي سريرين 250 ريال وللغرفة التي تحوي ثلاثة أسرة 360 ريال.

ما مقدار الدخل اليومي الكلي على فرض أن جميع الغرف تم تأجيرها.

1630+1550+1880=5060 ريالاً.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد إذا كانت عملية الضرب معرفة في كل مما يأتي أم لا؟ وإن كانت معرفة فأوجد رتبة المصفوفة الناتجة:

15) ${\underset{\_}{P}}_{2\times 3}\cdot {\underset{\_}{Q}}_{3\times 4}$

معرفة 4 $\times$2

16) ${\underset{\_}{A}}_{5\times 5}\cdot {\underset{\_}{B}}_{5\times 5}$

معرفة 5 $\times$ 5

17) ${\underset{\_}{M}}_{3\times 1}\cdot {\underset{\_}{N}}_{2\times 3}$

غير معرفة.

18) ${\underset{\_}{X}}_{2\times 6}\cdot {\underset{\_}{Y}}_{6\times 3}$

معرفة 3 $\times$ 2

19) ${\underset{\_}{J}}_{2\times 1}\cdot {\underset{\_}{K}}_{2\times 1}$

غير معرفة.

20) ${\underset{\_}{S}}_{5\times 2}\cdot {\underset{\_}{T}}_{2\times 4}$

معرفة 4 $\times$ 5

أوجد الناتج في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكناً:

21)

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ll}1& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-10\\ 6\end{array}& \end{array}\right]\\ \left[1\right(-10)+6(6\left)\right]=\\ \left[26\right]=\end{array}$

22)

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}6\\ -3\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ll}2& -7\end{array}\right]\\ & \\ & \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}6\left(2\right)& 6(-7)\\ (-3)\left(2\right)& (-3)(-7)\end{array}& \end{array}\right]=\\ & \\ & \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}12& -42\\ -6& 21\end{array}& \end{array}\right]=\end{array}$

23)

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}-3& -7\\ -2& -1\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}4& 4\\ 9& -3\end{array}& \end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}(-3)4+(-7)9& (-3)4+(-7)(-3)\\ (-2)4+(-1)9& (-2)4+(-1)(-2)\end{array}& \end{array}\right]=\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-75& 9\\ -17& -5\end{array}& \end{array}\right]=\end{array}$

24)

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-1& 0\\ 5& 2\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}6& -3\\ 7& -2\end{array}& \end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}(-1)6+0\left(7\right)& (-1)(-3)+0(-2)\\ 5\left(6\right)+2\left(7\right)& 5(-3)+2(-2)\end{array}& \end{array}\right]=\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-6& 3\\ 44& -19\end{array}& \end{array}\right]=\end{array}$

25)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}-1& 0& 6\\ -4& -10& 4\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}5& -7\\ -2& -9\end{array}& \end{array}\right]$

غير معرفة.

26)

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}-6& 4& -9\\ 2& 8& 7\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{l}7\\ 2\\ 4\end{array}& \end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}6\left(7\right)+4\left(2\right)+(-9)4\\ 2\left(7\right)+8\left(2\right)+7\left(4\right)\end{array}& \end{array}\right]=\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-70\\ 58\end{array}& \end{array}\right]=\end{array}$

27)

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}2& 9& -3\\ 4& -1& 0\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}4& 2\\ -6& 7\\ -2& 1\end{array}& \end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}2\left(4\right)+9(-6)+(-3)(-2)& 2\left(2\right)+9\left(7\right)+(-3)\left(1\right)\\ 4\left(4\right)+(-1)(-6)+0(-2)& 4\left(2\right)+(-1)7+0\left(1\right)\end{array}& \end{array}\right]=\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-40& 64\\ 22& 1\end{array}& \end{array}\right]=\end{array}$

28)

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-4\\ 8\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ll}-3& -1\end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}(-4)(-3)& (-4)(-3)\\ 8(-3)& 8(-1)\end{array}& \end{array}\right]=\\ \\ \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}12& 4\\ -24& -8\end{array}& \end{array}\right]=\end{array}$

29) أجنحة فندقية: لدى مؤسسة للأجنحة الفندقية 3 مبان للإيجار ويبين الجدول المجاور عدد الغرف في كل مبنى فإذا كانت الأجرة اليومية للغرفة التي تحوي سرير 220 ريال وللغرفة التي تحوي سريرين 250 ريال وللغرفة التي تحوي ثلاثة أسرة 360 ريال.

a) اكتب مصفوفة تمثل عدد الغرف ثم اكتب مصفوفة أسعار الغرف.

$\underset{\_}{I}=\left[\begin{array}{lll}3& 2& 2\\ 2& 3& 1\\ 4& 3& 0\end{array}\right],\underset{\_}{C}=\left[\begin{array}{c}220\\ 250\\ 360\end{array}\right]$

b) اكتب مصفوفة تمثل الدخل اليومي للمؤسسة على فرض أن جميع الغرف تم تأجيرها.

