تبيع مكتبة 3 مجموعات من كتب الأطفال ويبين الجدول الآتي تكلفة كل مجموعة وسعر بيعها فإذا باعت المكتبة 20 مجموعة من الكتب التربوية و32 مجموعة من الكتب العلمية و14 مجموعة من القصص.

​​​​​​​

استعمل العمليات على المصفوفات لمعرفة ربح المكتبة.

ريالاً $8020-6700=1320$

اختبار الفصل الثاني

إذا كانت $\underset{\_}{A}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{lll}2& 2& 7\\ 9& 1& 1\\ 8& 0& 8\end{array}& \end{array}\right]$ فحدد قيمة كل عنصر مما يأتي:

1)

$a_{22}=1$

2)

$a_{31}=8$

أوجد الناتج في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكناً:

3)

$-3\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}4a\\ 0\\ -3\end{array}& \end{array}\right]+4\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}& \end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-12a\\ 0\\ 9\end{array}& \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -4\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-12-8\\ 12\\ 5\end{array}& \end{array}\right]$

4)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-3& 0\\ 1& 5\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}2& 4\\ -6& 0\end{array}& \end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-3& 0\\ 1& 5\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}2& 4\\ -6& 0\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-6& -12\\ -28& 4\end{array}& \end{array}\right]$

5)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}2& 0\\ -3& 5\\ 1& 4\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}& \end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}2& 0\\ -3& 5\\ 1& 4\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}2\cdot 3+0\cdot -2\\ -3\cdot 3+5\cdot -2\\ 1\cdot 3+4\cdot -2\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}6\\ -19\\ -5\end{array}& \end{array}\right]$

6)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-5& 7\\ 6& 8\end{array}& \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}4& 0& -2\\ 9& 0& 1\end{array}& \end{array}\right]$

غير ممكن.

7) مبيعات: تبيع مكتبة 3 مجموعات من كتب الأطفال ويبين الجدول الآتي تكلفة كل مجموعة وسعر بيعها فإذا باعت المكتبة 20 مجموعة من الكتب التربوية و32 مجموعة من الكتب العلمية و14 مجموعة من القصص.

a) نظم البيانات في مصفوفات ثم استعمل ضرب المصفوفات لإيجاد تكلفة الكتب الكلية.

$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{lll}20& 32& 14\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}100\\ 90\\ 130\end{array}& \end{array}\right]& =[2000+2880+1820]\\ & =\left[6700\right]\\ & =6700\end{array}$

b) استعمل ضرب المصفوفات لإيجاد المبلغ الكلي الذي تحصلت عليه المكتبة من بيع ذلك العدد من مجموعات الكتب.

$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{lll}20& 32& 14\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{l}120\\ 110\\ 150\end{array}& \end{array}\right]& =\left[\right(20\cdot 120)+(32\cdot 110)+(14\cdot 150\left)\right]\\ & =[2400+3520+2100]=\left[8020\right]\\ & =8020\end{array}$

c) استعمل العمليات على المصفوفات لمعرفة ربح المكتبة.

ريالاً $8020-6700=1320$

8) إذا كان $\cdot \underset{\_}{A}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}3& 8\\ -3& -4\end{array}& \end{array}\right],\underset{\_}{B}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-7& 5\\ 5& -4\end{array}& \end{array}\right],\underset{\_}{C}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-4& 7\\ 2& 0\end{array}& \end{array}\right]$ فأوجد ناتج $\underset{\_}{A}\underset{\_}{B}-\underset{\_}{A}\underset{\_}{C}$.

$\begin{array}{rl}\underset{\_}{A}\underset{\_}{B}& =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}3& 8\\ -3& -4\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-7& 5\\ 5& -4\end{array}& \end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-21+40& 15+(-32)\\ 21+(-20)& -15+16\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}19& -17\\ 1& 1\end{array}& \end{array}\right]\\ \underset{\_}{A}\underset{\_}{C}& =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}3& 8\\ -3& -4\end{array}& \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-4& 7\\ 2& 0\end{array}& \end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-12+16& 21+0\\ 12+(-8)& -21+0\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}4& 21\\ 4& -21\end{array}& \end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{rl}\underset{\_}{A}\underset{\_}{B}-\underset{\_}{A}\underset{\_}{C}& =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}19& -17\\ 1& 1\end{array}& \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}4& 21\\ 4& -21\end{array}& \end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}15& -38\\ -3& 22\end{array}& \end{array}\right]\end{array}$

9) استعمل المحددات لإيجاد مساحة xyz △الذي رؤوسه $x(1,2),y(3,6),z(-1,4)$.

$\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 6\\ -1& 4\end{array}$$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 6& 1\\ -1& 4& 1\end{array}\end{array}\right|$$A=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 6& 1\\ -1& 4& 1\end{array}\end{array}\right|$

$=\frac{1}{2}\left\{\right(6+(-2)+\left(12\right))-(-6+4+6=4\left)\right\}$

$A=\frac{1}{2}\cdot 12=6$

المساحة = 6 وحدات مربعة.