$\left[\begin{array}{l}3\left(220\right)+2\left(250\right)+2\left(360\right)\\ 2\left(220\right)+3\left(250\right)+1\left(360\right)\\ 4\left(220\right)+3\left(250\right)+0\left(360\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1880\\ 1550\\ 1630\end{array}\right] \mathrm{ريالاً}$

c) ما مقدار الدخل اليومي الكلي على فرض أن جميع الغرف تم تأجيرها.

1630+1550+1880=5060 ريالاً.

إذا كانت $\underset{\_}{P}=\left[\begin{array}{rr}4& -1\\ 1& 2\end{array}\right],\underset{\_}{Q}=\left[\begin{array}{rr}6& 4\\ -2& -5\end{array}\right],\underset{\_}{R}=\left[\begin{array}{rr}4& 6\\ -6& 4\end{array}\right],k=2$، فحدد ما إذا كانت المعادلات الآتية صحيحة للمصفوفات المعطاة أم لا:

30) $k\left(\underset{\_}{P}\underset{\_}{Q}\right)=\underset{\_}{P}\left(k\underset{\_}{Q}\right)$

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}52& 42\\ 4& -12\end{array}\right]=k\left(\underset{\_}{PQ}\right)\\ & \left[\begin{array}{cc}52& 42\\ 4& -12\end{array}\right]=\underset{\_}{P}\left(k\underset{\_}{Q}\right)\end{array}$

صحيحة.

31) $\underset{\_}{PQR}=\underset{\_}{R}\underset{\_}{Q}\underset{\_}{P}$

$\begin{array}{ll}& \left[\begin{array}{cc}26& 21\\ 2& -6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4\left(6\right)+(-1)(-2)& 4\left(4\right)+(-1)(-5)\\ 1\left(6\right)+2(-2)& 1\left(4\right)+2(-5)\end{array}\right]=\underset{\_}{P}\underset{\_}{Q}\\ & \left[\begin{array}{cc}-22& 240\\ 44& -12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}26\left(4\right)+21(-6)& 26\left(6\right)+21\left(4\right)\\ 2\left(4\right)+(-6)(-6)& 2\left(6\right)+(-6)4\end{array}\right]=\underset{\_}{P}\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}\\ & \left[\begin{array}{cc}12& -14\\ -44& -44\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4\left(6\right)+6(-2)& 4\left(4\right)+6(-5)\\ (-6)6+4(-2)& (-6)4+4(-5)\end{array}\right]=\underset{\_}{R}\underset{\_}{Q}\\ & \left[\begin{array}{cc}34& -40\\ -220& -44\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}12\left(4\right)+(-14)\left(1\right)& 12(-1)+(-14)2\\ (-44)4+(-44)\left(1\right)& (-44)(-1)+(-44)2\end{array}\right]=\underset{\_}{R}\underset{\_}{P}\underset{\_}{Q}\end{array}$

غير صحيحة.

32) $\underset{\_}{P}\underset{\_}{R}+\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}=(\underset{\_}{P}+\underset{\_}{Q})\underset{\_}{R}$

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}22& 72\\ 14& -18\end{array}\right]=\underset{\_}{P}\underset{\_}{R}+\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}\\ & \left[\begin{array}{cc}22& 72\\ 14& -18\end{array}\right]=(\underset{\_}{P}+\underset{\_}{Q})\underset{\_}{R}\end{array}$

صحيحة.

33) $\underset{\_}{R}(\underset{\_}{P}+\underset{\_}{Q})=\underset{\_}{P}\underset{\_}{R}+\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}$

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}10& 3\\ -1& -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4+6& -1+4\\ 1+(-2)& 2+(-5)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& -1\\ 1& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}6& 4\\ -2& -5\end{array}\right]=P+Q\\ & \left[\begin{array}{cc}4\left(10\right)+6(-1)& 4\left(3\right)+6(-3)\\ (-6)10+4(-1)& (-6)3+4(-3)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 6\\ -6& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}10& 3\\ -1& -3\end{array}\right]=\underset{\_}{R}(\underset{\_}{P}+\underset{\_}{Q})\\ & \left[\begin{array}{cc}34& -6\\ -64& -20\end{array}\right]=\underset{\_}{R}(\underset{\_}{P}+\underset{\_}{Q})\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}4\left(4\right)+(-1)(-6)& 4\left(6\right)+(-1)4\\ 1\left(4\right)+2(-6)& 1\left(6\right)+2\left(4\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& -1\\ 1& 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}4& 6\\ -6& 4\end{array}\right]=PR\\ & \left[\begin{array}{rr}22& 20\\ -8& 14\end{array}\right]=\\ & \left[\begin{array}{cc}6\left(4\right)+4(-6)& 6\left(6\right)+4\left(4\right)\\ (-2)4+(-5)(-6)& (-2)6+(-5)4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 4\\ -2& -5\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}4& 9\\ -6& 4\end{array}\right]=\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}0& 52\\ 22& -32\end{array}\right]=\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}\\ & \left[\begin{array}{cc}22+0& 20+52\\ -8+22& 14+(-32)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}22& 20\\ -8& 14\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 52\\ 22& -32\end{array}\right]=\underset{\_}{P}\underset{\_}{R}+\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}\\ & \left[\begin{array}{cc}22& 72\\ 14& -18\end{array}\right]=\underset{\_}{P}\underset{\_}{R}+\underset{\_}{Q}\underset{\_}{R}\end{array}$

غير صحيحة.