10) اختيار من متعدد: أوجد قيمة محددة المصفوفة:

• 44-
• 44
• $\frac{1}{44}$
• $\frac{1}{44}$-

$\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 2\\ -2& 5\end{array}$ $\left[\begin{array}{rrr}2& 3& -1\\ 0& 2& 4\\ -2& 5& 6\end{array}\right]$

$\begin{array}{rl}& 24+(-24)+0=0\\ & 4+40+0=44\\ & 0-44=-44\end{array}$

أوجد النظير الضربي لكل مصفوفة فيما يأتي إن وجد:

11)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}5& 0\\ 0& 1\end{array}& \end{array}\right]$

${\underset{\_}{A}}^{-1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 5\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}\frac{1}{5}& 0\\ 0& 1\end{array}& \end{array}\right]$

12)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}1& 2\\ 2& 1\end{array}& \end{array}\right]$

${\underset{\_}{A}}^{-1}=\frac{1}{-3}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 1\end{array}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-\frac{1}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\end{array}& \end{array}\right]$

13)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ll}6& 3\\ 8& 4\end{array}& \end{array}\right]$

${\underset{\_}{A}}^{-1}=\frac{1}{0}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}4& -3\\ -8& 6\end{array}& \end{array}\right]$

لا يوجد.

14)

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-3& -2\\ 6& 4\end{array}& \end{array}\right]$

${\underset{\_}{A}}^{-1}=\frac{1}{0}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}4& 2\\ -6& -3\end{array}& \end{array}\right]$

لا يوجد.

استعمل معادلة مصفوفيه لحل نظام المعادلتين الآتي:

15)

$\begin{array}{c}\begin{array}{r}2x-y=9\\ x+2y=8\end{array}\\ \left|\underset{\_}{C}\right|=\left|\begin{array}{c}\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\end{array}\right|=4+1=5\\ x=\frac{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{cc}-9& -1\\ 8& 2\end{array}\end{array}\right|}{5}=\frac{10}{5}=2\\ y=\frac{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{cc}2& -9\\ 1& 8\end{array}\end{array}\right|}{5}=\frac{25}{5}=5\\ x=2\\ y=5\end{array}$

استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات فيما يأتي:

16)

$\begin{array}{rl}& x-y+2z=0\\ & 3x+z=11\\ & -x+2y=0\end{array}$

$\begin{array}{c}\left|\underset{\_}{C}\right|=\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 3& 0& 1|\\ -1& 2& 0\end{array}\end{array}\right|\begin{array}{ccc}1& -1& \\ 3& 0& \\ -1& 2& \end{array}\\ \begin{array}{l}0+1+12=13\\ 0+2+0=2\end{array}\\ 13-2=11\end{array}$

$x=\frac{\mid \underline{\begin{array}{ccccc}0& -1& 2& 0& -1\\ 11& 0& 1& 11& 0\\ 0& 2& 0& 0& 2\end{array}}}{11}=\frac{\left\{\right(0+0+44)-(0+0+0\left)\right\}}{11}$

$x=\frac{44}{11}=4$

$y={\frac{\mid \underline{\begin{array}{ccccc}1& 0& 2& 1& 0\\ 3& 11& 1& 3& 11\\ -1& 0& 0& -1& 0\end{array}}}{11}}_{}=\frac{-22}{11}=-2$

$\frac{11-22}{11}=\frac{-11}{11}=-1$ $z={\frac{\mid \underline{\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& 1& -1\\ 3& 0& 11& 3& 0\\ -1& 2& 0& -1& 2\end{array}}}{11}}_{}=$

$\begin{array}{rl}& x=4\\ & y=2\\ & z=-1\end{array}$

17)

$\begin{array}{rl}& 2x+2y+4z=2\\ & 3x+4y-8z=-3\\ & -3x-6y+12z=5\end{array}$

$\begin{array}{cc}6& 2\\ 3& 4\\ -3& -6\end{array}$ $\left|\underset{\_}{C}\right|=\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}6& 2& 4\\ 3& 4& -8\\ -3& -6& 12\end{array}\end{array}\right|$

$=\left\{\right(288+48+(-72))-(-48+288+72\left)\right\}=264-312=-48$

$\begin{array}{cc}2& 2\\ -3& 4\\ 5& -6\end{array}$ $x=\frac{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}2& 2& 4\\ -3& 4& -8\\ 5& -6& 12\end{array}\end{array}\right|}{-48}$

$=\frac{(96+(-80)+72)-(80+96+(-72\left)\right)}{-48}$

$x=\frac{88-104}{-48}=\frac{-16}{-48}=\frac{1}{3}$

$y=\frac{\mid \underline{\begin{array}{ccccc}6& 2& 4& 6& 2\\ 3& -3& -8& 3& -3\\ -3& 5& 12& -3& 5\end{array}}}{-48}$

$=\frac{(-216+48+60)-(36+(-240)+72)}{-48}$

$y=\frac{-108-(-132)}{-48}=\frac{24}{-48}=-\frac{1}{2}$

$z=\frac{\mid \underline{\begin{array}{ccccc}6& 2& 2& 6& 2\\ 3& 4& -3& 3& 4\\ -3& -6& 5& -3& -6\end{array}}}{-48}=$

$z=\frac{102-114}{-48}=\frac{-12}{-48}=\frac{1}{4}$

$x=\frac{1}{3},y=-\frac{1}{2},z=\frac{1}{4}$