34) تنسيق زهور: اشترى محل تنسيق زهور 200 زهرة جوري و150 زهرة نرجس و100 زهرة زنبق وسعر شراء الزهرة من كل نوع مبين في الجدول المجاور وكذلك سعر بيع الزهرة بعد تغليفها وتنسيقها في باقة.

a) استعمل ضرب المصفوفات لإيجاد المبلغ الكلي لشراء الزهور.

$525=\left[525\right]=\left[200\right(0.5)+150(1.5)+100(2\left)\right]=\left[\begin{array}{c}200\\ 150\\ 100\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}0.5\\ 1.5\\ 2\end{array}\right]$ ريالاً

b) استعمل ضرب المصفوفات لإيجاد المبلغ الكلي الذي حصل عليه صاحب المحل من بيع الزهور.

$2200=\left[2200\right]=\left[200\right(3)+150(6)+100(7\left)\right]=\left[\begin{array}{c}200\\ 150\\ 100\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{l}3\\ 6\\ 7\end{array}\right]$ ريالاً.

c) أوجد مقدار ربح المحل من بيع الزهور.

$1675=\left[525\right]-\left[2200\right]=\left[\begin{array}{l}200\\ 150\\ 100\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}0.5\\ 1.5\\ 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{l}200\\ 150\\ 100\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{l}3\\ 6\\ 7\end{array}\right]$ ريالاً.

استعمل المصفوفات $\underset{\_}{X}=\left[\begin{array}{rr}2& -6\\ 3y& -4.5\end{array}\right],\underset{\_}{Y}=\left[\begin{array}{rr}-5& -1.5\\ x+2& y\\ 13& 1.2\end{array}\right],\underset{\_}{Z}=\left[\begin{array}{r}-3\\ x+y\end{array}\right]$، لإيجاد ناتج الضرب في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكناً:

35) $\underset{\_}{X}\underset{\_}{Y}$

غير معرفة.

36) $\underset{\_}{\mathit{Y}}\underset{\_}{X}$

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}-5& -1.5\\ x+2& y\\ 13& 1.2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}2& -6\\ 3y& -4.5\end{array}\right]=\underset{\_}{Y}\underset{\_}{X}\\ \left[\begin{array}{cc}(-5)2+(-1.5)\left(3y\right)& (-5)(-6)+(-1.5)(-4.5)\\ (x+2)2+3\left(3y\right)& (x+2)(-6)+y(-4.5)\\ 13\left(2\right)+1.2\left(3y\right)& 13(-6)+1.2(-4.5)\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{cc}-10-4.5y& 36.75\\ 2x+4+9y^2& -6x-4.5y-12\\ 3.6y+26& -83.4\end{array}\right]=\end{array}$

37) $\underset{\_}{Z}\underset{\_}{Y}$

غير معرفة.

38) $\underset{\_}{Y}\underset{\_}{Z}$

$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}(-5)(-3)+(-1.5)(x+y)\\ (x+2)(-3)+y(x+y)\\ 13(-3)+1.2(x+y)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-5& -1.5\\ x+2& y\\ 13& 1.2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-3\\ x+y\end{array}\right]=\underset{\_}{Y}\underset{\_}{Z}& \\ & \left[\begin{array}{c}-1.5x-1.5y+15\\ y^2+xy-3x-6\\ 1.2x+1.2y-39\end{array}\right]=\end{array}$

39) $\left(\underset{\_}{Y}\underset{\_}{X}\right)\underset{\_}{Z}$

متروك للطالب.

40) $\left(\underset{\_}{X}\underset{\_}{Z}\right)\underset{\_}{X}$

غير معرفة.

41) $\underset{\_}{X}\left(\underset{\_}{Z}\underset{\_}{Z}\right)$

غير معرفة.

42) $\left(\underset{\_}{X}\underset{\_}{X}\right)\underset{\_}{Z}$

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}2& -6\\ 3y& -4.5\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}2& -6\\ 3y& -4.5\end{array}\right]=\underset{\_}{X}\underset{\_}{X}\\ \left[\begin{array}{cc}2\left(2\right)+(-6)3y& 2(-6)+(-6)(-4.5)\\ \left(3y\right)2+(-4.5)\left(3y\right)& \left(3y\right)(-6)+(-4.5)(-4.5)\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{cc}-18y+4& 15\\ -7.5y& -18y+20.25\end{array}\right]=\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}-18y+4& 15\\ -7.5y& -18y+20.25\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-3\\ x+y\end{array}\right]=\left(\underset{\_}{X}\underset{\_}{X}\right)\underset{\_}{Z}\\ & \left[\begin{array}{c}(-18y+4)(-3)+15(x+y)\\ (-7.5y)(-3)+(-18y+20.25)(x+y)\end{array}\right]=\end{array}$

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}45y-12+15x+15y\\ 22.5y+18xy-18y^2+20.25x+20.25y\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{c}15x+69y-12\\ -18y^2-18xy+20.25x+42.75y\end{array}\right]=\end{array}$